在数学教学中活用化归思想三段论

俞妍

摘 要：化归思想是数学学习过程中很重要的思想，教师要善于运用自主探索，动手实践，合作交流，从而掌握化归思想的内涵.化归的关键在于在学生头脑中构建知识框架，让学生对已学的知识融会贯通，从而化未知为已知，化繁为简，知易求难.

关键词：自主探索;动手实践;化归思想;发散思维

化归思想是一种基本且重要的数学思想，普遍存在于数学解题中，例如将数学知识转化为生活中生动形象的活动经验，将陌生的知识转化为已知的熟悉的知识，又或者是将抽象的知识直观化.“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要.”，我国著名数学家华罗庚如是说.而教师要做的就是引导学生去创造，去实践，寻求新方法，在丰富多彩的数学活动中，体会化归的意义，掌握化归的思想方法.我认为，化归的三段论在于：掌握内涵、培养意识、付诸实践.本文将结合苏教版七年级下册“多边形的内角和”的教学探讨如何在教学中渗透化归思想.

1 深度解读，掌握化归内涵

在教学过程中渗透化归思想，要求教师自身深度解读教材，掌握新旧知识的联系，构建知识体系，明白三点：为何化归，如何化归，如何让学生主动化归.

首先对教材进行解读，本节课主要有两个重要的知识点：多边形的定义以及多边形内角和公式的探究.在学习多边形定义时，先让学生回忆三角形定义，类比总结四边形定义，自然而然教会学生用类比、化归的数学思想.当学生遗漏前提条件：在同一平面内时，教师要学会让学生动手操作，直观地用教具展示何为在同一平面内，从而强调，研究平面图形时，是在同一平面内这个前提条件下进行研究的.在学习多边形内角和公式之前，先带领学生复习三角形内角和是多少？如何得到的？让学生清楚在小学里，我们是将一个三角形的三个角剪下来，顶点与顶点重合，边与边靠在一起，拼成了一个平角，得出“三角形的内角和是180°”的结论.进一步提出疑问：我们能不能也将四边形的四个角剪下来，拼拼看是多少度？让学生动手操作，形成程序性记忆.另外，还可以通过量一量的方法，让学生量出任意四边形的四个内角，把四个角度加起来，验证四个内角和是不是360°.抛出问题：通过量一量，拼一拼的方法只能验证有限的几个四边形的内角和是360°，那么是不是所有的四边形内角和都是360°呢？如何来科学地证明呢？先让学生动手操作，自己证明，适时引导：四边形内角和我们不会求，但是三角形内角和我们已经学习过了，同学们能不能找出他们之间的联系？四边形能不能分成三角形来计算内角和呢？在教师引领学生用多种方法证明了四边形内角和之后，學生自主探究五边形、六边形内角和，教师梳理思路，师生共同归纳总结出多边形内角和公式.化归思想引领整堂课的教学活动，在化归中获取新知，也在化归中学会探究.

对于七年级的学生而言，已经具备一定的运用化归思想学习、解题的经验，但还没有形成系统的思维，运用而不自知.例如在学习图形时，是从生活的具体物体中抽象出来的，再例如通过复习一元一次方程的概念，类比归纳得到了二元一次方程的概念.学生在学习过程中已经在运用化归思想了，有了一定的基础，教师要善于对学生的方法进行总结，提出化归的内涵，让学生明白化归思想在数学中的普遍性和实用性，认识到已经多次运用化归思想解决问题，并且促使其能够在今后的学习中主动去运用化归思想.

2 巧妙引导，培养化归意识

数学思想不是生拉硬套，在深度解读教材以及学情分析之后，教师要合理安排教学活动，让学生在教学活动中体会并运用化归思想解决问题.托马斯·胡德曾言：“一分钟的思考抵过一小时的唠叨.”数学思想方法的渗透在于将课堂还给学生，重视学生的主体地位，使之成为教学活动的中心，自主探究领会.而教师要做的就是合理安排活动，并引导其有目标、有方向地进行探究.

【片段一】

回顾复习三角形定义，类比总结四边形定义，学生容易忽略一个前提：在同一平面内.教师请一位学生上来一起拼一个四边形（拿出提前准备好的四把尺子）.学生拿两把尺子摆好，教师拼上另外两把，放在一个平面内.教师提问学生这是不是一个四边形，接着将尺子向前折起一定角度，提问学生这还是不是四边形？从而教师引导：探究平面图形要在同一平面内.并请学生试着总结出多边形的定义.

