融入课程思政的线性代数混合式教学模式探究

王志华 王成敏

摘 要：围绕立德树人根本任务，本文对课程思政与线性代數混合式教学模式的相互渗透与有效融合开展了探索与研究。线性代数混合式教学的不同环节应体现课程思政的不同方式和内涵，本文对混合式教学的各个环节应该融入哪类思政元素进行了辨析，努力在混合式教学模式下将价值塑造、知识传授和能力培养融为一体，形成协同育人的效应。

关键词：课程思政 线性代数 混合式教学 数学思维

2016年12月，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：“要用好课堂教学这个主渠道，思想政治理论课要坚持在改进中加强，提升思想政治教育亲和力和针对性，满足学生成长发展需求和期待，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”［1］

2020年5月，教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》从九个方面对高校课程思政建设工作进行了部署和指导，明确要把思想政治教育贯穿人才培养体系，全面推进高校课程思政建设，发挥好每门课程的育人作用，提高高校人才培养的质量。

作为高等学校理工科专业核心公共课程之一，线性代数对培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、提升学生的空间想象力和创新思维能力有着不可替代的作用，对学生数学素养的形成和后续专业的学习至关重要。在线性代数教学模式的改革方面，不少高校教师踊跃尝试，推陈出新。比如，胡建成等探究了OBE理念下的线性代数混合式教学模式［2］；王华丽等探究了BOPPPS教学模式在线性代数中的应用［3］；王彬彬等以线性代数为例探究了SPOC教学模式在提升学生自主学习能力方面所发挥的作用［4］；任北上等探究了线性代数课程的PBT教学模式［5］。在这些教学模式中，胡建成等人探究的OBE理念下的混合式教学模式将在线资源有效融入课堂教学中，充分发挥了线上教学和线下教学的优势，拓展了课堂教学的广度和深度，增强了学生学习的自主性，提升了课堂的教学质量，受到师生的广泛欢迎。

一堂完整的线性代数混合式教学包含课前线上预习阶段、课堂线下讲授阶段、课后线上复习阶段。因此，混合式教学不仅要求教师能够在课堂上为学生讲解知识内容，提供学习指导，而且要为学生提供必要的线上学习平台与学习资源，包括课前的预习与检测内容以及课后的复习巩固与知识拓展等。

在线性代数混合式教学模式中，除了课堂教学之外，还有线上学习环节，如何落实立德树人根本任务，将课程思政有效贯穿混合式教学的各个环节，发挥价值塑造、知识传授、能力培养的协同育人效应？本文基于线性代数混合式教学的实践，对课程思政与线性代数混合式教学模式的相互渗透与有效融合展开了初步探索；根据线性代数混合式教学的不同阶段，对其各个环节应融入哪类思政元素进行了辨析。

一、课前线上预习阶段

线性代数混合式教学的第一阶段是课前线上预习阶段，这一阶段的学习内容需要根据课堂教学内容进行设置，可以是以前所学知识的复习与巩固，可以是新知识的预习，通过预习建立新旧知识之间的联系；也可以是某个问题的探究，为课堂教学环节讲授新的概念、定理、方法等提供切入点。在课前线上预习阶段，教师预先在学习平台上传学习资源，发布学习任务，并通过在线测试、访谈、留言、调查等方式及时了解学生的课前预习效果。教师根据学生的线上预习情况，对线下课堂授课的重难点有针对性地进行备课，对学生在线预习遇到的知识难点以及显露出来的知识弱点进行必要的加强与巩固。

