圆锥曲线的光学性质及其应用的教学设计

鲁夕芷 赵思林

摘 要：以数学学科核心素养为教学理念，采用“情境—问题—猜想—探究—证明—应用”的学习方式与教学流程，借助多媒体设备与动态数学软件演示圆锥曲线的光学性质，增强信息技术的应用意识，通过中国“天眼”的介绍渗透数学学科育人，对“圆锥曲线的光学性质及其应用”作了教学设计.

关键词：圆锥曲线；光学性质；教学设计

2022年12月11日，全国“田家炳杯”全日制教育硕士专业学位研究生學科教学（数学）专业教学技能大赛圆满落幕，笔者有幸参加了此次大赛，并荣获一等奖.此次比赛分为初赛和决赛两个环节，笔者初赛教学设计的课题是“圆锥曲线的光学性质及其应用”，选用的教材为人教A版普通高中课程标准试验教科书数学2（必修）.

1 教材与学情分析

本节课是人民教育出版社A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线与方程》的阅读与思考栏目的内容.本节内容在衔接椭圆、双曲线、抛物线等综合内容的基础上，从光学的角度进一步拓展了圆锥曲线的性质.本节内容综合性强，与物理学中的光学、运动学皆有关联；渗透了数学建模、直观想象、数学运算等核心素养；蕴含了模型思想、数形结合等思想；是数学知识与物理知识的融合，也是数学知识在实际生活中应用的典型案例.

此阶段的学生已经掌握了椭圆、双曲线、抛物线的相关内容，经历了椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质的探究过程，能够初步运用解析几何的思想方法分析和解决简单的几何问题，对于数形结合思想在研究圆锥曲线的过程中发挥的强大作用有了一定体会.并且，学生对于物理中的简单运动学、光传播的基本原理等内容有所掌握，具有猜想探究的相关活动经验和分享交流能力.但从物理学角度抽象出数学模型的过程以及用数学方法证明圆锥曲线的光学性质存在一定困难.

2 教学目标

通过观察小球反弹的实验情境，从光学的角度抽象出抛物线模型，结合抛物线的相关知识提出猜想，掌握抛物线的光学性质，进一步促进直观想象素养的提高.

在由光学中的“焦点”猜想抛物线“焦点”的光学性质的过程中，可积累数学、物理知识相融合的数学活动经验；感受通过问题串和分析法证明抛物线光学性质的方法技巧，培养逻辑推理、数学抽象等素养，发展分析、解决、反思问题的能力.

借助多媒体设备与GeoGebra等动态数学软件演示圆锥曲线的光学性质，培养数形结合的思想，增强信息技术的应用意识。在了解圆锥曲线光学性质的实际应用中，通过中国“天眼”的介绍，实现数学学科育人，包括增强学生的民族自豪感等.

3 教学重难点

重点：抛物线的光学性质猜想、探究过程，圆锥曲线的光学性质以及在生活中的应用.

难点：抛物线光学性质的证明过程.

4 设计理念

普通高中数学教材中的“阅读与思考”栏目是学科育人的好载体，是落实“提倡积极主动、勇于探索的学习方式”的有效途径.《圆锥曲线的光学性质》是一个“阅读与思考”材料，具有丰厚的育人价值.以数学学科核心素养为教学理念，采用“情境—问题—猜想—探究—证明—应用”的学习方式与教学流程，借助多媒体设备与动态数学软件演示圆锥曲线的光学性质，增强信息技术的应用意识，通过中国“天眼”的介绍实现数学学科育人（主要包括增强学生的民族自豪感、培养探究精神和理性精神等），对“圆锥曲线的光学性质及其应用”作了教学设计（见图1）.

5 教学过程框架（见图1）

6 教学过程

6.1 创设情境，提出问题

老师播放一段科学类综艺节目《加油向未来》视频：地面上放置着抛物线形曲面模型，一位嘉宾手握铃铛，将铃铛放置在曲面的正上方，四名实验人员手持小球站在曲面正上方的高台处，同时释放小球（使得小球呈一列下落在抛物线形曲面上，并且落地点所连成的轨迹均在一条抛物线上），小球反弹后均触碰铃铛使其发出响声.

教学活动预设：学生观看视频后，用自己的话描述从这个实验中观察到的现象.

