《函数的单调性》课例研究

田万华　杨媛媛

【摘 要】 函数的单调性是函数的几大重要性质之一，它直观且有效地反映了函数的变化趋势，是我们研究函数问题的重要内容和研究其它性质的重要手段，它的应用非常的广泛，比如我们可以应用函数的单调性来估计生活中的股票和经济情况的变化趋势，从而更准确的抓住这些信息，有利于帮助投资者作出决策和选择；在数学中，利用单调性求函数的最值往往是最直观和最容易的方法；单调性的题目在各种考试和高考中经常的出现，尤其是有关单调性的证明，复合函数的单调性的应用等，更是让许多考生苦不堪言，所以学好函数的单调性至关重要。本文结合我的教学课堂，以课后总结式的形式写此文章，重在体现新课标和新课改的大环境和要求下的教学新观念，将课堂还给学生，学生是教学的主体，老师要变教为导，变教授为自学，多设置情境和问题，激发学生的学习热情和探究问题的能力，由于经验不多，还在学习摸索中，本文权当记录一次课堂教学的同时，总结经验和不足促使我以后的课堂教学更有效。

【关键词】 增函数减函数；单调性；单调区间

【中图分类号】G63.25 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）18-0-02

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，因此如果我们掌握了函数的变化规律，也就基本掌握了相应事物的变化规律。函数的单调性的学习，就是要学生通过观察已知的熟悉的函数的图象，得出函数图象的上升和下降的整体直观的感受，并且能够根据图象口头叙述函数的上升和下降的情况。下面是教学教案中的一部分，主要记录的是课堂实际的实施情况。

请同学们做出的图象。

观察函数的图象，请你说出它们的上升和下降的情况。

生：的图象一直在上升，而的图象先是下降后是上升。

师：好。能否说的更具体和完整一点？

生：的图象由左至右一直在上升，而的图象在y轴的左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的。

师：很好。大家的叙述很准确。结合我们以前学过的函数，我们知道函数中有许多函数的图象具有这样的上升和下降的性质，我们把函数在图象上表现出来的这种上升和下降的性质叫做函数的单调性。这就是我们今天要研究的函数课题。

那么，请同学们结合图（2），我们如何描述函数图象的上升和下降呢？

生：图象在y轴的左侧下降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着减小；图象在y轴的右侧上降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。

师：很好，这是我们的纯粹的自然语言来叙述，是我们在图象的基础上直观的表达出图象特征。在我们以后的学习中，我们会遇到很多函数是以解析式的形式给出，其中有些还不一定能够用手工作出函数图象，我们又怎样来判断其单调性呢？为此我们就要用数学语言来给函数的单调性下个定义。

请同学们研究函数的图象，计算f（1）、f（2）、f（3），并将它们标在函数的图象上。

生：发现f（1）

师：那么a>b>0时，f（a）与f（b）的大小关系是？

生：f（a）>f（b）。

师：思考一般的结论是什么？

生：在区间上，只要，就有。

师：同学们回答的很好。我将大家的叙述总结起来就是：对于二次函数，我们可以这样描述：在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。也就是在区间上任取，得到，当时，总有。这时我们就说函数在区间上是增函数。

请同学们试着用我们的数学语言定义函数f（x）的单调性。

生：对于函数f（x），如果对于任意的，当时，有，则称函数f（x）为单调增函数。

师：请同学们对照教材中增函数的定义，看看有什么不同？为什么？

生：教材定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：教材定义中为什么要说“对于定义域I内某个区间D”呢？

这是因为函数在其定义域内其单调性并不是一成不变的。如的定义域为，当时是减函数，而时却是增函数，显然，其单调区间。这也说明了函数的单调性是函数的局部性质。

请同学们仿照增函数的研究方法，研究并定义减函数。

生：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=（x）在这一区间具有单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间，其对应的区间D称之为单调增区间或单调减区间。

例1：下图是定义在[-5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上是增函数还是减函数？

解：函数y=f（x）的单调区间有（-5，-2），[-2，1），（1，3），[3，5]。其中y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数；在区间[-2，1），[3，5]上是增函数。

生甲：老师，在两个区间的公共端点处，比如x=1处，这个函数是增函数还是减函数？

师：这个问题提的很好，请大家对照我们的定义想一想这个问题，有没有哪位同学可以回答这个问题？

生乙：我认为在x=1处，不具有单调性，因为由定义知函数的单调性是在某个区间D上具有单调性。

师：回答正确。这里我还要补充说明一点，虽然对于这个函数y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数，但我们不能说函数在区间上是减函数。

这次教学采用师生问答的形式，老师旨在引导，学生充分自主，以学生自主的学习为主，意在适应新课改理念下的课堂教学，以突出平等、合作与交流、相互理解、转变角色等新观念，使师生间的教与学相互促进。具体的突出了研究函数时我们常用的数形结合的思想和研究函数性质的步骤，即第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号的语言定义函数的性质。在增函数的研究过程中，让学生自己用自己的语言描述，再用数学语言定义，大胆的让学生去尝试，重在锻炼学生的将实际问题抽象成数学语言的概括能力、语言的严密性和准确性。在研究减函数时完全将课堂交给了学生，让学生学会用类比的思想方法处理问题的技巧和能力，例题的目的在于使学生能够结合定义，根据图象能够用数学语言解决问题，进一步巩固知识和加强应用能力。在学生参与的同时有效地完成了教学目标。

参考文献：

1.汪江松主编，重难点手册高中数学1，华中师范大学出版社；

2.人民教育出版社数学教材必修1；

3.人民教育出版社数学教材必修1教师教学用书.