教学案例：“苏科版八年级数学 4.1平方根（1）”

郑骏

摘 要：本文基于校本课堂模式研究，结合初中数学教学案例：“苏科版八年级数学 4.1平方根（1）”，针对课堂的三个关键环节，确定目标、达成目标、反馈补偿开展了尝试探索，从而提升课堂教学效能，进一步发展学生核心素养.

关键词：校本课堂模式研究；核心素养；初中数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“学生通过学习义务教育数学课程，掌握适应现代生活及进一步学习必备的基础知识和基本技能、基本思想和基本活动经验；激发学习数学的兴趣，养成独立思考的习惯和合作交流的意愿；发展实践能力和创新精神，形成核心素养.”［1］笔者以“苏科版八年级数学 4.1平方根（1）”为例开展校本课堂模式研究.

1 深度备课，细化目标——精确目标

细化教学目标的过程既是对整节课的设计、定位的过程，也是确定教学重、难点的过程.

苏教版八年级上4.1平方根（1）教学参考书上给出的目标为：1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些数的平方根.

首先教学参考书给出的教学目标是合理，教师要利用这个教学目标设计本节课的教学流程及框架：平方根概念——根号（符号）的教学——通过例题求某些数的平方根.从教师的角度，平方根的概念是非常的简单，但是因为这里涉及逆运算的过程，所以对于学生而言是非常抽象的.接下来就是如何突破这个难点.既然平方根的概念是难点，那么就可以对照平方根的概念x2＝a进行思考，因此选定二次方程作为载体进行概念辨析.

经过这样的思考后，最后定下本课的教学目标：1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些数的平方根；3. 会利用平方根的意义解简单的二次方程；4. 让学生积极参与数学活动，培养其对数学的好奇心与求知欲.

精确目标其实就是厘清本节课“讲什么？”的过程，其核心就是在于深度备课，只有教师对知识的来龙去脉了然于胸，才能准确地设计课堂内容.

2 增加预设，精准提问——精炼过程

2.1 创设情境，引入新課

情境：设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个三角形的斜边AB，A′B′的长吗？

可以作为创设情境载体的内容有很多，例如：一间面积为15m2的正方形房间，它的边长是多少？剪4个直角边长为10cm的等腰直角三角形，把它们拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少……最终选用勾股定理的简单应用作为载体的原因，一方面是从数学知识上它是连贯的，另一方面也是符合学生的认知需要的.

2.2 合作质疑，探索新知

活动一：研究：当x2＝a时，x是什么数？使x2＝a（a＞0）成立的数有两个，它们互为相反数.板书：平方根概念；±a；5的平方根表示方法±5.

在勾股定理引入后，用“研究：当x2＝a，x是什么数？”作为过渡，并且提问让学生自己再举出一个例子，即体现数形结合，又可以帮助学生形成直观感受，为揭示抽象的平方根概念做好具体数值的准备，这也是突破难点的方式之一.同时给出“±a”的表示方法以及解决创设情境中A′B′的长为5，进一步帮助学生理解平方根以及相关概念.

为了总结出正数、0、负数的平方根的情况，教材采用了如下的方式：下列各数有平方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.

9，5，925，0，-49，-8，-36.

这样的优点在于可以进一步理解平方根的概念，不足之处在于没有为后面讲解开平方也是一种运算，以及开平方运算与平方运算互逆起到铺垫作用.对比后最终选定下面的呈现方式.当学生正确填空后，教师用提问“9的平方根是什么……”的方式也可以达到教材呈现方式的效果.

活动二：交流：在各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流.

（  ）2＝9，（  ）2＝5，（  ）2＝925，

（  ）2＝0，（  ）2＝-49，（  ）2＝-36.

板书：总结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个数的平方根的运算叫做开平方.

活动三：判断下列说法是否正确：（1） -5是25的平方根；（2） 25的平方根是-5；（3） 0的平方根是0；（4） 1的平方根是1；（5） （-3）2的平方根是-3.

设计意图：由于学生过去遇到的运算结果通常是唯一的，因此让学生理解一个正数开平方有两个结果可能会有一定的困难，根据学生的实际情况补充了活动三的有关平方根概念的辨析.

2.3 典型例题，形成方法

例1 求下列各数的平方根：（精确目标1、2）

（1） 25；（2） 1681；（3） 15；（4） 0.09；（5）  （-5）2；（6） 0.1-8.

例题1在格式方面有两种呈现形式：

形式1：因为（±5）2＝25，所以25的平方根是±5；

形式2：25的平方根是±25，即±5；

形式1强调的是通过平方运算求平方根，形式2重点在应用平方根的概念.从突破难点的角度，最终选定形式2.选定形式2不是结束，在求1681和15平方根的时候，教师通过提问“什么数的平方等于1681”和“±15是具体存在的数吗”来强调平方、开平方是两种互逆运算.根据学情，补充求（-5）2和0.1-8的平方根的例题，体现开平方运算与其他运算的混合计算，提高学生的综合计算能力.

