数形结合在高中数学解题中的应用

曹雪凝 马万

摘要：数形结合把相对独立的“数”与“形”联系起来，这种思想贯穿于整个数学体系.本文通过研究例题，阐述数形结合在高中数学解题的有效应用.

关键词：数形结合；高中数学；解题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0029-03

课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成的过程和蕴涵的数学思想方法[1].数形结合就是其中的一个数学思想方法，数形结合即“数”与“形”是密不可分的，应把二者联系起来解决数学问题.解决数学问题是学习数学的重中之重，而数形结合在一定程度上可以快速、简便地解决数学问题.下面通过例题具体分析在解题过程中是否需要使用数形结合方法，以及数形结合方法在解题中的重要性.

1 数形结合在解答“集合”试题中的应用

“集合”是人教版数学教材第一章的知识，它是学生升入高中之后首先需要学习的数学知识.所以，集合是整个高中数学体系的基础.在学习“集合”的过程中，学生会接触到抽象程度较高的概念和运算，这对刚升入高一的学生而言是一个巨大的挑战，这就要求在学习新知和做题时要用直观的方式去启迪思维，将抽象的知识转化为具体的知识.

下面从一道具体的例题来分析数形结合方法在解决“集合”问题中的重要性.

例1某学校高一的一个班级中有40名学生自愿报名绘画、书法、围棋三个选修课，报名情况如下：

①40名学生每人至少选择一个选修课；

②在没有选择绘画选修课的学生中，选择书法选修课的人数是围棋选修课的2倍；

③仅选择绘画选修课的人数比剩余的学生选择绘画选修课的多一人；

④仅选择一个选修课的学生中有一半没有选择绘画选修课；

问：（1）仅选择书法选修课的有多少人？（2）有多少人选择了绘画选修课？

分析本題的条件交错复杂，若用一般的方法难以快速、准确理清思路，可以把选择绘画、书法、围棋选修课的学生分别看成一个集合，并把集合和数据用维恩图表示就可以快速找到数据与数据之间的关系.

解设集合A={选择绘画选修课的人}，集合B={选择书法选修课的人}，集合C={选择围棋选修课的人}，其他部分如图1所示

a+b+c+d+e+f+g=40b+f=2c+fa-1=d+e+ga=b+c

解得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10，a+d+e+f=21

所以，仅选择书法选修课的有10人，有21人选择了绘画选修课.

从例1的解答过程可以看出解决集合问题常常会用到维恩图，即常用平面内的一条封闭曲线的内部表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系[2].也就是说把题目中涉及到的数据都标注在维恩图上，就可以清晰地看到数据和数据之间的关系，简化题目要求，理清解题思路.若题目给出的条件是几个区间，但是区间是无法用维恩图来表示的，随即可以尝试用数轴表示区间，也就是说借助数轴的大小关系来研究几个集合间的关系.

2 数形结合在函数与方程中的应用

有别于集合的知识，函数是高中数学的核心知识.教材把函数章节安排在集合章节的后面，希望学习研究集合的方法可以为学习函数做铺垫，并且教材在内容设计上更加强调函数和图象相结合的方法.初中对函数的定义是“变化说”，高中则为“对应说”.如果不借助图形，“变化”还相对好理解一点，而“对应”则是难以解释清楚，更不用说浩繁的函数变式题了.

下面从一道具体的例题来分析数形结合方法在解决函数与方程问题中的重要性.

例2求方程lgx-sinx=0的解的个数.

分析从代数角度直接求解方程，寻求解的个数，难度较大，不妨考虑先把方程作适当变形，再运用数形结合方法，即借助图象降低思维难度，寻求解答过程.解因为lgx-sinx=0

所以变形可得lgx=sinx，即可看成两个函数y=lgx与y=sinx相交

所以y=lgx与y=sinx的交点的个数就是原方程解的个数

因为-1≤sinx≤1x∈R，y=lgx在0，+∞上单调递增，lg10=1，lgx<1x<10

由图2所示，两个函数y=lgx与y=sinx有三个交点，即原方程有三个解.

