判断函数单调性的三种策略

吴静怡

摘 要：函数的重要性质之一就是单调性，函数的单调性应用广泛，利用函数单调性对解决某些数学问题也有“奇效”，故而函数单调性也一直是高考数学的热门考点，常作为解题中至关重要的一个环节出现.如何判断函数的单调性也是很多学生面临的问题，故本文结合具体例题来介绍三种常见的解题思路：利用函数单调性的定义判断、利用导数判断、利用“同增异减”规律判断.

关键词：函数问题；单调性；判断技巧

1 利用函数单调性的定义判断

定义是解决问题的最基本方式，判断函数的单调性也是如此，对一部分函数而言，利用定义判断函数单调性十分简单.函数单调性的概念是：在函数f（x）的定义域I的某个子集D内取两个自变量x1、x2，当x1＜x2，则有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），则函数f（x）在区间D上是单调递增（或单调递减）.解答这类问题，解题思路一般为：① 在区间D内任取两个自变量x1、x2，令x1＜x2；② 求f（x1）-f（x2），并将上式转化为最简因式的乘积或商的形式；③ 根据因式的大小判断f（x1）-f（x2）的符号，最后得出结论.

3 利用“同增异减”规律判断

判断形如f［g（x）］的复合函数的单调性是判断函数单调性问题中较为复杂的一类，对于这一类問题要注意三个点，一是要注意函数的定义域，二是要注意复合函数中内函数和外函数的单调性，三是要利用“同增异减”规律判断复合函数的单调性.“同增异减”就是指当内函数和外函数的单调性一致时，则复合函数为增函数；反之，当内、外函数单调性不一致时，则复合函数是减函数.解答这类问题，解题思路一般为：① 分别判断内函数和外函数的单调性；② 利用“同增异减”规律判断复合函数单调性即可判断出函数单调区间.

典例1：求函数y=-x2+4x-3的单调区间.

思路分析：本题就是典型的f［g（x）］的复合函数，需分别找出内函数和外函数的单调区间，当区间相同且单调性一致时，函数y=-x2+4x-3在此区间上就是增函数，当区间相同但单调性不一致时，函数y=-x2+4x-3在此区间上就是减函数.

除此之外，还可以利用图象的直观性判断函数的单调性，利用函数的奇偶性判断函数的单调性等.等.总而言之，在求解函数的值域、数列、最值等问题时，函数的单调性发挥着巨大的作用，因此稳固掌握函数的单调性及其判断单调性的方法能够帮助学生快速求解.本文提供了三种求函数单调性问题的解题思路和应用步骤：利用函数单调性的定义判断、利用导数判断、利用“同增异减”规律判断.不同思路对应解题方式各不相同，有助于学生快速采取正确合理的思路解答这一类问题，提高解题的效率.

参考文献：

［1］ 徐英新，郭飞.导数在判断函数单调性上的应用［J］.中学生数学：初中版，2006（11）：15.

［2］ 廖邦亮.从高考的视角探寻导函数研究函数单调性的一般规律［J］.教学考试，2020（20）：5052.

［3］ 倪铜.激活学生思维提高课堂效率——导数法判断函数单调性教学中的“问题导引”［J］.中学数学，2015（19）：9091.