在开放的数学课堂中培养学生发散思维品质

梁修曦

摘要：新课程改革，除了让学生掌握基础知识和基本技能外，更注重培养学生的思维能力及创新意识.在高中数学课堂中，只有让学生积极思考，大胆设想，从多角度尝试解决问题，培养学生的发散思维品质，才可以为国家各领域培养创新人才.本文从教学实践出发，通过五个案例对比，总结了一些开放式课堂的操作要点以及培养学生发散思维品质的方法.

关键词：开放式课堂；发散思维；高中数学课堂；情境创设；信息技术

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0065-03

发散思维是创造力的核心，是灵活应用知识的重要前提.数学课堂中要培养学生的发散思维，教师不仅要采用新颖的教学模式和先进的教学手段增添课堂的活力，更需要开放的态度和足够的耐心，给学生足够的平台展示自己的思维潜力.1 开放的课堂能激发学生更大的潜力笔者在高中数学人教版（2019）必修二第六章《解三角形》复习时，遇到下面的例题.

例1已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanB=2tanC，b=1，求ΔABC面积的最大值.

学生1：由tanB=2tanC可得sinBcosC=2sinCcosB，（*）

进而sinA=3sinCcosB，cosB=a3c=a2+c2-b22ac，得到a2+3c2=3，

SΔABC=12acsinB=12ac1-c29a2=16-4a4+9a2，利用函数求最值可得面积最大值为38.

师：这是从正余弦定理、三角恒等变换和函数最值的角度思考的，同学们还有其他解法吗？

学生2：这道题没必要用三角恒等变换，利用三角形中的结论bcosC+ccosB=a，再联立（*）式解方程，即可得cosB=a3c，后面与解法1相同.

师：确实，利用已有结论让解题过程变得更快捷.还有更好的解法吗？

学生3：借助图形更简单，因为tanB=2tanC，作右图，问题转化为：已知x2+4y2=1，求S=32xy的最大值.利用基本不等式，可求得面积的最大值为38.

师：非常棒，这个解法利用了数形结合的思想.而且综合运用了第二章基本不等式的知识，解答方法更方便了！还有同学有不同的解法吗？

学生4：從初中平面几何的角度来思考这个问题，补形更简单.将图1补成图2，使B为ED的中点，则ΔAEC为等腰三角形，S△ABC=34S△AEC，△AEC面积的最大值为12，从而△ABC面积的最大值为38.

师：太棒了！这个解法最简洁！由此可见，思考问题的角度不同，解决问题的方法就不同，就会有很多意外的收获.

在这段教学过程中，老师给了学生足够的空间，让学生充分思考和表达，突破章节学习的局限，突破高中学段的认知束缚，反而获得了更好的解题途径.

2 在开放的课堂中培养学生发散思维，需要教师更强的随机应变能力

开放的数学课堂意味着课堂有很多不可控的地方，比如出现问题过于复杂、学生讨论的过于激烈、学生的想法不太常见等一些问题，这就需要教师更强的随机应变能力.

例2已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角A-BD-C（如图）.（1）求直线AC与面BCD所成的角；（2）求二面角A-CD-B的正弦值.

学生4：取BD的中点O，连接OA，OC，易证∠ACO为直线AC与面BCD所成的角，且∠ACO=45°.所以，直线直线AC与面BCD所成的角为45°.

学生5：可证AO⊥面BCD，故过O作OE⊥CD于E，连接AE，易证∠AEO为二面角A-CD-B的平面角.AO=32，OE=34，tan∠AEO=2，从而二面角A-CD-B的正弦值为255.

学生6：第（2）可以用三正弦定理，不需要做辅助线.

师：三正弦定理不是高考要求的内容，大家不必掌握.

老师在课堂上忽略了学生6的解法，下课后，学生6再次找到了老师，介绍了自己的好方法：设二面角A-CD-B的大小为α，由三正弦定理可得，sin∠ACO=sinαsin∠ACDsin∠ACD=104，从而sinα=255.