这个过程旨在让学生通过动手实践，以及复习旧知，得到多边形的定义，从宏观上认识多边形，在学生脑海中形成关于图形与几何的知识框架.在这里，通过类比、归纳，初步渗透化归思想，让学生有一定的学习基础，了解到需要运用旧知来解决新的问题，用已学的知识解决未知的问题.

【片段二】

通过复习，唤醒学生的旧知：三角形内角和为180°，接着给出几个四边形，让学生量一量他们的四个内角，再将他们加起来，计算出每个四边形的内角和.通过量角器测量，学生发现这些四边形的四个内角加起来都是360°，由此得到猜想：四边形内角和为360°.教师提问：同学们还记得小学是如何得到三角形内角和的吗？学生能够回忆起当时剪纸，把三个角剪下来，拼一拼.拼成了一个平角.教师引导学生模仿这种探究方法，也将四边形的四个内角剪下来，拼在一起，看看能拼成什么角？

学生在动手操作过程中，发现四个角剪下来刚好拼成了一个周角，学生已知周角是360°，从而进一步认为四边形内角和就是360°.

这时，教师总结并引导：分别通过量一量，拼一拼的方法初步证明了这些四边形的内角和是360°，那是不是所有四边形的内角和都是360°呢？接下来老师给出一个任意的四边形，如图1所示如何证明一下它的内角和是不是360°呢？同学们思考一下，能不能和已知的几何图形的内角和联系在一起呢？将证明方法写下来，并与同桌讨论，看看谁能想得又快又多.

学生1：连接AC.

连接AC以后就把四边形的两个内角∠A和∠C分别分成了∠DAC+∠BAC，以及∠BCA+∠DCA，则四个内角加起来就是（∠D+∠DAC+∠DCA）+（∠B+∠BAC+∠BCA）=180°×2=360°.

教师适当鼓励并总结：很好，这里该生将四边形ABCD的两个内角∠A和∠C转化为了△ACD和△BCA的内角，从而将这个四边形的内角和转化为了两个三角形的内角和.给出如下表格：

教师提问：还有其他的证明方法吗？学生2回答：在AB上取一点E，连接DE、CE.（如图3所示）

该生将四边形分成了三个三角形.这时，四边形ABCD的内角和等于△ADE、△DEC、△BEC的内角和减去∠AEB.

教师总结：在四边形的任意一条边上随机取一个点，与两个角连线后进而将其分割为三个三角形，将四边形的内角和问题转化为三个三角形的内角和再减去一个平角的问题，得到四边形内角和为180°×3-180°=360°.补充表格：

教师进一步引导：同学们思考一下，还有没有别的方法分割？上面分别将四边形分别分成了两个、三个三角形，那能不能分成四个三角形？

学生3：在四边形内部取了一点O，连接AO、BO、CO、DO.

这里他将四边形ABCD的内角和转化为了△AOB、△COD、△AOD、△BOC的内角和减去一个周角.

教师总结：可以看到分成的这四个三角形的内角和加起来刚好是四边形的内角和加一个周角，所以只要将这四个三角形的内角和加起来再减去一个周角就可以得到四边形ABCD的内角和.完善表格如下：

抛出问题：以上通过多种方法，实际上是不是分别在四边形的边上、顶点、内部取点，将四边形分成了若干个三角形？那同学们思考一下，可否在四边形的外部取一点，也来试着证明一下四边形的内角和为360°呢？

学生动手操作并思考过后，教师提问：四边形的内角和是不是△COD、△AOD、△BOC的内角和加起来呢？学生可以知道还要减去∠BAO、∠ABO、∠AOB，而三角和加起来刚好是△AOB的内角和.这时就将要求的四边形ABCD的内角和转化为了三个三角形的内角和，再减去一个三角形的内角和.

接下来教师运用几何画板演示分别在四边形顶点、内部、边上、外部取点的过程，在学生头脑中留下一个生动直观的动态过程.

