数学视角下的跨学科联席教学探究

金玉明

摘 要：跨学科联席教学打破学科壁垒，让学生在真实场景中有意识地综合运用知识、技术、技能、工具等解决问题的学习方式.本文立足于跨学科教学理念，从高中数学《三角函数》学习出发，描述跨学科联席视角下高中数学教学实践路径，以期通过多学科知识交叉融合与实践活动方案设计，从知识培养转向跨学科素养培养，让学生在面对复杂问题时进行多角度观察、思考、验证，开阔数学视野，理解事物本质，提高数学素养与学习能力，扩展数学领域与认知，增强探究精神、创新思维、解决问题能力.

关键词：高中数学；三角函数；跨学科联席；核心素养

跨学科联席目标是突破学科边界，让学生在调查研究、合作交流、动手实践、自主探索、独立思考等环节中学会运用多学科知识创造性地提出解决方案.三角函数在物理、工程等方面有广泛用途，在实际应用中它既是定义物理量的依据，也是解决生活问题的工具.教师在数学视角下，开展跨学科教学，为学生提供多类型资源供给和服务支持，结合现实生活、客观事物与数学问题，扩大学生思考范围，使学生在自主合作学习中，抽象概括出三角函数的概念属性，加深知识理解与运用.教师在教学中要把握学科间的关联，把抽象问题形象化、具体化、生活化，将数学知识在情境中“用起来、活起来、联起来”，增强课程的综合性和实践性，让学生在观察、思考、猜想、验证中关联生活经验与多学科知识，对问题表征进行描述，进行深入的思考、判断、分析、探索，逐步形成理性思维，实现数学关键能力与核心素养的综合发展.

1 自主提炼要点，梳理数据信息

跨学科课程要以学生认识经验为依据设计任务背景，使学生能在有推理，有思考的趣味环境氛围中，以积极主动的思维自主发现问题，进一步用逻辑思维和多学科知识、技能，对数据进行运算、推理与抽象.教师要强调多学科知识、技能和现实生活的整体功能，引导学生解决问题时进行缜密周详的分析与推理，理解数学知识的必要性、科学性、合理性.

例如，简谐运动三个特征量是：振幅、初相、频率，教师在教学三角函数的概念、图象和性质时，可结合基本的机械振动、声波和电流，学生在任务场景：用平面镜、金属桶、激光笔、气球膜、橡皮圈、音叉、橡胶锤子设计实验“制作一个音乐钟摆计时器”，学生结合几个量的物理意义提取知识要点，自主观察和探究实验过程，在动手实践和深入观察中通过三角函数图像各种变换，体验由特殊到一般，由简单到复杂的探究过程和思想方法，提高探索能力、科学态度和钻研精神.

学习初始，教师不妨提出问题：请学生说一说声音的产生、传播形式，声音的频率、音色、声调.然后播放动听的“钟摆音乐”将声波、单摆运动与三角函数图象联系起来，增强知识的整体性和联系性.学习中，让学生自主对单摆摆动时位移与时间关系进行检验，或观察声波、电流随时间变化图像，结合三角函数分析、描述.

教师在教学中目标明确，用物理知识引出函数y＝Asin（ωx+φ）图像.由学生独立完成任务，让他们运用数学知识研究y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像变换，自主画出y＝2sinx，x∈R，y＝?sinx，x∈R的简图（在［0，2π］上的图像）概括参数ω对y＝Asin（ωx+φ）图像影响规律，感受三角函数在生活中的广泛应用.

跨學科学习意味着改变与创造，既要注重对学生数学抽象、运算分析、逻辑推理的综合培养，也要培养学习兴趣，为理解而学，为学科知识而学，使学生运用多学科方法、理论，对需要解决问题的路径进行探索的过程了解函数实际意义，增强理解力和创造力，领会三角函数的重要性.

