蒋峰
摘 要:文章是高三二轮复习中“基本不等式”的教学微专题设计,精选例题及变式,使学生灵活使用基本不等式求最值问题。以提升解决数学问题为出发点,让学生更加准确地把握数学本质及其内在联系,加深对数学思想方法的理解和认识。
关键词:微专题;教学设计;基本不等式
一、关于数学本质的理性认识
不少数学教师会感慨一节课时间太短,尽管备课充足,但由于客观因素的影响,课堂效果仍然不尽如人意,学生也埋怨课堂教学信息量太大,难以消化吸收。然而,在实际教学中,微专题的利用,可以使这一现状获得改善,增强课程的讲授效果和针对性,但是,要想真正解决这一困局,还需要更多的努力和改进。在教学设计中,阐明数学教育的本质是解题的关键,数学本质是一种共同的稳定属性,是事件变动中保持稳定的特征。所以数学本质指的是数学学科的实质,它决定了数学学科的性质、面貌和发展,换句话说,它是数学内容的本真意义,是数学学科发展的基石。
“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。”如何通过教学设计,使数学核心素养落实到课堂中,是数学学科教研的重要课题。本文是以一节高三数学二轮微专题课为例,对“基本不等式”这一重要内容的微专题教学设计的探索。
二、基于数学本质的课堂建构路径
本专题教学目标:借助数学小故事,结合具体情境,引入基本不等式≤(a≥0,b≥0),了解其结构特征,通过具体实例和适当训练,能够灵活运用基本不等式解决最值问题。本专题内容,以基本不等式的生成为起点,关注数学的内在联系和思想方法,注重学生思维能力的培养,能把握数学本质,提升解决实际问题的能力,能够灵活使用基本不等式解决最值问题。本专题设计分两部分:第一部分:利用基本不等式求最值,通过一道错题呈现引起学生对基本不等式运用过程中细节的重视,进而通过三个变式,强化一正、二定、三相等这三个要素;第二部分:二元及多元问题的常见处理方法,如消元法,主要含代入消元法、换元消元法(双换元、三角换元等)、构造消元法(齐次式),待定系数法及“1”的代换等,以加强学生对基本不等式的灵活应用。
(一)知识回顾引出数学本质
1. 基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0。(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号。(3)其中正数a,b的算术平均数为,正数a,b的几何平均数为。
2. 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取=。(2)ab≤
(a,b∈R),当且仅当a=b时取=。(3)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取=。(4)ab≤
≤。(5)≤≤≤(a≥0,b≥0)。
3. 利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,则(1)若积xy是定值p,则当且仅当x=y时,x+y有最小值是2。(简称:积定和最小)(2)若和x+y是定值s,则当且仅当x=y时,xy有最大值是。(简称:和定积最大)
细节强调:①在利用基本不等式求最值时:“一定,二正,三相等”,分别指使用条件,式子结构,取等要求,忽略任一条件,就会导致出错。②在利用基本不等式求最值时,尽可能避免多次使用,如必须多次使用,需关注取等条件,条件一致时方可传递。
设计意图:通过提问已经学习的基本不等式的相关内容,帮助学生回忆基本不等式的内容,理清知识间的关系,形成知识的框架和体系。同时为后面的例题和练习提供基本的公式参考,揭露基本不等式的本质应用即求最值问题。
(二)课堂导入探寻数学本质
引例:函数f(x)=lgx,若0 错解呈现:由f(a)=f(b)得0 师:本题解法有错吗?如果有,错在哪里?