三正弦定理确实不是高考要求掌握的内容，但如果学生学习到了此结论，在解决某些二面角问题中，会有更简洁的解法.而新课程改革正是要加强培养学生的自学能力，学生能掌握更多的知识，拥有更宽阔的眼界，老师为什么不能大大鼓励呢？

3 在开放的课堂中培养学生发散思维，需要更好的情境创设

认知的需要是从实际情境中产生的，没有情境，就很难有认知的需要，更不会引起思维的发散.新课标也提出教师要注重创设情境，并在实际的情境中培养出学生提出、分析、解决问题的能力．

例如，在高中数学人教版（2019）选择性必修1第三章《圆锥曲线的方程》中讲椭圆的概念时，引导学生一起来做实验：取一条没有弹性的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点F1和F2，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画图板上慢慢移动，观察画出的图形特征.

经过这样的启发和思考，学生不仅能总结出椭圆的定义，还能探究出定义中“距离之和为常数（大于F1F2）”的重要性，进而延伸构建出“绳长等于两定点间的距离时，画出图形的是线段；绳长小于两定点间的距离时，画不出图形”的完整知识体系.

4 在开放的课堂中，可应用更多的信息技术手段培养学生的发散思维

立体几何学习对于学生的空间思维能力有着很高的要求，尤其是面对复杂的立体几何图形，教师只依靠粉笔和黑板，很难展现实物的真实效果，学生更难理解其中的线面平行、垂直关系．将信息技术应用于几何教学，借助各种软件可以轻松帮助学生构建空间图形，上述问题迎刃而解，还能极大地培养学生的思维能力.

例3在棱长为42的正方体空盒内，有四个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为；大球体积的最小值为．

后来发现，借助Geogebra软件很容易做出如下图1模型，学生很快就有了求解思路，并提炼出简易模型图2，当正方体盒内四个小球最大时，四个小球相切，且与正方体侧面相切，易求此时小球半径r=424=2，则小球体积最大值为43πr3=823π，显然大球此时最小，大球球心O与四个小球球心O1，O2，O3，O4构成一个正四棱锥，O1O2=2r=22，侧棱OO1=R+2，设正方形O1O2O3O4的中心H1，则O1H1=2，高OH1=OO21-O1H21=R+22-22=R2+22R-2，将OH1向两端延长交上底面于H，交下底面于K，则：HK=OH+OH1+H1K=R+OH1+r=42，故R+R2+22R-2+2=42，即R2+22R-2=32-R，解得R=524．

∴大球体积的最小值为43π×5243=125224π．

5 培养学生发散思维，仍应注重夯实学生的基础知识

众所周知，高中数学具备很强的综合性与抽象性，要求学生具备一定的发散思维能力．而发散思维正是要有完善的知识结构、准确的知识领域观念，还常常跨领域、跨层次，有时还想得更远、更宽.因此我们的课堂既要开放，也需要重视学生基础知识的夯实，让学生深入地理解数学定义、公式、定理等基础内容，为之后的学习与能力的培养提供有力的保障.2021年湖北高考数学第8题就是一个很好的例子.

例3有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）.

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

总之，在高中数学课堂上开放式的教学是大势所趋，促进学生创新精神和培养创造能力也是十分迫切的．只有教师多多创设开放的学习环境，设计开放的教学课题，才能更好地培养学生的发散思维，强化学习的技能，推动新课标改革活动的持续发展，培养出符合社会发展要求的高素质人才.

参考文献：

［1］ 周霞.探究高中数学教学，培养学生发散思维［J］.中学数学，2020（01）：87-88.

[2] 赵明香.高中数学教学中学生发散性思维能力的培养策略［J］.数学大世界，2019（05）：5.

[3] 苗乃群.信息技术与高中数学课堂的有效融合与创新研究［J］.中国多媒体与网络教学学报，2022（05）：79-81，102.

［责任编辑：李璟］