从例2的解答过程可以看出，当题目条件只给出一个方程、题目的问题与求解方程有关时，可以把方程做适当变形——借助等号把等号两边的函数看成两条曲线，两边的函数在代数上相等与两条曲线在图象上相交等价，即借助图象表示两条曲线的相交关系，再接着考虑剩余的解题思路.不管题目中出现的是“=”“>”“<”三个符号中的哪一个，只要能把方程做适当变形后看成两条曲线，就都可以用数形结合的方法寻找两条曲线的交点.其中，“数”是方程，“形”是函数曲线，数形结合解决此类函数与方程问题.

人教版教材着重强调一元二次方程和函数图象相对应的知识：如果题目中有方程可以把方程做恒等变形，变形后是两个函数有相等关系或者不等关系，然后把两个函数看成曲线的相交问题.也就是说把方程的根和函数图象与x轴交点的横坐标相对应，即当题目中出现“方程实根”，或“函数零点”，或“函数图象和x轴交点”时，三者虽然表示形式不一致，但是求解方法是一致的，都可以借助图象进行解题.3 解题方法对比

经过前面的分析，已经总结出数形结合的方法在解决集合、方程、立体几何、圆锥曲线问题上的重要性.但是上述例题都是只使用数形结合的方法进行解题，并没有与不使用数形结合的方法形成明确对比.

下面从一道具体的例题来对比分析数形结合方法的优劣之处.

例3求证a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2（其中a与c、b与d不同时相等）

方法一（数形结合法）

证明：设O0，0，Aa，b，Bc，d

所以OA=a2+b2，OB=c2+d2，AB=a-c2-b-d2

当O，A，B三点不共线时，OA+OB>AB

当O，A，B三点共线，且A与B不在O同侧或与O重合时，有OA+OB=AB

当O，A，B三点共线，且A与B在O同侧时，OA+OB>AB

综上所述，a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2

方法二（代数法）

证明：

设m=a，b，n=c，d

所以m-n=a-c，b-d

因为向量模的性质有m+n≥m-n，且m=a2+b2，

所以a2+b2+c2+d2≥a-c2+b-d2.

根据例3的解答过程可以看出，解题时可以使用数形结合的方法，也可以不使用数形结合的方法.若不使用数形结合方法会加大思维难度，并且一但找不到题目的切入点可能会使学生束手无策.而且在解答的过程中有极大可能会涉及其他方面的知识，這道题是借助向量解题，其他的题目或许要借助别的知识.若使用数形结合方法可以从示意图上找到解答思路，大大降低了解题的难度.但是做出的示意图只是满足已知条件的一种特殊情况，为了把情况考虑全面就需要在解答过程中分类讨论.

数形结合思想就是使用具体的图形来解决抽象的代数问题[3]，并在解决集合、函数与方程、圆锥曲线、立体几何等方面的问题上有着广泛应用，与此同时可以培养学生使用数形结合方法解决问题的能力.高中课本上的大部分知识都是非常抽象的，如果不借助图象进行研究，则需要大量的时间梳理题目的已知条件.即使在耗时耗力的前提条件下理清头绪，也有可能无法向他人解释清楚，这说明虽然能做出题目，但是并没有达到真正的理解. 如果采用数形结合的方法，借助图形简化抽象的知识，就可以降低题目的抽象程度、易于理解.

教师向学生讲题目时可以给出两种解题方法，即一种为使用数形结合的解法，另一种为不使用数形结合的解法，给学生一种直观的对比，让学生自己比较两种解法的优缺点，自行选择.这样做可以使学生在独立解题的时候能想到使用数形结合方法，即使找不到完整的解题思路，也可以使学生在思维上有所进步.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书[M].北京：人民教育出版社，2004.

［3］ 张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002：228.

［责任编辑：李璟］