优化思维品质 提升学科素养

郭岚

摘 要：高中数学的学习过程中，学生需要通过大量的解题来实现对知识的有效掌握，所以解题教学是高中数学教学中非常重要的一部分.新课标对高中数学的教学也有着明确的要求，需要通过数学教学来对学生进行思维品质的优化，从而提升学生的科学素养.所以在解题教学中如何实现优化思维品质，提升科学素养是非常关键的内容.本文将通过相关例题来对高中数学解题教学中如何有效优化学生的思维品质从而提升学生的科学素养进行说明.

关键词：高中数学；解题教学；思维品质；科学素养

数学学习的过程包括理论知识的学习和通过解题对理论知识进行应用这两个过程，解题是数学学习过程中掌握数学知识的重要途径，所以在高中数学的教学过程中解题教学是非常重要的组成部分.在解题教学的过程中需要教师通过解题训练来对学生的思维品质进行优化，从而实现对学生科学素养的提升.但是在解题教学的过程中，部分教师更加关注学生的解题结果，关注学生程式化经验性的解题方法而忽视了对学生审题和反思以及解题过程中的规范性和逻辑性的重视.这样的填鸭式解题教学方式导致学生在进行解题学习的过程中出现“一听就懂，一做就卡”的情况，进而导致学生的解题思维僵化，无法实现对试题的有效解答.所以如何有效优化学生的思维品质，提升学生的科学素养是解题教学的关键.

1 原题再现

【例题】 （2022年全国新高考Ⅰ卷数学第22题）已知函数f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.

（1） 求a；

（2） 证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2 教会学生对试题的思考是解题教学的首要任务

学生永远是学习的主体，教学的过程就是教会学生如何去学习的过程，而不是将知识与方法通过硬性的方式传递给学生.所谓授人以鱼不如授人以渔.教师需要通过正确的方式来对学生进行引导，引导学生去寻找解题的思路，从而实现对这类问题的掌握.所以在解题教学的过程中需要教师对学生进行解题思路的引导，通过对例题进行分析，帮助学生理解知识是如何应用的，例如在这个例题中第一个小问题就是对函数的最值问题的考查，只不过将具体的函数转化成抽象函数.那么接下来解决抽象函数的最值问题最好的方法就是对函数进行求导，通过导函数来对函数的单调区间进行判定，从而确定函数的最小值.而在第二个问题中则需要通过假设存在这样的一条直线，对直线存在的条件进行分析判定，从而证明问题.

3 寻找解题思路是解题教学的核心

对试题进行阅读了解之后需要寻找具体的解题思路.数学教学的主要目的是对学生思维能力的培养，从而实现对学生数学思维的优化.

例题解析：通过对这个试题的阅读可知，第一个问题是需要求a的值.那么根据题目中的已知条件可以发现给定的两个函数有相同的最小值，所以在解题的过程中就需要对这两个函数的单调性进行判断，从而得到函数的最小值.所以在这个问题的解答过程中就需要通过合理的方式来对函数单调性进行判断.而判断函数单调性的方式就是对函数进行求导.首先f（x）=ex-ax的定义域是R，所以其导函数为f′（x）=ex-a，根据导函数可以知道当a≤0的情况下f′（x）＞0，这样的结果就是函数f（x）没有最小值，所以a＞0.然后再对函数g（x）=ax-lnx进行求导.首先还是需要对函数进行定义域的判定，可以知道g（x）=ax-lnx的定义域是（0，+∞），所以其导函数是g′（x）=a-1x=ax-1x.然后就需要通过导函数来对函数的单调区间进行判定.首先是对函数f（x）=ex-ax的单调区间进行判定.通过导函数f′（x）=ex-a可以知道当x＜lna时，f′（x）＜0，当x＞lna时，f′（x）＞0，所以就可以知道函数f（x）=ex-ax在（-∞，lna）上單调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以就可以得到函数f（x）=ex-ax的最小值是f（x）min=f（lna）=a-alna.然后需要对函数g（x）=ax-lnx的单调区间进行判断.根据导函数g′（x）=ax-1x可以知道当0＜x＜1a时，g′（x）＜0，当x＞1a时，g′（x）＞0，所以函数g（x）=ax-lnx在0，1a上单调递减，在1a，+∞上单调递增.从而就能够得到函数g（x）=ax-lnx的最小值是g（x）min=g1a=1-ln1a.结合题意就能够得到a-alna=1-ln1a这样的一个等量关系.同时结合前边所得到的a＞0，就能够得到这个式子与lna-a-1a+1=0等价.令h（a）=lna-a-1a+1（a＞0），通过对这个函数进行求导来对其单调性进行判定，从而就能够得到h（a）在（0，+∞）上是单调递增的，所以得到a=1.

对于第二个问题，通过（1）的计算得到a=1，这样就可以得到两个函数的最小值都是1.因为函数y=b与两条函数相交，所以就需要根据b的取值进行判定.当b＜1时，函数y=b与两个函数没有交点；当b=1时，y=b与两个函数分别有一个交点；当b＞1时，则y=b与两个函数分别有两个交点.这样就能够得到直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点的情况的条件是b＞1，那么要存在三个不同的交点的情况就需要证明在b＞1的情况下存在y=b使其中的两个交点重合.这样刚好有三个交点，然后再对出现三个交点的情况下是否呈等差数列的情况进行判断.

4 解题过程是解题教学的细节

对试题进行阅读和分析后，需要通过解题过程来对解题分析进行体现.在数学解题教学的过程中教师需要教会学生如何将解题思路转化为正确的解题答案.在这过程中需要学生通过相应的解题步骤来对解题过程进行体现.下边将通过例题的解答来对解题的过程进行展现.

