模型思想在小学数学教学中渗透策略的研究

郭胜男

摘 要：在数学教学中渗透模型思想能促使学生更好地理解知识的特点与学习价值，发展抽象思维，提高解题能力，形成创新意识.研究发现，在小学数学教学过程中渗透模型思想可从以下几方面着手：择取背景材料，提出问题 ；选择教学方式，构造关系；回归现实问题，检验结果.

关键词：模型思想；背景材料；检验

史宁中教授认为：抽象、推理与模型是促进数学发展的主要思想，其中，抽象为核心，推理是过程，建模则是关键［1］.建立数学模型是指用数学语言、图形或符号等形式对数学事物进行刻画、反映与描述的过程，反映了特定问题与具体事物的一般关系，是促进学生从数学的角度认识、描述具体事物的基本形式.数学模型的建构需以具体情境或实际问题为依托，在抽象思想的辅助下进行.

1 择取背景材料，提出问题

问题是数学的心脏，高质量的问题能顺利激活学生的认知经验，激发学生的探索欲，促使学生产生探究行为.同时，问题还能让学生有针对性地展开由此及彼的思考与联想，让学生对相应的数学思想方法理解得更加透彻.基于模型思想渗透的小学数学课堂教学中，该如何引导学生自主发现并提出有质量的问题呢？

鉴于小学生身心发展尚未完全成熟，思维模式以直观形象思维为主，在数学教学时需教师提供或创设教学背景，以激发学生的主体参与热情，为提高教学效率奠定基础［2］.教学背景材料的选择，需根据知识发生、发展的内在逻辑性来确定，既可源自学生的生活实际，又可进行模拟创设.

案例1：“长方形面积公式”的教学

本节课的教学，教师选择了“如何测量学校操场面积”为背景材料，要求学生自主选择测量方式，提出质疑，生成高质量的问题，并尝试自主解决问题.

讨论过程中，有学生根据自身的认知经验提出：将大量边长为1m的泡沫地板铺在操场上，即可获得相应的面积.这种想法获得了部分学生的赞同，但也遭到很多学生质疑.

因此，学生产生了如下思考：操场的面积可能与什么有关呢？长方形的面积与什么有关呢？长和宽与面积有关系吗？该如何确定长方形面积中长与宽的关系呢？

随着一系列疑惑的形成，学生正式进入探索阶段.无需教师的引导，学生就能沿着几个关键问题形成了探索意识，产生了探索行为.当然，在此过程中教师可从多角度发挥引导作用，让学生的思维逐层深入，提出由浅入深、由表及里的问题.事实证明，结合学情与教情选择合适的教学背景材料，往往能实现有效激励，让学生自主提出高质量的问题，为模型思想的建立奠定基础.

2 选择教学方式，构造关系

问题一旦明确，则可选择合适的模型去分析与解决这些问题.解决问题中的“拟定计划”环节的精髓在于启发联想，学生在逐层深入的联想过程中，通过合理的数量关系或结构的构造，趋向解决问题.学生在这种教学策略的助攻下，不仅能感受到模型思想对解决问题的作用，还能开发学生的思维，培养学生的创新意识，让数学教学体现出育人功能.

教学方式的选择，合理的关系与结构的构造应注意以下几点：① 对问题本身的理解要深刻.要尽最大可能利用已有的信息来辨别问题中出现的多余信息，发现缺少的条件，为有序、有效地解决问题奠定思维基础；② 为学生提供充足的探索时间与空间.小学生思维启动需要一个过程，教师在课堂上应耐心等待，让学生有更多的机会表现自己；③ 帮助学生提升认知.数学教学的目的在于促进学生思维的发展，让学生对数学模型有一个清晰的认识，为知识的迁移作准备.

案例2：“长方体表面积与体积”的应用教学

当学生对长方体的表面积与体积计算方法有了一定认识后，笔者带领学生通过合作学习的方式解决下列生活实际问题：若想用彩纸将8个长是12厘米，宽是4厘米，高也是4厘米的长方体礼品盒包装在一起，则怎么操作最节约彩纸？

解决这个生活实际问题的本质：求8个大小一样的小长方体拼接成一个大长方体的面积问题，拼接方法的异同决定了大长方体表面积的不一样，若想用最少的彩纸进行包装，则需要探寻到一种表面积最小的拼接方法.