由于课前线上预习这一阶段主要以学生自主预习为主，学生处于主体地位，教师处于从属地位，因此这一阶段不宜围绕数学思维能力、数学思想方法等开展课程思政，而应该侧重于从学生的世界观、价值观、人生观以及马克思主义认识世界、改造世界的立场、观点、方法等方面开展课程思政。由于每个学生的家庭背景、生活环境等各不相同，观察事物的角度与思考问题的方式也并不一样，学生对整个世界的看法和观点也不尽相同，从而形成了不同的世界观、价值观、人生观。在课前线上预习阶段，教师应该先对学生进行必要的学情分析，可以在课前通过对学生学习生活、周边同学的评价、一些课程的学习成绩等综合了解学生的基本情况。一般而言，从价值观角度来看，学生能够遵纪守法，理解并认同社会主义核心价值观，具备爱国情怀，但是大多数学生未能做到知行合一，没有将自己当前的学习行为与家国的发展、社会的进步结合起来，没有将自己的理想与信念、志向与抱负融入中华民族伟大复兴的时代背景中去，缺少“为中华之崛起而读书”的气魄与志向。从素质观角度来看，学生的专业知识储备较少，没有形成正确的分析问题、解决问题的方法与思路，缺少去粗取精、去伪存真，从纷繁的事物表象中抓住事物本质的能力；缺少认识、实践、再认识、再实践地认识世界与改造世界的经验与能力；缺乏科学严谨的思维与开拓创新的精神。 因此在课前预习阶段，思政元素的挖掘需要从价值引领与素质引领两个方面入手。

（一）价值引领

价值引领体现在对学生的人生观、价值观，也就是学生的思想、观念、态度、精神、志向、目标等方面的引导。对于这方面思政元素的挖掘，教师可以结合线性代数的概念与理论，通过文字、微课、视频等形式介绍线性代数发展史上取得伟大成就的古今中外数学家，比如行列式理论的奠基人范德蒙、矩阵理论的创立者凯莱、将国外代数理论翻译传播到我国的近代数学家李善兰等。通过介绍这些数学家取得的重要成果以及这些数学家勤学多思、刻苦钻研、敢于创新、淡泊名利的优秀品质，激发学生树立远大理想，勇攀科学高峰，实现人生价值。值得一提的是，我国近代数学家李善兰对国外数学理论进行了翻译，一些术语在国内沿用至今，为我国近代数学思想的传播与发展做出了巨大贡献。教师通过对李善兰的介绍，让学生了解我国近代数学家在代数发展史上发挥的重要作用，树立文化自信。同时我们也要反思我国近代数学落后的根源，摒弃闭关锁国、封建落后的思想，树立自强不息、奋起直追的精神。在课前预习阶段融入这些思政元素，不仅不影响预习的进度和效果，而且可以消除线性代数课程内容的枯燥乏味，引导学生树立远大理想，培养学生高尚的人格情操。

（二）素质引领

素质引领体现在对學生的世界观、方法论，也就是学生的思维、能力、方法等方面的塑造。对于这方面思政元素的挖掘，教师可以结合线性代数的思想与方法提出一些具体的实际问题，让学生利用线性代数中已经学习的方法或理论去分析问题、解决问题，培养学生解决问题的能力，培养学生从具体实例中概括与总结、发现与形成一般规律的能力。比如在介绍行列式的性质之前，教师在线上给出一个具体的三阶行列，通过对调该行列式的两行或者两列让学生观察并总结行列式值的变化情况；将行列式的某行或者某列乘以一个数后让学生观察并总结行列式值的变化情况，为课堂介绍一般的行列式的性质做好铺垫。再如，教师在课堂讲授线性方程组有解或无解的判断之前，可以通过线上预习的方式让学生用消元法求解两个具体的线性方程组（其中一个有解，一个无解），让学生感受并总结什么样的情况下方程组有解或无解。这些探究性问题适合安排在课前线上完成，既发挥了学生的主观能动性，激发了学生探究真理、发现规律的乐趣，培养了学生解决问题的能力，又为教师课堂讲授一般的抽象理论提供了必要的感性认识，提高了课堂教学的效果。

二、课堂线下学习阶段

线性代数混合式教学的第二阶段是课堂线下学习阶段。在这一阶段教师根据学生课前线上预习的情况，结合课堂教学内容，采取适当的教学方法在教室与学生面对面进行授课。这一阶段是教师传授新知识、讲授新理论、介绍新方法的关键阶段，因此这一阶段教师在教学活动中发挥主导作用。在掌握了学生课前在线预习的效果之后，教师在授课时可以有的放矢，着重讲授大部分学生在预习过程中碰到的难点。学生也是有备而来，可通过教师的讲解及时化解预习过程中产生的疑难问题。这种带着问题听课的学习方式既能够让学生感受到课前在线预习的重要性，又能够立竿见影让学生感受到课堂学习的效果。即便个别学生在预习阶段产生的问题教师在课堂上没有讲解，学生仍然可以通过与教师讨论交流的方式化解问题。因此，线下学习阶段学生从课堂学习中得到了最大的收获，教师从课堂教学中得到了最大的满足，课堂学习效果与教学质量得到了极大提高。

