初中数学解题教学中逆向思维的应用研究

刘奎

摘 要：逆向思维是初中数学学习必备的数学思维，不仅能帮助学生提升解题效率，还能以逆向思维带动抽象思维、联想思维、分析思维等高阶思维的提升，帮助学生提升思维品质，从而实现高质量、全方位的发展.本文以初中数学解题教学中逆向思维的应用研究为研究主题，分析了逆向思维在数学解题中的重要性和逆向思维在初中数学解题教学中的具体应用，探索出了激发学生利用逆向思维解题的意识、设计逆向思维解题专题课和为学生提供逆向思维解题练习的教学措施.

关键词：初中数学；解题教学；逆向思维；教学措施

逆向思维就是从反方向去思考问题的思维，是数学学习过程中的必备思维.例如，当学生们学到互为余角的两个角度数相加为90度时，学生们将前提条件和结论互换，得出若两角度数相加为90度，则这两个角互为余角的定理，这便是一种逆向思维，在初中数学解题过程中，利用逆向思维解题对提升学生的解题效率和正确率有重要的意义，所以初中数学教师应该重视逆向思维在初中数学解题教学中的应用，不断探索培养学生逆向思维的教学策略.

1 逆向思维在数学解题中的重要性

1.1 深化数学概念

初中数学概念类、定义类题目是初中数学题目的重要类型，学生在解决这部分题目时要借助逆向思维.例如学生在学习一次函数的定义时，由“形如y=kx+b（k≠0，b为任意数）”作为判断一次函数的依据，通过观察题目所出示等式的形式、一次项系数和常数项数值来判断题目所给等式是否为一次函数.然而在实际的解题过程中，学生会面临例如“已知y=（m-2）x^|m|-1+m+2是y关于x的函数，求m的值”的题目，此时学生需要利用逆向思维，将“形如y=kx+b（k≠0，b为任意数）的函数为一次函数”转化为“一次函数的自变量指数为1，系数不为0”，从而解决上述问题，在这一过程中，学生对一次函数的概念认识得更加充分，不仅有助于学生在解决一次函数题目时灵活选择解题方式，还有利于学生减少因为忽略k≠0而出现的错误.

1.2 提升解题效率

在初中数学题目中，有些题目利用正向思维解题，其步骤可能会比较繁琐，利用逆向思维解题则会比较简单，例如学生在解答“若二次函数y=mx²+x+m-3的图象与坐标轴最多有2个交点，求m的取值范围”这一题目时，若利用正向思维，分别讨论二次函数图象与坐标轴有0个交点、1个交点和2个交点的情况，则要分三种情况计算，而当学生利用逆向思维，计算二次函数图象与坐标轴恰好有3个交点的情况，然后将计算得到的m的取值做逆向处理，解题效率会有效提升.

1.3 提升创新能力

初中数学题目根据题目难度、开放性等不同，可将题目划分为简单题、中等难度题和复杂题三类，其中复杂题对学生的基础知识掌握程度、思维创新能力等有要求，学生只有基础知识掌握扎实、具备一定的创新解题能力，才能顺利解出复杂题.逆向思维是一种比较复杂的思维，学生在利用逆向思维解题的过程中，其抽象思维、类比思维、推理思维、创新思维等也得到发展，学生的解题创新能力得到提升.

2 逆向思维的具体应用

2.1 利用逆向思维揣摩解题思路

在实际解题教学中，教师可以指导学生利用逆向思维揣摩解题思路，主要可从以下三方面入手，一是利用逆向思维分析重点知识，例如在几何章节中，等腰三角形的“三线合一”是重点知识，也是几何题目中的“常客”，教师利用逆向思维将“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角的角平分线重合”转化为“若三角形同一条边上的高线和中线重合，则该三角形为等腰三角形”等结论，进而推理出“當题目中出现等腰三角形、高线、中线、角平分线四个量的其中两个时，则应考虑利用等腰三角形的‘三线合一结论解题”的解题策略；二是利用逆向思维解决复杂的几何证明题，例如当某一几何证明题需要证明两线段相等时，学生可以通过观察两线段之间的位置关系倒推证明方式，当两线段位于同一直线且有共同端点时，考虑通过证中点的方式证明线段相等；当两线段有共同端点但不在同一条直线上时，考虑通过“等角对等边”证明线段相等；当两线段无共同端点时，考虑通过证全等的方式证线段相等；三是利用逆向思维解决具有多个小问的复杂类题目，例如当某一复杂题目共3小问时，当学生做第2小问时，应该思考上一问得出了什么结论及衍生结论和上一问的结论与本小题题干内容有何联系，从而确定解题思路，同理，当学生做第3小问时，也应考虑第2小问的结论或解题方法是否能应用于第3小问，从而获得解题灵感，顺利完成解题过程.

2.2 利用逆向思维简便运算

2.3 利用逆向思维验证题目答案

3 促进学生利用逆向思维解题的教学措施

3.1 激发学生利用逆向思维解题的意识

初中数学教师应该在日常教学中激发学生利用逆向思维思考问题、解答问题的意识，从而令学生认识到抽象思维对数学解题的重要性，从而主动自觉地参与逆向思维训练过程，提升个人逆向思维能力.