在研究y＝Asin（ωx+φ）图像变换时，结合简谐运动来模拟生活场景，利用已有知识、技能假设、质疑、构想、设计、改进、解释问题，用“五点法”作出y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像，研究三角函数图象变换规律，总结A，ω，φ，这几个参数对函数图像变化的影响，了解函数y＝sinx图像与y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图像之间的变换关系.让学生在解决问题过程中正确使用工具、软件，记录数据、结果，合理分析，提升数学能力和使用工具能力，加深对三角函数的解析式、初相、频率、振幅深刻理解，明白y＝Asinx（A＞0，A≠1），y＝sinωx（ω＞0，ω≠1），y＝sin（x+φ）这三个函数与函数y＝sinx之间关系，自主梳理总结函数y＝2sin13x-16图像与y＝sinx图像关系，对数学方法、思想和所学知识进行总结、概括，提升学习能力.

2 层层递进解答，深入思考验证

跨学科强调个人在学习中能利用两个或多个学科的知识、理论、信息、方法，提出可行的解决方案，以促进学生对数学知识的深度理解.教师在跨学科教学中要把综合知识与问题解决融为一体，推进学生对数学综合应用意识与实践能力的培养，支持学生进行深度学习.

一节课成功与否，关键看内容设计是否符合学生的认知规律和认知层次，教师所设计问题要关注开发学生思维潜力，关注学生能力发展，把课堂真正的还给学生.教师一方面要体现出数学与其他学科以及现实生活的联系，另一方面要以建议者、指导者的身份，辅助学生自己动手获取学科知识，让学生在实际动手的操作体验中自主归纳、类比、探究证据，掌握和学习三角函数的概念.

例如，机械波的波动规律满足三角函数关系.教师设计一个物理问题，要求学生用数学知识求出：“质点位移随时间变化的关系式？”和“简谐波的波速、波长、周期？”.在介质中一列简谐横波沿x轴正向传播，波长不小于10cm，介质中平衡位置为O和A，O和A位于x＝0和x＝5cm处的两个质点.观测t＝0时质点O的位移为y＝4cm，质点A处于波峰位，在t＝13s时，质点O第一次回到平衡位置.A点在t＝0s时，位于波峰位置，A点在t＝1s时，第一次回到平衡位置.可知：T4＝1s，解得T＝4s，O点在t＝13s时，第一次到平衡位置，A点在t＝1s时，第一次到达平衡位置，从O点传到A点，波用时23s，传播距离x＝5cm，波速v＝xt＝7.5cm/s.波长λ＝vT＝30cm.组织学生进行的独立思考、判断、论证和分辨，让学生在物理知识的联系中感受数学价值和作用.

在解决“质点位移随时间变化的关系式？”这一问题时，设质点O的位移随时间变化关系为y＝Asin2πTt+φ，结合问题条件代入上式得4＝Asinφ，0＝Asinπ6+φ，从而得φ＝5π6，A＝8cm，质点O位移随时间变化关系式为y＝8sinπt2+5π6cm.

问题：“求解质点的位移随时间变化的关系式.”学生在思考过程中，可把物理问题转化为三角函数解析式问题进行解答，如果学生把物理观点转化为数学问题，就容易解决问题了.因此，教师要结合高中生的思维特点和认识经验设计问题，让抽象的数学知识更富有挑战性、递进性，培养学生独立思考习惯，使学生在生动、活跃的氛围中，形成良好习惯与态度，学会用数学思维去探究问题、解决问题，深化对数学知识概念的领悟和理解.当学生遇到难题困境时，教师要引导转变学生的解题思路，组织学生以小组为单位进行讨论与质疑，自己读图，发现波动规律满足三角函数关系，根据波动图像找到相关的物理量，抽象出数学概念和变化规律，懂得运用数学思维看待问题，借助数学语言表达思考过程，解决实际问题.

3 拓宽文化学习，形塑积极心态

跨学科学习目的是改变学生的学习方式，让学生在学科学习中能借助多学科的工具来解决问题，塑造积极主动的学习形态.所以，教师在课堂要拓宽数学知识的学习和运用领域，注重跨学科知识的理解与运用，让学生在问题讨论和资料查阅中，产生积极探寻的意愿，并用实际行动、思维，把零散的知识点建构成知识体系，收获知识、经验、观点、感悟.