课堂线下学习这一阶段的课程思政，应该充分发挥教师在课堂教学中的主导作用，充分利用课堂上教师与学生互动交流的机会，在传授线性代数理论知识的同时融入数学思维，注重学生数学思维能力的培养与数学思想方法的训练。数学思维包括逻辑思维、转化思维、类比思维、辩证思维、逆向思维等，这些思维方式在线性代数课堂教学的过程中经常被用到。下面结合线性代数课程内容，分别对这些数学思维进行阐述，以便教师在讲解线性代数相关内容时能够通过课程思政的方式点拨知识背后的数学思想，提高学生的数学思维能力。

（一）逻辑思维

逻辑思维就是人们在认识事物的过程中，借助概念、判断、推理等思维形式来反映客观现实的理性认识过程。线性代数课程目标本身要求学生掌握矩阵、行列式、线性方程组、线性空间、二次型等基础知识、基本计算与基本理论，通过这些内容的学习培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。由于线性代数课程中各种定理、公式的推导证明过程在逻辑上都是自洽的，都是经过千锤百炼、反复推敲得到的结果，其结论的科学性、准确性、严谨性不容置疑，因此线性代数课堂教学无时无刻不在展示逻辑思维的魅力。学生在这样的学习环境中，耳濡目染、潜移默化，自身的逻辑思维能力自然得以提高。

（二）转化思维

转化思维就是将生疏的问题转化为熟悉的问题，复杂的问题转化为简单的问题，抽象的问题转化为直观的问题。转化思维不仅是线性代数解题中一种最基本的解题策略，而且是一种有效的数学思维方式。比如在求矩阵秩的时候，通过初等变换将复杂的矩阵化为简单的阶梯形矩阵；在求线性方程组的解时，通过消元法将复杂的线性方程组化为简单的方程组；在研究二次型时，通过配方法或者合同变换法将二次型化为简单的标准型甚至规范型，这些变换都运用了转化的思维。因此教师在讲授这些内容时，不能就题解题、就理论理，不仅要讲解数学方法本身，还要引导学生挖掘方法背后运用的数学思维，这样课堂教学质量才能得到质的提高。

（三）类比思维

类比思维就是将两个具有相同或相似特征的事物进行对比，从某一事物的某些已知的特征去推测另一事物的相应特征是否存在的思维活动。线性代数教学活动中也经常用到类比思维。比如在定义矩阵的加法、减法、乘法运算时，可以类比数的加法、减法、乘法运算，特别在定义矩阵的逆矩阵时，通过类比数的倒数来引导学生推测什么样的矩阵是可逆矩阵；在研究矩阵的高次幂运算法则时，可以类比数的高次幂运算法则；在介绍分块矩阵时，可以将分块矩阵中的“子矩阵块”类比成普通的数，将分块矩阵类比成普通的矩阵，这样学生更加容易理解分块矩阵之间的运算规律；在学习向量空间时，可以将向量空间的维数与向量组的秩进行类比，将向量空间的基与向量组的极大线性无关组进行类比，通过类比，学生更加容易理解抽象的概念背后所蕴含的意义。另外，通过类比，学生更加容易抓住事物的不同之处，比如将矩阵的初等变换、相似变换与合同变换三者进行类比，学生更加容易把握它们的区别，避免概念的混淆。

