转化思维探索奥秘

周娟

摘 要：转化是一种非常重要的数学思想，也是高效解题的思维方式.将其应用到数学解题教学中，可促进复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、抽象问题直观化等，降低了学生的解题难度，显著提升了学生的数学解题能力.本文就以此切入，结合例题，针对转化思想在初中数学解题教学中的具体应用，进行了详细的探究，具备一定的参考价值.

关键词：初中数学；转化思想；解题教学；应用策略

数学是初中阶段一门重要的基础性学科，旨在培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力.同时，鉴于数学学科的特点，初中数学题目灵活多变，学生在解题时常常会遇到一些复杂陌生的问题，给学生的解题增加了极大的难度.面对这一现状，为了帮助学生顺利完成题目的解答，教师在开展解题教学时，应适当融入转化思想，将复杂的数学问题简单化、陌生的问题熟悉化、抽象的问题直观化、实际问题数学化等，以便于学生运用所学的数学知识快速解答.

1 转化思想在初中数学解题中的应用

经实践证明，当面临复杂、难以解决的问题时，合理运用转化思想，可充分利用数学知识的内在联系，将所求的问题进行转化，从不同的视角进行解答.

1.1 换元转化

换元法在初中数学解题中尤为常见，就是运用单个变量代替含有多个变量的方式，属于最为简单、常见的转化思想.在初中数学解题中，通过换元转换，可将原本复杂的数学问题进行简单化，帮助学生迅速理清解题思路，减少运算量，极大地提升了学生的解题效率.

例1 解分式方程2x2+2x2-7x+7x+2=0.

解析：在解答这一题目时，如果按照常规的思路进行解答，就会遇到高次方程，超出了初中生已有的知识范围.此时，即可借助换元转化思想，先将题目进行适当变形，使其成为2x-1x2+2-7x-1x+2=0，之后通过观察即可找到需要换元的式子，设x-1x=t，则原来的方程即可转化为2t2-7t+6=0，随之解方程得出两个解，分别为2、32.当t1=2时，x-1x=2，解方程得出x=1±2.

当t2=32时，x-1x=32，解方程得出x=-12或者x=2.

因此，得出方程共有四个解，即：x1=1+2、x2=1-2、x3=-12、x4=2［1］.

例2 解关于x的一元四次方程：x4+ax3+bx2-ax+1=0.

解析：这一方程中，最高次为4，题目超出了初中生已有的知识范围.在面对这一类问题时，首要问题就是降次.通过仔细观察，就会发现本题目具备对称的特点，因为x=0并非是方程的解，即可将原方程转化为x2+ax+b-ax+1x2=0.

对其变形之后，就可找到换元的部分，即：x-1x=t，那么原方程就变为t2+at+b+2=0，Δ=a2-4b-8.

当Δ＞0时，对换元之后的方程进行求解，得出t1=-a+a2-4b-82、t2=-a-a2-4b-82，之后将其代回x-1x=t中，得出原来方程的解为：x1、2=t1±t21+42、x3、4=t2±t22+42.

当Δ=0时，解方程得出t1，2=-a2，将其代回x-1x=t中，得出原来方程的解为：x1、3=-a+a2+164、x2、4=-a-a2+164.

当Δ＜0时，方程无解.

由此可见，在一些难度系数比较高的解方程题目中，有的题目甚至已经超出了学生已学知识的范围，只要借助换元转化的方法，即可将原本复杂的问题进行简单化，使得学生能够运用所学的知识进行解答［2］.

1.2 等式转化

在初中数学解题中，等式转化也比较常见，常用于不等式的计算中.通过这一转化思想的应用，可将繁杂的不等式进行简化，降低问题的难度，使得学生在短时间内迅速解答该题目.具体来说，在等式转化思想中，最为常用的有配方法、移项法等，学生在具体解题时，可结合实际情况，有针对性的选择.

例3 x的值同时满足不等式6x-2≥3x-4和x4-1＜2-x2，求x的整数值为多少？

解析：这一题目形式比较复杂，旨在引导学生借助复杂的计算，将不等式的解集求出来.鉴于此，在引导学生进行解题时，就可结合题目观察，结合其对称性、传递性，确定出具体的转化思路.结合已知条件，可将其整理形成一个一元一次不等式组6x-2≥3x-4①

x4-1＜2-x2②；之后，再结合不等式的基本性质，可将原来的不等式进行转化，使其成为2x-23≥x-43③

x-4＜8-2x④；对第二次变化之后的不等式组求解，解不等式③得出x≥-23；解不等式④得出x＜4，因此该不等式组的解集为-23≤x＜4；最后，结合题目的要求，要想同时满足6x-2≥3x-4和x4-1＜2-x2的x整数值，即可得出最终答案x=0、1、2、3.