首先，教师可以从教材入手，利用教材内容为学生讲解逆向思维的具体内涵和应用意义.例如教师在讲解数学定义时从正、逆两方面帮助学生理解思考，教师在讲解绝对值的概念和性质时，除了要求学生记住“正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数”，还要向学生提供例如“已知|m|=-m，求m取值范围”的题目，引导学生利用逆向思维解题，令学生初步理解逆向思维的内涵并明确逆向思维的使用场景.

其次，教师在讲解数学解题方法时渗透逆向思维的具体应用，帮助学生进一步提升对逆向思维的认识，令学生更直观地感受逆向思维对数学解题的促进作用.例如教师在讲解几何证明题目时，除了帮助学生利用已知条件和几何定理推理结论，还要指导学生分析待证明结论，掌握反向推理证明方法；例如教师讲解“求作一个方程，使它的根为-2和3”这一数学题目时，教师引导学生思考哪个知识点与一元二次方程的根有关，在教师的引导暗示下，学生联想到因式分解法能够直接显示一元二次方程的两个根，学生便可以利用因式分解法解题，即将方程设为a（x+2）（x-3）=0，学生可以取a为除0以外的任意值，进而得出答案.

最后，教师可以通过向学生提供已知条件和结论恰好互逆的题目，帮助学生更深刻的理解逆向思维在初中数学解题过程中的妙用，例如教师为学生出示如下两道题目：

（1） 二次函数y=x²+bx+c的图象向左平移三个单位，再向上平移2个单位，得二次函数y=x²-2x+1的图象，求b、c的值.

（2） 将抛物线y=-（x-1）²+6先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线解析式.

这两道题目的题设和结论是互逆的，题目（1）除了利用正向思维解题，即直接利用“上加下减常数项，左加右减自变量”的解题知识，将y=x²+bx+c处理为y=（x+3）²+b（x+3）+c+2，然后令（x+3）²+b（x+3）+c+2=x²-2x+1，解出b、c的值.还可以利用逆向思维解题，即将二次函数y=x²+bx+c的图象看做是二次函数y=x²-2x+1的图象下移2个单位，右移三個单位得到的.题目（2）除了利用正向思维直接解题，还可以设平移后的抛物线解析式为y=-x²+bx+c，然后将抛物线y=-（x-1）²+6的图象看做是抛物线y=-x²+bx+c的图象上移1个单位，右移4个单位得到的.教师指导学生利用不同的解题方法完成解题后，要求学生仔细观察两个题目的解题过程，体会逆向思维的具体应用，令学生知其然然后知其所以然.

3.2 设计逆向思维解题专题课

为了提升学生对逆向思维的重视和深化学生对逆向思维的理解，初中数学教师应该设计专门的逆向思维解题专题课，为学生提供提升逆向思维水平的机会.教师在设计逆向思维解题专题课时，要坚持重点突出、学生主体和有效总结的原则，提升专题课效率.

首先，教师要坚持重点突出的设计原则，即教师提前选择适合利用逆向思维解题的题目，并通过题目对比为学生呈现逆向思维的使用过程.例如教师欲让学生认识到逆向思维对数学解题的促进作用，则教师应该选择利用正向思维比较难解或无法利用正向思维解题的题目，令学生比较利用正向思维解题和利用逆向思维解题在解题过程、解题难度上的区别.

其次，教师要坚持学生主体的教学原则，因为逆向思维是策略性教学内容，逆向思维培养的重点不在于教师为学生灌输多少有关逆向思维的观念或技巧知识，而是教师引导学生在实际解题过程中，自觉利用逆向思维探索解题方案，从而完成解题任务.所以教师在设计逆向思维解题专题课时，应该为学生留出足够的思考空间和小组讨论时间，令学生在实践中真正掌握利用逆向思维解题的方法.

最后，教师要坚持有效总结的教学原则，即教师在教学过程中和教学结束之前，要利用科学有效的教学评价帮助学生深化知识和提升能力.逆向思维的培养效果很难通过默写、提问等方式考核，必须通过观察学生的实践情况才能有效把握，所以教师要针对学生的实践过程做出有针对性、导向性的评价，帮助学生认清自身存在的问题和把握未来能力提升的方向.

3.3 为学生提供逆向思维解题练习

解题练习是数学学习必不可少的环节，教师应该为学生提供逆向思维解题练习，帮助学生积累足够的感性经验，从而方便学生在合适的时机下迸发解题灵感.一方面，教师可以利用周末作业为学生提供专题性质的逆向思维解题练习，例如教师在完成二次函数章节的教学后，收集有关二次函数的、适合利用逆向思维解题的题目，作为学生的周末作业，要求学生认真完成；另一方面，教师可以在周中作业中增加逆向思维解题练习.需要注意，并不是所有的初中数学题目都适用于逆向思维解题，有些题目利用正向思维解题更为简单，所以教师在讲解逆向思维解题方法时，要向学生强调根据题目特点选择解题方法，不可生搬硬套使用逆向思维解题.

4 结 语

逆向思维在数学解题中具有深化数学概念、提升解题效率和提高创新能力的重要意义，逆向思维在初中数学解题过程中具有利用逆向思维揣摩解题思路、简便运算和验证题目答案的应用，基于此，初中数学教师应该在解题教学中有意识的渗透逆向思维，培养学生形成逆向思维，促进学生提升解题效率.

参考文献：

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