（四）辩证思维

辩证思维通常是用动态的、变化发展的眼光认识事物的一种思维方式，这种思维通常认为与逻辑思维相对立。在逻辑思维中，事物一般是“非此即彼”，而在辩证思维中，事物可以在某一阶段表现为“亦此亦彼”。利用辩证思维考虑问题时，需要厘清事物发展变化的过程中哪些属于事物外在表面“形”的部分，哪些属于事物内部“质”的部分。事物在某个发展阶段，外在表面“形”的部分不断发生变化而内部“质”的部分却不变。比如对矩阵施展相似变换时，矩阵的形式发生了变化，但是矩阵的行列式、特征值等数值始终不变；对矩阵施展初等变换时，矩阵的形式不断发生变化，但是矩阵的秩始终不变；将行列式转化为上三角行列式求值时，行列式的形式发生了变化，但是行列式的值不变。线性代数中的这些变与不变的现象表明认识事物不仅要观察其表象，更要抓住事物的本质。事物形变而质不变，而数学的意义就是用数学的语言研究事物运动变化过程中不变的部分，用数学的概念、公式、定理等方式呈现事物的内部本质或变化规律。

（五）逆向思维

逆向思维就是从事物的对立面来观察、分析、思考和解决问题。这种思维模式能够破除由经验和习惯引起的思维僵化，能够克服思维定式。在线性代数教学过程中灵活运用逆向思维会起到意想不到的效果。线性代数中存在大量等效的概念、性质和法则，在实际教学过程中教师应该充分利用这些等效结果，通过概念的等价形式、命题的逆否命题、公式与法则的逆运算等多种途径，引导学生突破思维定式，开展反向论证，揭示逆向思维的规律，培养学生逆向思维的意识。比如线性代数中求方阵的伴随矩阵，正向思维是从伴随矩阵的定义出发，按部就班求出矩阵每一个元素的代数余子式，然后将这些代数余子式组合成一个伴随矩阵，按照这种思路计算伴随矩阵，计算工作量很大。逆向思维则预先计算一下方阵的行列式，在行列式不为零的前提下，通过初等变换求出矩阵的逆矩阵，再将逆矩阵乘以行列式就得到伴随矩阵，显然运用逆向思维计算伴随矩阵，计算的工作量大大减少。再如，线性代数中经常出现计算行列式中某一行各个元素的余子式或代数余子式的线性组合这类问题，正向思维就是将这一行的各个元素的余子式或代数余子式分别计算出来，然后代入线性组合计算得到结果，而逆向思维则将所求的线性组合转化为一个行列式，通过求该行列式的值得到所求结果，解题思路非常简洁明了，也显著降低了计算的工作量。教师在课堂教学过程中可以设计一些利用逆向思维求解的实例，有意识地培养学生逆向思维的能力。

三、课后线上复习阶段

混合式教学的第三阶段是课后线上复习阶段，这一阶段的主要任务是学生课后在学习平台巩固已学内容。教师可以将课堂重要的学习内容预先录制成视频上传到平台；或者将所学的知识点之间的因果关系以思维导图的形式呈现出来供学生复习巩固；也可以在学习平台布置必要的课后练习，通过练习与测试的方式帮助学生复习巩固主要知识点。另外，教师也可以上传一些拓展性资源，比如课堂知识产生的背景、所学知识的应用价值、相关数学家的研究成果与人生经历等，培养学生学习的兴趣。因为这一阶段学习的侧重点在于知识点的复习与巩固，而且学习环境、学习方式也由教室讲授转换为学生在线复习，因此这一阶段的课程思政应该以数学文化的熏陶、数学美感的浸染为主。

（一）数学文化

线性代数课程中的数学文化需要从线性代数发展史中去探寻。线性代数发展史融入了一代代著名的数学家前仆后继、继往开来、刻苦钻研、勇攀高峰的人生成长史、奋斗史、励志史，通过对这些史料典故进行辨析梳理，可以勾勒出线性代数中重要的概念、符号、公式、命题、定理、方法等知识与理论产生、演变、发展的脉络。

在课后线上复习阶段，教师如果能适当融入线性代数发展史的介绍，比如在学习平台提供一些视频、科普读物等介绍矩阵、行列式等基本概念、符号的演变由来，介绍一些数学家在线性代数理论研究方面取得的成果，介绍线性代数在当今计算机图像处理、信号处理、搜索引擎等方面的应用［6］，这样不仅可以让学生较为系统地感受到线性代数知识体系的发生、发展、成熟、完备的历史过程，而且可以激发学生学习线性代数的兴趣，让学生发现枯燥乏味的数学符号、抽象严密的代数体系背后竟然隐藏着一段段令人津津乐道的数学轶事，线性代数在当今社会生活中竟然有着如此广泛深入的应用。