问题1：抛物线上为何会产生这如此神奇的现象？

【设计意图】在新知识的概念建构课程中，学生最终要达到理解和掌握知识的结果性目标，更要在此过程中用数学的眼光和思维审视并分析数学情境中所蕴含的问题.以观察小球反弹实验引入教学更加贴近生活，能唤起学生对抛物线性质深入研究的兴趣.其中蕴涵的抛物线的光学性质给学生提供了直观的试验场景去发现并思考数学问题，激发学生的探究兴趣，为联想到抛物线的“焦点”与此实验的关联性埋下伏笔.这样的引入为学生创造了一个生动有趣、轻松愉快的学习环境.

6.2 类比探究，提出猜想

爱因斯坦说，“想象力比知识更重要.”教师引导学生将小球竖直下落的轨迹想象成一束竖直向下的入射光线，小球在抛物线上反弹后的轨迹对应反射光线.即入射光线在抛物线上进行反射，反射光线均经过同一点处.

同时考虑到在物理学中，也存在类似的现象：当一束平行光线照射在凹面镜上时，光线经反射后会汇聚于镜面前的一点处，这一点称为光线的焦点，从而引出“焦点”一词，启发学生将其与抛物线的焦点相对比，提出猜想.

猜想1：若任意一条平行于抛物线对称轴的光线与抛物线相交后反射，则反射光线都过抛物线的焦点.

【设计意图】引导学生学会分析观察实验情境，从实际生活现象中提取出数学特征，并通过类比联想，将“小球反弹”与“光的反射”产生关联，进而猜想“抛物线的焦点”的特征，体现完整的：生活—物理—数学元素串联过程，培养学生充分发挥想象力，注重学科融合.

探究1：（1） 复习回顾平面镜上光的反射特征：

① 反射光线与入射光线、法线位于同一平面；

② 反射光线和入射光线分居在法线的两侧；

③ 反射角等于入射角；

④ 光的反射具有可逆性.

（2） 建立模型：类比平面镜上光的反射的特征，从小球下落的数学实验中抽象出在抛物线上发生反射的过程：

① 入射光线平行于抛物线的对称轴；

② 确定反射点处的切线、法线，依据反射角等于入射角的特征找到反射光线；

③ 所有平行于抛物线对称轴的入射光线，经反射后，反射光线均汇聚于一个点；

④ 根据光路可逆性原理，提出猜想2.

猜想2：若在抛物线的焦点处放置一个点光源，从点光源发出的光线在抛物线上经反射后，则反射光线与抛物线的对称轴平行.

【设计意图】提出猜想1后，依据已学知识：抛物线基本性质以及平面镜上光的反射基本特征，进一步在实验现象的基础上建立“抛物线上光的反射”模型，并依据光路可逆性原理（因为入射光线与反射光线关于法线对称）自然产生猜想2.在此过程中，培养学生数形结合的思想以及模型思想.

探究2：如何通过严格的推导证明上述猜想成立.

6.3 层层分析，证明猜想

波利亚解题理论启发我们，解决问题的过程需要经历弄清问题、分析条件（梳理思路）、制定计划、实施计划、反思回顾等过程.由光学知识可知，猜想1和猜想2都是抛物线的光学性质，下面以猜想2为例给出证明的思路.

6.3.1 完善数学模型，将实际问题数学化

如图2，先对猜想2的条件给出一些假设，如设出抛物线的方程、焦点，设出焦点处任意发出一条光线及反射点等；然后，根据猜想2的结论的形成过程进行数学化的表征：

（1） 设抛物线x²=2py（p＞0），求焦点F的坐标；

（2） 假设焦点处任意发出一条光线记为FM，在点M处反射；

（3） 反射光线记为l；

（4） 点M处的切线记为l₁，法线l₂；

（5） l₂与y轴交点记为点N；

（6） 入射角α₁等于反射角α₂；

（7） 只需证明：反射光线l与抛物线的对称轴y轴平行，即可证明猜想2成立.

问题2：如何证明l所在的直线平行于y轴？

6.3.2 理清条件，转换问题

（1） 证明l所在的直线平行于y轴，等价于证明：∠α₂=∠MNF；

（2） 由∠α₂=∠α₁可转换为证明：∠α₁=∠MNF；

（3） 证明∠α₁=∠MNF可转换为证明：FM=FN.

于是，问题2就转换为证明：FM=FN.

6.3.3 分析思路，给出证明

（1） 要求证FM=FN，可先表示出F，M，N的坐标，将坐标代入公式求出线段长度；

（2） 焦点F（0，p/2）；

（3） 点M可作为抛物线上任意一处反射点，假设M（x₀，y₀）；

（4） 点N可通过联立l₂的方程与y轴的方程求出.