例4 已知a是方程x2+x-1=0的根，则代数式a3+2a2+2018的值是多少？

解析：很多學生在看到这一题目时，常常没有任何头绪，不知道如何进行求解.事实上，这一问题非常简单，只要学生运用转化方法，对题目中所给的已知条件进行变形即可.对已知条件进行观察分析，发现只要采用合理配凑的方法，就可在已知条件和所求问题之间构造起来关系.即：因为a2+a-1=0，所以a2+a=1；又因为a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a（a2+a）+a2+2018，所以将a2+a=1代入到原式中，得出：a3+2a2+2018=a（a2+a）+a2+2018=a+a2+2018=1+2018=2019.

可见，在本题目解答中，正是借助了转化思想，降低了问题的难度，进而使得学生在短时间内完成其求解［3］.

1.3 变更转化

在初中数学解题教学中，鉴于数学学科的特点，学生解题的时候，无需禁锢在某一个知识点中，可打开思维，立足于数学知识点的内在联系，引导学生借助变更转化的思想，将复杂的数学问题进行转化，使其成为另一个数学知识点，进而完成题目的解答.

例5 方程-x2+2ax+b=0的两个实数根，在方程-x2+2ax+a-2=0两个实数根之间，求a、b之间的数学关系？

解析：按照传统的解题思路，需要将两个方程的根分别求出来，然后再结合题目给出的条件进行对比，确定出a、b之间的关系.但是这一方法比较复杂，需要进行大量的计算，并且稍不留神就会出现错误.鉴于此，就可借助转化思想，为学生提供新的解题思路，即：立足于方程与函数的关系，将题目中的两个方程进行转化，使其成为两个二次函数：y1=-x2+2ax+b、y2=-x2+2ax+a-2.

之后，结合二次函数的相关知识，即可简单地判断出两个函数图象的开口均向下，且具备同一条对称轴.同时，结合算理可明确函数y1=-x2+2ax+b的顶点坐标为（a，b+a2），函数y2=-x2+2ax+a-2的顶点坐标为（a，a2+a-2）.最后，结合题目中所给出的已知条件，即可精准判断出a、b之间的数学关系为-a2＜b＜a-2.可见，在初中數学解题中，可充分结合数学知识的特点和内在联系，将某一个数学问题进行变更转化，运用另一个数学知识点进行解答，旨在降低解题难度，提升解题准确率.

1.4 数形转化

在初中数学解题中，数形转化尤为常见.鉴于数学学科的特点，数和形是数学学习中不可或缺的两大部分，数和形既对立又统一，在绝对值、函数、方程、不等式等数学问题中尤为常见.因此，在开展解题教学时，就必须要结合实际情况，实施渗透数形转化思想，使得在数形转化中找到解题的突破口.

例6 如图1所示，△ABC的三个顶点分别是A、B、C，如果函数y=kx在第一象限内的图象和△ABC存在交点，那么k的取值范围是多少？

解析：这一题目难度系数相对比较高，如果学生按照常规的思路进行解答，很快就发现超出了初中生的知识范围，很难求解.此时，即可借助数形转化思想，结合题目中已知条件，以及图象辅助，找到解题的思路.在函数y=kx中，因为其属于反比例函数，当k＞0时，k值越大，距离y就会越远；当函数经过A点时，为k左边的临界，右边临界则要满足和直线BC相切.由此即可找到解题的关键.将点A（1，2）代入到反比例函数y=kx中，得出k=2，此时，结合B、C两点坐标，即可得出直线BC的解析式y=-x+7.因为y=kx与△ABC在第一象限内存在交点，即y=-x+7与y=kx至少存在一个解.之后，联立得出x2-7x+k=0，要想使其至少存在一个交点，则Δ≥0，最终得出k≤494，因此k的取值范围是2≤k≤494.由此可见，针对一些难度系数比较大的问题，尤其是当问题中带有结合图象性质的数学问题时，就可融入数形转化思想，将原本复杂的数量关系转化为图形，进而发挥图形的辅助价值，顺利完成该题目的解答［4］.

1.5 模型转化

在数学学习中，数学模型是对数学事物、数学问题的特征进行抽象概括的一种工程模型.同时，模型转化也是一种常见的转化思想，在几何解题中比较常见.尤其是当学生在解题时，遇到了不常见的几何模型时，就可利用模型转化这一思想，降低问题的难度，以便于学生快速找到问题的解决方法.

例7 如图2所示，在一个圆柱形水杯中，在杯内壁B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与B 相对的A处，蚂蚁要想从A处爬向B处，如何爬行距离最短？

解析：在这一几何问题中，要想求出蚂蚁爬行的最短距离，学生首先想到的是将AB两点连接起来.但是在本题中却是行不通的.因为该图形为一个圆柱，必须要将其展开成为一个平面图形，再将AB连接起来.此时，就可借助模型转化的方法，将圆柱展开成长方形，并将A、B两点确定出来（如图3所示）.