（二）数学美感

线性代数是一门具有统一美的数学课程。学完线性代数我们便会发现，矩阵的初等变换这一思想方法贯穿课程的始终，无论是求矩阵的逆矩阵、解线性方程组、求矩阵的秩，还是求向量组的极大线性无关组、化二次型为标准型，这些都可以利用矩阵的初等变换这一思想方法加以解决，因此一旦掌握了初等变换的思想方法，实际上就掌握了线性代数中大多数问题的求解之道。总之，线性代数众多问题的处理思想和方法几乎都以初等变换为主。因此，在课后线上复习阶段，教师要培养学生利用初等变换解决相关问题的能力，对能够利用初等变换求解的线性代数问题进行归纳总结，让学生体会到线性代数中初等变换这一重要思想方法所具备的统一美。

另外，线性代数和其他数学课程一样，具备简洁美的特征。所谓简洁美，指的是透过复杂繁乱的事物表象，对事物的本质进行总结、概括与抽象，并用简单清晰的数学语言表现出来的概念、理论、方法，同时这些又反过来解释、指导更多的客观现象和事物。比如，线性代数中矩阵秩的概念、线性空间基与维数的概念、矩阵的特征值与特征向量的概念、矩阵相似对角化的理论、二次型理论、矩阵求逆公式、坐标变换公式等等，这些概念、理论和公式呈现出“形式的简洁性、内容的丰富性”就是简洁美的重要体现。另外，矩陣、向量等抽象符号的引入，大大简化了行列式、线性方程组、二次型等表达式的表示形式，人们在研究这些问题时不再被如何简洁描述这些问题而困扰，从而能够集中精力研究问题本身。在课后线上复习阶段，教师不仅要让学生欣赏到线性代数的简洁美，而且要身体力行，通过课后练习的方式力求让学生做到证明过程要简洁、计算过程要简化、同类项要合并，培养学生追求简洁美的意识。

四、结语

线性代数混合式教学模式实现了线上与线下这两种教学模式的交替融合，充分发挥了线上教学与线下教学各自的优势，实现了优势互补，达到了教学效果的最大化。而且混合式教学不仅照顾到大多数学生的学习需求，而且兼顾到学生的个体差异，体现了个性化、差别化的人才培养要求。同时，针对课前线上预习、课堂线下学习、课后线上复习三种不同阶段，学生的学习环境、学习方式、学习任务不同，教师要积极探索这些不同阶段课程思政的不同内涵，将课程思政贯穿到线性代数混合式教学的各个环节，实现了全程、全方位育人的要求，形成了价值塑造、知识传授、能力培养的协同育人效应。

参考文献：

［1］ 习近平谈治国理政：第2卷［M］. 北京：外文出版社，2017：378.

［2］ 胡建成，周钰谦，杨韧. OBE理念下的线性代数混合式教学探索与实践［J］. 大学数学，2022（1）：32-37.

［3］ 王华丽，冯倩倩. BOPPPS教学模式在线性代数教学中的应用及效果评价［J］. 黑龙江科学，2021（1）：52-53.

［4］ 王彬彬，庄常陵，王华丽. SPOC教学模式提升自主学习能力效应研究——以“线性代数”课程为例［J］. 黑龙江科学，2020（17）：68-69.

［5］ 任北上，田检，蒋春玲，等. 线性代数课程PBT模式的探究［J］. 南宁师范大学学报（自然科学版），2020（1）：143-148.

［6］ 胡莹莹，孙毅. 《线性代数》课程教学改革的研究与思考［J］. 吉林省教育学院学报，2018（3）：49-52.

基金项目：江苏省高校“高质量公共课教学改革研究”专项课题“基于OBE理念的线性代数混合式教学模式的探究与实践”（2022JDKT102），江苏高校“青蓝工程”资助，泰州学院教学改革课题“‘双减背景下师范专业人才培养模式的改革与创新”。