问题3：求直线方程有哪些方法？

（预设：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）

由于已知条件中，只知一个点M在l₂上，且斜率未知、截距未知，通过排除法可得，利用点斜式求l₂的方程.

问题4：求l₂的斜率k₂.

法线l₂与切线l₁垂直，满足斜率之积为-1，且抛物线上的切线（过点M）方程可直接表示l₁：x₀x=p（y₀+y），求出k₁.

6.3.4 按照思路完成证明过程

探究3：动手操作，小组合作交流，按照上述思路和步骤，进行计算，验证猜想成立.

问题5：结合上述模型归纳总结抛物线的光学性质？

【设计意图】通过建立、求解模型以验证试验现象的方法既体现了“以数解形”的思想，也凸显了解析法的简洁美、数学模型的奇异美.

6.4 联系实际，拓展应用

数学源于生活，生活中充满了数学.抛物线的光学性质有广泛应用.

（1） 应用：太阳灶、手电筒、探照灯、抛物面天线等均应用了抛物线的光学性质.

（2） 播放视频：播放一段小视频，介绍中国天眼的工作原理及建设背景.

【设计意图】通过中国“天眼”的介绍（学生看视频），再次回顾抛物线的光学性质，渗透数学学科育人，包括增强学生的民族自豪感、体会数学的应用价值、培养理性精神等.

6.5 师生互动，再探新知

探究4：类比探究抛物线光学性质的探究过程，带着对其他圆锥曲线光学性质的好奇，猜想椭圆和双曲线的光学性质.并继续阅读课本，翻阅课前预习查阅的资料，交流猜想依据.

【设计意图】通过小组合作学习、交流展示，调动学生积极性，总结出椭圆和双曲线的光学性质同时利用几何画板和GeoGebra软件，将学生所猜想的椭圆与双曲线的光学性质进行几何演示，在演示过程中通过列举法和排除法进行逐步验证，从更大程度上让学生感受到视觉和思维上的巨大冲击，使学生进一步体会数学的严谨性与创造性.

6.6 知识回顾，总结提升

“思维自疑问和惊奇开始（亚里士多德）”.“一切问题都可以化为数学问题（笛卡尔）.”教师引导学生回顾本堂课的学习并思考：在圆锥曲线的光学性质及其应用的学习中，我们是如何从现实情境中发现数学问题并一步步探索解决的？在此过程中你最大的收获是什么？能否将其中的思想方法也运用到其他知识的学习中？

【设计意图】在总结提升环节的提问，意在让学生从不同层面对本节内容进行归纳小结，并深刻感受到从课堂上“言有尽”到课堂外“意无穷”的思维意境.

6.7 布置作业

利用类比方法，用多种方法证明椭圆和双曲线的性质.

7 反思教学设计的创新点

教学设计的核心意蕴在于创新.本节课的创新点比较多.一是通过小球反弹的实验情境，引发思考：抛物线上为何会产生这样神奇的现象？创新了教科书中的情境举例，以综艺视频的方式从更大程度上让学生感受到视觉和思维上的巨大冲击，从而激发学生的学习兴趣，调动学生的课堂积极性.二是通过问题串的设置以及探究活动的层层递进，创新了抛物线光学性质的证明过程，利用分析法推导出证明思路既是本节内容的深入挖掘，也是课后习题的思路再现.在此过程中，培养了学生的逻辑推理、数学运算等素养.三是通过猜想证明的步骤，创新了教科书中探究光学性质的思路.通过物理学中光的反射的特点引发猜想，并将抛物线的兩种光学性质与“光路可逆”进行对应.既体现了解决数学问题时猜想的必要性，也展现了数学与物理知识融合的奇妙.四是利用小组合作展示和信息技术直观演示相结合的方法，创新了椭圆和双曲线的光学性质探究过程.使得从光学的角度进一步探究圆锥曲线的性质更加直观、严谨，培养了学生类比转换的思想，进一步提升学生直观想象的素养.

参考文献：

［1］ 曾荣.单元教学的整体设计与课时实施——以“圆锥曲线”单元教学为例［J］.数学通报，2021，60（3）：33-37.

［2］ 张跃红.授人以渔 勿施以渔——从高三复习课“圆锥曲线中的定点、定值问题”谈起［J］.数学通报，2014，53（11）：12-15.

［3］ 孙承辉.“圆锥曲线的一类半径问题”的教学设计与感悟［J］.数学通报，2013，52（11）：37-40+56.