如此，通过模型转化之后，上述的题目就变成：在定直线l上寻找一个动点P，使得PA+PB最小？针对这一问题解答，就可连接AB两点，并与直线l相交于Q点.在△PAB中，因为PA+PB≥AB（当且当PQ重合）.如此一来，通过转化，即可运用所学的知识，顺利解答.可见，当学生在面临抽象的几何问题时，就可借助模型转化思想，将原本复杂的模型转化为更加直观、简单的模型，最大限度降低问题的难度.

2 基于数学转化解题思想的教学研究

在初中数学解题教学中，转化思想是一种非常重要的数学思想，也是一种常用的解题工具.同时，数学转化思想也是一种数学思维训练方式，可促使学生在数学转化中形成极强的逻辑思维能力，真正提升学生的数学综合素养.鉴于此，作为一名初中数学教师，唯有转变传统的教学理念和模式，重视数学转化教学，并将其渗透到日常教学中.

首先，为学生营造问题转化的学习环境.新课程改革的背景下，要想真正提升学生的数学解题能力，教师在开展解题教学时，就不能局限于传统的解题教学模式，拒绝“就题论题”的解题教学模式，而是引导学生主动探究问题的本质规律.而要达到这一目标，初中数学教师在开展解题教学时，就必须要尊重学生在学习中的主体地位，不仅仅要立足于初中生已有的知识掌握情况、认知思维发展能力，还应为学生提供一个更加开放的学习环境，以便于学生更好地思考题目、探究题目，最终在探究的过程中，梳理思路、领悟内涵，切实掌握数学转化的相关路径和方法.

其次，关注学生解题时的思维过程.在以往的初中数学解题教学中，教师的教学重点，常常集中在解题结果上，仅仅是给出问题，引导学生积极思考，解答出正确答案即可.很少关注学生在解题过程中的思维情况.在这种解题教学模式下，学生的解题基本上都是“死搬硬套”的，一旦题目有所变动，学生就面临着无法解答的困境.面对这一现状，在优化数学解题教学，培养学生数学转化思维时，就必须要转变传统过分关注解题结果的现象，而是关注学生的解题过程，在解题中给学生独立思考的时间和空间，并通过适当的变式训练强化学生的数学思维，使其在针对性的训练中，形成系统化的知识体系，灵敏的数学思维，能灵活运用所学的数学知识解答实际问题.

再次，引导學生掌握问题探索的方法.在数学转化解题中，对学生的数学综合素养提出了更高的要求.学生需要用到正向、逆向、发散等各种思维方法.其中，正向思维是从已知条件出发，直接推导结论，属于一种常规性的思维；逆向思维则是从问题着手进行思考；发散性思维则是从题目中的某一个已知条件出发，开展多角度延伸，将当前的问题进行转化，使其成为新的问题.鉴于此，教师在日常教学中，应全面加强学生探索方法的训练，使其在日常解题中，逐渐掌握多种思考方法和技能，以便于在解题时灵活应用.

最后，提升教师自身的指导能力.教师在解题教学中，常常扮演着十分重要的角色，教师自身的专业素养、教学指导能力直接决定了解题教学的效果.鉴于此，要想真正提升初中生的数学转化解题能力，教师必须要具备极强的专业素养，能够将转化解题教学渗透到日常教学中，使得学生在日常学习中领悟其内涵.同时，教师还应具备突出的教学能力，能够结合转化解题教学的内涵，灵活组织课堂教学，使得学生在多样化的数学课堂学习中，逐渐掌握这一技能［5］.

3 结束语

综上所述，鉴于数学学科的特点，解题教学是初中数学教学的重要组成，不仅仅体现了学生的数学基础知识掌握情况，也是数学思维、知识应用能力的集中反应，直接体现了学生的数学综合素养.在初中数学解题教学中，鉴于数学学科的特点，学生在解题中常常面临诸多困难，致使其解题频频受阻.面对这一现状，就可融入转化思想，引导学生在换元转化、数形转化、等式转化、变更转化、模型转化中，促进复杂问题简单化、抽象问题直观化，以便于学生在转化中，打开解题思路，顺利找到解题的“突破口”.

参考文献：

［1］ 刘学琴.转化思想在初中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2022（26）：29-31.

［2］ 陈健.巧妙转化 化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用［J］.新智慧，2022（13）：16-18.

［3］ 王志萍.转化思路 探索奥秘——初中数学解题教学中转化思想的运用策略［J］.数理化解题研究，2022（8）：17-19.

［4］ 丁帮琴.转化思想在初中数学解题教学中的运用［J］.试题与研究，2021（30）：15-16.

［5］ 黄祖銮.转化思想在初中数学解题中的应用与实践研究［J］.考试周刊，2021（43）：77-78.