例如，三角学源于天文运算和测量，泰斯勒为了测量金字塔高度，由相似比产生了三角函数.教师在教学关于“两角和与差的余弦公式”的知识点时，可把数学文化融入进来，组织学生依靠所掌握的知识、技能绘制“正弦表”，进一步推导出两角和与差的余弦公式.在绘图计算过程中，有的学生采用归纳推理方法得cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ.先算出1°的正弦余弦，在加α+β与两个单角α，β，可让弦表制作变得更加简单.有的学生在绘图过程中将几个角放到两个三角形，利用面积相等，得到了两角和的正弦公式：（asinα+bsinβ）acosα＝basin（α+β），acosα＝bcosβ，化简得，asinαbcosβ+bsinβacosα＝absin（α+β）即sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，再进一步通过诱导公式，可得到余弦相关公式.跨学科知识要让学生思考“如何利用所学的数学知识”，解释和具体现象、问题，让学生在实际运算中，发挥创新意识和发散思维，从多角度思考问题，创造性探索出问题的最优解决方案.

对于学生个体而言，三角函数高度抽象，又脱离实际，学生在传统课堂学习很难体会到三角函数广泛应用.教师既要设置丰富有趣的背景文化知识，也要鼓励学生亲自动手去“做”，始终以学生为中心展开推理、判断、分析等环节，让学生在实践探索中内化知识积累.

4 反思问题评述，组织讨论辩析

学生的学习力、记忆力、理解力、创新力与知识信息联系的数量成正比，教师在教学活动中应基于数学知识学科特点和学生的发展需要，设计反思解析环节，引导学生经历“发现、讨论、辨析、分析、反思错误”，让学生在互助、启发、协作、纠错中，不断展示自己解题思路、解题方法，感悟数学严谨、理性精神意志，加深数学概念理解，提高分析、解决问题，归纳、总结等数学能力.

例如，在跨学科学习中，涉及求函数y＝3sinπ4-2x的单调区间，学生在解题时，常把π4-2x看作整體，结合正弦函数y＝sinx的单调性，导致错误解答问题.

正确解答：求函数y＝3sinπ4-2x的单调区间.解：y＝3sinπ4-2x＝-3sin2x-π4，所求单调增区间2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2，即kπ+3π8，kπ+7π8，事实上y＝3sinπ4-2x是一个复合函数，可看作y＝3sinu和u＝π4-2x两个函数的复合，学生在解决问题时，经常会忽视复合函数单调性法则，即符合函数单调性的同增异减原则，以此出现错误.

教师在这一环节要引导学生反思、纠正自己的错误，引领他们在有价值、有意义的活动中反复探讨运算思路，再次确定运算方向，并在持续的判断分析中掌握正确的解题方法，使每一位学生的能力都能得到充分发展，掌握三角函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间、最值、周期、值域与三角函数性质相关问题，让学生在错误原因分析中增强划归意识提高思维的批判性和严谨性.

教师在设计教学内容时要围绕学生的学习困难，要主动听取学生的意见，联系社会、生活、文化重构学习主题，以实现数学重点知识的定向细化.高中阶段学生拥有较强的自主意识和一定的知识储备，教师要综合科学与工程、艺术等相关元素，让学生在包含数学内在逻辑的实践探索体验中持续内化思考，通过自己调整，辨别问题的本质，加深知识概念理解.

而反思评价环节是要诊断学生问题，让学生能基于内在情感需求，结合自身的实际经验和知识技能，不断去践行和创造，自主讨论、分析、思考“为什么要做？为什么这么做？还能怎么做？”让学生综合已有的知识、经验相互支撑，独立完成公式推导过程，发现背后所蕴含的数学知识，体会到数学的应用价值，实现对数学概念知识的深层次的理解性学习.同时，教师也要发挥好指导者的作用，针对学生存在的不足及时调整方法，鼓励学生自主审题，分析解题的条件和错误原因，使学生能从不同的角度，探究运算的方向和思路，总结经验习得多方面的知识，合理选择相应的运算方法，提高数学能力和创新精神.

总之，教师在跨学科视角下，要注重对学生的创造能力、数学情感、数学思维和学习能力的培养，让学生像探索者一样独立发现问题，设计解决问题的方案.支持他们在多学科知识间的衔接中建立已有经验和新经验之间联系，用数学的方式思考问题，增进学习兴趣，提高数学素养.

参考文献：

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