例2 求下列各式中x的值：（精确目标3）

（1） x2＝16；（2） 2x2＝8；（3） 4x2-81＝0；

（4）  （x-1）2＝9.

例3 已知3a-22和2a-3是正数m的两个平方根，求m的值.（精确目标2）

补充例题2和例题3是为了学生能进一步理解平方根的概念，理解开平方与平方是互逆运算.因此不是从方程角度提问，而是应当对照板书上平方根的概念，引导学生从这个角度认识，也为今后解一元二次方程提供依据.

精炼过程其实就是厘清本节课“怎么讲？”的过程.其核心在于掌握学情，理解教学内容，最终将这两者连接起来，达成教学目标.

3 巩固延伸 精准反馈

3.1 巩固练习，互动展示

练习填空

（1）  5的平方根是_____________；

（2）  0.04的平方根是_____________；

（3）  62536的平方根是_____________；

（4）  x2＝121 ，则x的值是_____________；

（5） 若代数式81y-1的平方根只有一个，则y的平方根是_____________.

为了便于控制时间，在纠错过程中，抓住学生的普遍问题以及与本节课密切联系的问题.例如：x2＝121，学生解答为x＝11.这个错误的原因是没有理解“一个正数有两个平方根”，这个就必须重点纠错；而62536的平方根什么？是因为学生忘记625是哪个整数平方，由于时间关系，纠正即可.

3.2 发展能力，拓展延伸

已知2x-1的平方根为±3，3x+y-1的平方根为±4，求x+2y的平方根.

前面的内容是已知一个非负数求这个数的平方根，本题则是已知一个非负数的平方根求这个非负数.其目标本质还是要了解開平方运算与平方运算互逆.

课堂教学中设计针对性很强的巩固练习和拓展题，可以帮助教师精准发现学生学习过程中的问题.课堂上教师要关注每一个学生的课堂反馈情况，及时进行教学活动的二次矫正，并对后续教学提供针对性的强化训练.

精准反馈设计在课前，实施在课内，延伸在课后.数学课堂中留足学生反馈时间，通过课堂反馈，教师要及时进行教学活动的二次矫正，并对后续教学提供针对性的强化训练.同时通过教师之间的交流很好地掌握学生作业中的共性问题，并对学生共性问题进行二次强调和强化矫正.课内的及时反馈和补偿，可以使延伸的作业成为学生对课堂所学的正确认知的进一步巩固、深化和拓展.

4 课堂小结

感悟收获：（1） 平方根的概念及表示方法；（2） 求非负数的平方根；（3） 开平方运算与平方运算互逆.

教师根据课堂需要，既可以使学生对已学知识和方法进行归纳整理，又可以拓展思维，将课堂延续到课外.建立学生课堂思维导图，回顾课堂基础知识、基本技能，也是精确目标达成情况的再呈现，是学生对课堂学习再认识、再总结、再升华.

通过本节课的授课，反思总结如下：教学目标的制定尤其重要，可以从以下4个维度去控制.

4.1 具体

结合课标、教材的要求，实施目标分解，精确分解到每一个课时具体可落实的目标.对比苏科版和人教版教材，深度整合教材内容（添加、改编、合并、删减），使目标达成过程最优化（新知教学过程简洁不繁复、例题难度适中与知识技能联系紧密、拓展难度适当不过分、练习能巩固教学内容体现教学重难点）.

4.2 可测

数学课程目标包括结果目标和过程目标.结果目标准确使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标准确使用“经历、体验、探索”等术语表述，使目标可测.

4.3 分层

制定目标需要体现一定的“分层”“满足不同学生发展需要”等要求.具体做法为在课堂设计中增加有一定难度的问题，对成绩较好学生的要求和成绩较低学生的要求可以不一致.

4.4 激励

要求目标中要有“激励有效”的成分，让每一个学生“产生的积极的、正面的情感体验”，从而达成“情感态度与价值观”目标.

课堂核心部分，需要教师深研教材，以苏科版教材内容为主，对于章节中不合乎学生学情的内容可以做适当调整.学生在自主学习的基础上，通过教师引导、动手实践、主动探索与合作交流等方式构建新知，并获得基本的数学活动经验.教师要引导学生从已有的知识经验中，生长新的知识经验，完成新知建构过程.教师要精选典型例题，例题选择要立足学情、立足教学目标中的核心目标，以苏科版教材内容例题为第一选择，之后根据学生学情选择有一定思维含量的例题作为有益补充，以更好地达成教学目标.在学生独立思考的基础上，通过生生互动或师生互动，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.