以上教学片断，注重学生探索的自主性，由教师引导，学生以“将四边形拆分转换成若个三角形来看，将原本不能解决的四边形内角和问题转化成学过的三角形内角和问题”为目标探索.在学生寻找解题方法的过程中，教师仅仅作为一个引路人，总结者，同时将课堂还给学生.给予学生启发，让学生自主探索学习，成为教学活动的主体和推动者.由此自发地感受并运用化归思想，形成程序性记忆，并掌握它.

【片段三】

我们一起探究了四边形内角和，运用多种方法取点，将四边形内角和转化为了三角形内角和的问题.那么同学们能不能用同样的方法，分割图形，并由此计算出五边形、六边形、n边形的内角和呢？

学生在画图操作过程中，发现可以将五边形分割成三个三角形，从而得到五边形内角和为180°×3=540°，同样地，用分割转化的方法，得到六边形、七边形的内角和分别为180°×4=720°，以及180°×5=900°，从以上例子中找到规律：多邊形内角和等于（边数-2）×180°，因此可以总结公式：n边形内角和为180°×（n-2）.

鉴于以上关于四边形内角和的探究活动，学生已经形成了运用化归思想，将多边形内角和转化为三角形内角和问题的思维模式，在自主探究中，容易想到将五边形、六边形等多边形分割成若干个三角形，从而求得多边形内角和.整堂课由化归联结，让学生体会化归思想的用处，并运用到以后的学习中去.

3 野蛮生长，注重化归实践

数学思想的渗透在于让学生自主体验，让学生成为课堂的主人意味着教学活动可能不能完全按照教师的教学设计进行，学生可能会有一些出乎教师意料的想法，教师不能因为要按照设计好的活动进行教学而忽略的学生的想法，否则学生会在一次次的忽略中淡化自主探索的精神，变得缺少思考，完全机械地跟着教师走.相反，教师需要强化他们的想法，鼓励他们勇于探索，让课堂活起来.

【片段四】

教师对于四边形内角和探究的设计是：分别在四边形顶点、边上、内部、外部取点，转化为三角形内角和的问题.但是在下去巡视的时候，看到一名平时不爱发言的女生用了一种教师没有想到的方法，虽然课堂的时间所剩不多，但教师还是选择鼓励那位学生，让她上来给大家讲一讲她的证明方法.教师用鼓励的话语说道：这位同学平时不爱说话，很少发言，但老师看到今天她用了一种与众不同的方法来证明，老师觉得很好，想让她来给大家展示一下她的方法，同学们鼓鼓掌鼓励鼓励她.

这位学生有了一点自信，回答：我延长AD、BC交于E.那么∠ADC=∠E+∠ECD，∠BCD=∠E+∠EDC，这两个角都是△ECD的外角.这时，教师鼓励她：很好，你用到了三角形外角的知识，接着怎么做呢？

学生回答：∠A+∠B+∠ADC+∠BCD

=（∠A+∠B+∠E）+（∠EDC+∠E+∠ECD）

=180°×2

=360°.

教师总结该生实际上是将一个四边形的内角和转化成两个三角形的内角和.表扬她在无形之中运用了化归思想，将四边形的内角和转化为了三角形的内角和来解决问题.

整堂课从多边形的概念，到运用多种方法证明四边形内角和为360°，再到类比归纳出多边形内角和公式，以图形的分割为主线，以化归的数学思想为暗线，串联起了整堂课的内容，本节课始终围绕已知的三角形知识，来探究得到多边形的知识.本节课是一堂探究课，定位在于让学生发散思维，多参与，多

讨论，教师只是充当引导者、总结者的角色.在活跃的探究氛围下，学生积极配合，甚至提出教师没有想到的方法，教师也没有为了赶进度而忽略学生的奇思妙想，做到了让学生成为课堂的主人，在学生动手操作，自主归纳，合作交流中激发学生对数学的兴趣，同时感受、运用化归等数学思想方法，并能体会这些方法的妙处，做到会用、巧用、主动去用.好的课堂是生成的课堂，一堂活力的数学课应该让学生的思想野蛮生长，如此才能在数学世界里大放异彩.

化归思想在数学教学中有着普遍的运用，教师在渗透化归思想的过程中要抓住三段论，首先教师要深度解读教材，熟悉知识框架，掌握化归内涵，接着培养学生的化归意识，让学生能够主动想到去运用化归的思想方法去解决问题，最后付诸实践.熟练掌握化归三段论，可以让教师教学，以及学生学习、解题事半功倍.

参考文献：

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