学生一旦明确了问题的核心，思维就有了方向.在此认识的基础上，学生通过对长方体模型的摆放，借助a×b×c的形式列表记录各种拼接方法所获得的表面积.经过多轮尝试，学生在直观观察与表格分析中探寻出合理的拼接方法.在此基础上，教师可进一步进行启发式教学.

师：若利用两个长、宽、高分别为12、4、4的长方体来拼接大长方体，且让拼得的长方体面积最小，该怎么操作呢？

生1：可拼成一个长、宽、高分别为12、4、8的大长方体.

师：若将两个长、宽、高分别为12、4、8的长方体拼接成一个大长方体，且让拼得长方体的面积值最小，则该怎么操作呢？

生2：可以拼成一个长、宽、高分别为12、8、8的大长方体.

师：若将两个长、宽、高分别为12、8、8的长方体拼接成一个大长方体，且让拼得长方体的面积值最小，则该怎么操作呢？

生3：可以拼成一个长、宽、高分别为12、8、16的大长方体.

师：请大家合作交流，通过以上几个问题，能总结出怎样的结论？

学生讨论并获得结论：想将两个同样大小的长方体拼接成一个面积最小的大长方体，只要将两个小长方体面积最大的部分重叠在一起即可，所获得的大长方体的表面积中有一个最大的数不会发生变化，另两个较小的数则变成两倍.

此探索过程在教师的引导与学生的思考与交流中，根据小长方体长宽高与所拼得的长方体长宽高的数量关系，获得了一般性的模型，为解决这一类拼接最小面积的问题提供了通性通法，节约了大量的思考与探索时间.

操作与合作交流相结合的教学方式，为长方体表面积与体积的实际应用构造了明确的关系，此过程不仅充分体现了学生在课堂中的主体地位，还凸显出操作为促进学生思维发展提供了良好的平台的作用，说明实操对建构数学模型具有重要意义.

3 回归现实问题，检验结论

成功建模后还需将所获得的模型回归到现实问题中进行检验，即使用实际数据和观察现象来验证模型的科学合理性，以及在实际问题中的适用性，此为建模必不可少的环节之一［3］.只有经过检验且符合实际的模型，才能应用到实际问题中去.未经验证的模型只能算得上是一种猜想，无法直接使用.

案例3：“列方程解决问题”的教学

当学生具备了列方程解决简单的实际问题的能力后，要求学生探索如下问题：

已知有红黄绿三种颜色的绳子各一根，三根绳子的全长为3.6米，红绳长度为黄绳长度的3倍，而黄绳长度又是绿绳長度的2倍，求这三种绳子分别有几米.

巡视过程中，笔者发现有学生呈现出如下解题过程：假设绿绳长度为x米，列式为x×3×2=3.6，解出x=1.2，2x=2.4，3x=3.6，由此可确定绿、黄、红绳的长度分别为1.2m、2.4m、3.6m.

该结论是否正确呢？还需要通过检验来确定.从本题条件出发，三根绳子的总长度为3.6m，而该生所解得的红绳长度就有3.6m，显然与题意并不相符.由此也能确定这种解题方法是错误的，至于错误的原因与解决措施，需进一步探讨.

想要解决这一类问题，可从直观的示意图出发，通过图示往往能一目了然地发现三根绳子长度之间存在的数量关系.依然将绿绳的长度设为x，构造出式子x+2x+6x=3.6，由此可获得结论.

总之，渗透模型思想需经历漫长的过程.教师不仅要明确模型思想的内涵、教育价值和主要特点等，还要充分了解学生的认知发展规律，只有将两者有机地融合在一起，才能让学生体验到模型思想的本质.

参考文献：

［1］ 史宁中.数学思想概论（第5辑）——自然界中的数学模型［M］.长春：东北师范大学出版社，2012.

［2］ 张和平，裴昌根，宋乃庆.小学生几何直观能力测评模型的构建探究［J］.数学教育学报，2017（5）：49-53.

［3］ M·克莱因.古今数学思想（第四册）［M］.上海：上海科技出版社，1979.