高中函数的一些性质

【摘要】函数在高中的教学中占着核心的作用，是学习高等数学的基础。本文将简单的介绍函数单调性和对称性以及奇偶性。

【关键词】函数 单调性 对称性 奇偶性

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0081-02

一、函数的定义

在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

二、函数的单调性

函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f（x）的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f（x）也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

1、函数单调性的定义：一般地，设函数 的定义域为D，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，则有 （ ），那么 在区间D上是增函数（减函数）.

理解函数单调性时，应注意以下问题：

（1）函数的单调区间是定义域的子集，确定函数单调区间时，应首先确定其定义域，定义域中的 相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代。

（2） 在区间D1 ，D2上是增函数，但 不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样 在区间D1 ，D2上是减函数，但 在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如： 在区间 上为减函数，在 上也是减函数，但 在 上就不能说成是减函数。

2.1证明单调性的方法

1 用定义法证明函数 单调性的一般步骤是：

（1）取值：对任意 ，且 ；

（2）作差变形： ；

（3）定号得出结论

2用导函数研究函数的单调性：

（1）确定函数的定义域

（2）对函数求导

（3）解出导函数大于0或者小于等于0的x值

（4）当导函数大于等于0增函数，导函数小于等于0减函数

3通过四则运算确定函数的单调性

对于具有单调性的两个子函数而言：他们的定义域没有交集：

（1）两个函数具有相同的单调性，那么两个函数的和组成的新的函数单调性与原来的相同，但是两个函数的减法，乘法，除法与原来的不一定相同。

（2）如果两个函数的点调性相反，则新得到的函数（两个函数相减或者相乘是增函数），但是新得到的函数（两个函数做加法或者除法）是不能确定的

4.图像法

函数的单调性还可以从图像上进行描述，对于给定的区间上的函数f（x），函数图像如果从左向右连续上升，则函数在该区间上单调递增，此时导函数f（x）<0，；函数图像如果从左向右连续下降，则函数在该区间上单调递减，导函数f（x）<0.

函数单调性是函数的重要性质之一，函数的单调性在比较大小，证明不等式，解不等式，求最值，求值域以及实际问题中都有广泛的应用。

三、函数的对称性

1.函数的对称性可分为轴对称和中心对称：

①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性

常数函数 轴对称和中心对称 直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴

一次函数 轴对称和中心对称

二次函数 轴对称但不是中心对称 其对称轴方程为x=-b/（2a）

反比例函数 轴对称和中心对称 原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴

指数函数 不是轴对称且不是中心对称

对数函数

幂函数 奇函数中心对称，偶函数轴对称，其他幂函数不具备对称性 奇函数中心对称，对称中心是原点；偶函数轴对称，对称轴是y轴

正弦函数 轴对称和中心对称 其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

余弦函数 既是轴对称又是中心对称 x=kπ是它的对称轴，

（kπ+π/2，0）是它的对称中心

正切函数 不是轴对称，但是中心对称 其中（kπ/2，0）是它的对称中心

三次函数 三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

绝对值函数 y=f（│x│）和y=│f（x）│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称；后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方 偶函数，它会关于y轴对称

y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。

3.1函数的对称性

1、具体函数特殊的对称性

一个函数一般是不会关于x轴的：因为一个x不会对应两个y的值。若，原曲线上有点（x，y），当点（x，-y）在图像上，那么该曲线关于x轴对称；当点（-x，y）在图像上，那么该曲线关于y轴对称；当点（-x，-y）也在图像上，那么该曲线关于原点对称；当点（y，x）也在图像上，那么该曲线关于y=x对称；当点（-y，-x）也在图像上，那么该曲线关于y=-x轴对称。

2、抽象函数的对称性

性质1 若函数 关于直线 轴对称，则以下三个式子成立且等价：

四、函数的奇偶性

4.1函数的奇偶性定义以及判定

先看定义域是否关于原点对称，如果不是关于原点对称，则函数没有奇偶性。若定义域关于原点对称则 ，f（x）是偶函数， ，f（x）是奇函数。

以上的两幅图分别是函数 和 ，由于偶函数自变量是关于y轴对称的而且，左右两边自变量的函数值是相等的，所以能够轻易辨别，左边的是偶函数，右边不关于y轴对称，所以不是偶函数。下面的图同理可得，左边为奇函数，而右边并非奇函数。

在函数的性质中，对称性与函数的奇偶性乃至周期性三者密切相关，掌握其关联，这对学习函数或者是解决函数问题都有很大的帮助。

参考文献：

[1]黄丽，高中函数单调性的概念教学研究[J]，2014

[2]常莪，高中函数教学研究与实践[J]，2009

[3]祁红，函数的性质——单调性[J]，学科教学，2013.3、

作者简介：

牟锐（1982—）男，湖北利川人，任教于湖北恩施高中。