解：（1）对函数f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx进行函数求导可得：

f′（x）=ex-a，g（x）=a-1x，

当a≤0時，f′（x）＞0，g′（x）＜0，这时两个原函数均无最小值，与题意不符；

当a＞0时，函数f（x）=ex-ax在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）=ex-ax的最小值是f（x）min=f（lna）=a-alna.

函数g（x）=ax-lnx在0，1a上单调递减，在1a，+∞上单调递增，

所以函数g（x）=ax-lnx的最小值g（x）min=g1a=1-ln1a.

因为函数f（x）与函数g（x）有相同的最小值，

所以有a-alna=1-ln1a，即lna-a-1a+1=0，

令h（a）=lna-a-1a+1（a＞0），则h′（a）=1a-2（a+1）2=a2+1a（a+1）2，

所以函数h（a）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=0，故a=1.

（2） 由（1）可知，f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx，且两个函数的最小值为1.

假设结论成立，则y=b与两个函数有三个交点.

当b＜1时，函数y=b在f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx的下方，不存在交点；

当b=1时，函数y=b与函数f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx各交于最小值点，则直线与两个函数各有一个交点；

当b＞1时，考虑ex-x=b的解的数量以及x-lnx=b解的数量.

设F（x）=ex-x-b，则其导函数为F′（x）=ex-1，

可知函数F（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上是单调递增，

所以F（x）min=F（0）=1-b＜0，而F（-b）=e-b＞0，F（b）=eb-2b，

设u（b）=eb-2b，其中b＞1，则其导函数为u′（b）=eb-2＞0，

所以u（b）在（1，+∞）上单调递增，故u（b）＞u（1）=e-2＞0，所以F（b）=eb-2b＞0，故F（x）有两个不同的零点，即ex-x=b的解的个数是2.

设G（x）=x-lnx-b，其导函数为G′（x）=x-1x，

可知函数G（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以G（x）min=G（1）=1-b＜0，G（e-b）=e-b＞0，G（eb）=eb-2b＞0，

故G（x）有两个不同的零点，即x-lnx=b的解的个数是2.

所以如果存在直线y=b与曲线y=f（x），y=g（x）有三个不同的交点，则b＞1.

设h（x）=ex+lnx-2x（x＞0），其导函数为h′（x）=ex+1x-2.

设s（x）=ex-x-1（x＞0），其导函数为s′（x）=ex-1＞0，

所以s（x）在（0，+∞）上单调递增，所以s（x）＞s（0）=0，所以ex＞x+1，

所以h′（x）=ex+1x-2＞x+1x-1＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，

同时h（1）=e-2＞0，h1e3=e1e3-3-2e3＜e-3-2e3＜0，

故h（x）在（0，+∞）有且仅有1个零点x0，1e3＜x0＜1，

同时当0＜x＜x0时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x），

当x＞x0时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）.

因此如果存在直线y=b与曲线y=f（x），y=g（x）有三个不同的交点，故b=f（x0）=g（x0）＞1，

这样就有ex-x=b有两个不同的零点，分别是x1，x0（x1＜0＜x0），

x-lnx=b有两个不同的零点，分别是x0，x4（0＜x0＜1＜x4），

故有ex1-x1=b，ex0-x0=b，x0-lnx0=b，x4-lnx4=b，

所以x4-b=lnx4，即ex4-b=x4，

所以ex4-b-（x4-b）-b=0，

故x4-b是方程ex-x=b的解，同理x0-b也是ex-x=b的解.

又ex1-x1=b可以转化为ex1=x1+b，即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，

故x1+b是方程x-lnx=b的解，同理x0+b也是方程x-lnx=b的解，

所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b＞1，

所以x0=x4-b，

x1=x0-b，即x1+x4=2x0，

所以x1，x0，x4是公差为b的等差数列.

故原关系得证.

5 试题总结延伸是解题教学的关键

在进行相应试题的解题教学后，需要对这个试题的知识点以及相关的解题过程进行总结和对类似问题进行有效的延伸.例如在这个试题中，主要考查的就是关于抽象连续函数的最值问题.而对于这类问题的解题方法通常就通过利用函数求导来对函数的单调性进行讨论，从而判定函数的单调区间，确定函数的最值.在本题中由于在两个函数关系中都存在所求的未知数a，所以在进行函数单调性判断的过程中需要注意的是这个未知数的取值范围是否会对函数的单调性产生影响.例如在本试题中，当a≤0时，就会使两个函数的导函数求f′（x）＞0，g′（x）＜0，从而导致原函数在定义域内是单调减函数或者单调增函数的情况，导致函数没有最小值.这样的情况就与题意矛盾，所以需要舍弃a≤0的情况.然后再通过对a＞0的情况进行分析，实现对问题的求解.当然在第二个问题的解题过程中也需要对b的取值范围进行分析，从而来实现对问题的解决.总结完成之后还需要通过对试题进行有效的延伸，让学生对这类试题能够有一个更加深入的了解.

6 结语

综上所述，本文通过一道高考原题来对高中数学解题教学中如何培养学生的思维品质，进而实现科学素养的有效提升进行了分析.在解题教学的过程中，教师需要掌握解题教学的重点内容，让学生能够根据试题来对解题思路进行分析，结合所学的知识点找到问题解决的关键，从而再根据解题思路实现对问题的有效解答.最后再通过对问题的拓展来实现对学生思维品质的有效培养，从而实现对学生科学素养的提升.

参考文献：

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