结构化再建：小学数学总复习教学的应然路径

顾健　于勇

摘要：高质量的小学数学总复习不是对先前学习内容的简单重复，而是要跳出题海，以学生认知再建、技能跃升、思维进阶、情意发展为导向，牢固树立终局思维、逆向设计的全新理念，在关注表现、指向发展的评价机制驱动下，利用以“说”明思、以“写”促行、以“图”构模等诸多路径，引导学生经历学科知识结构化、数学思维结构化、问题解决策略结构化的整体建构过程，促使儿童在对数学理解与迁移、联结与拓展、实践与应用等数学活动中实现学力生长。

关键词：总复习；结构化；小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2023）23-0086-06

小学数学总复习是学生六年数学学习生活的最后一公里，对其数学素养的层阶式跃升及知识的结构化、内融化建构具有无可替代的作用。总复习既是对小学数学学习的回顾性查漏补缺，也是构建系统性、结构化的知识体系，培养学生数学核心素养的重要途径。而事实上，不少教师可能认为总复习缺乏新知课的探究意趣，难以赋予学生强烈的认知带入感，也可能教师个人囿于碎片化数学知识，总是“翻炒冷饭”，效果可想而知。因此，打破数学旧知对学生数学眼光、数学思维及语言表达的桎梏并实现知识的结构化再建是小学数学毕业总复习的应然策略。结构化再建既要突破原有单元、年段限制，从知识联系和整体的角度再建知识框架，又要融通同类知识内容，从数学本质出发凝练数学思想方法；既要平衡数学学科体系和学生学习心理，实现学生认知过程的结构化，又要在形成发现、提出、分析和解决问题的能力和综合评价中，促进学生思维的结构化。

一、树立新理念：跳出题海，导向目标

“理念是行动的先导”，在执行、达成具有内隐、抽象特性的理念时往往会衍生、外显出与之适切的行为，数学教学亦是如此。小学数学总复习应从知识再现一次、教师再讲一回、学生再练一遍、试卷再考一张的偏颇观念中跳出来，基于学生现有知识水平及素养状况，在本质溯源、全景经历、图谱建构、深度应用的过程中，让学生得到“鱼”与“渔”，这才是数学总复习应该秉持的理念。

高品质的小学数学总复习，不应仅仅指向学生能够在毕业检测中单纯获得高分，而应以培养学生正确价值观念、必备品格及关键能力为方向，为学生长期发展、可持续发展搭建真实性情境与序列性任务，在纵、横向建构及不同表征转换的过程中实现基于理解的学习。除了“使得学生已学的知识得到完整的组织，便于学生一揽子把握，给予学生学习新知识的智力工具，培育他们新意义的生长力”[1]60，还应将培养学生良好的数学学习习惯、丰盈良好的数学体验和情感等置于重要位置，为学生建构终生受用的优秀品格。“积千积万不如积个好习惯”，作业习惯如仔细审题、认真答题、工整书写、及时纠错、用好草稿纸等，听课习惯如善于聆听、自主探索、合作交流、善于迁移运用等，都是直接影响学生数学学习“能走多远”的重要因素。

要增强学生进入初中继续学习的信心及积极情感体验，将总复习内容用活泼的形式呈现，与学生喜闻乐见的生活相联系，挖掘知识内联的奥秘，从系统的角度让学生感受小学数学知识的内在魅力，并与初中相关知识点适时作简要衔接，消除初中数学学习的神秘感，实现由此及彼且具生长感的自然过渡。如，在复习“列方程解决问题时”时，附加式融入“天元术”史学内容。700多年前，我国数学家李冶在其著作《测圆海镜》中，系统介绍了天元术，它是利用未知数列方程的一般方法，与现在列方程解决问题的方法基本一致，只是写法不同。其中“天元”相当于我们现在所说的未知数，“立天元一为某某”相当于列方程解决问题的哪一步？目的是引导学生基于数学阅读、关联思维明确“天元”与未知数、“天元术”与列方程解决问题的同质关系，为学生进入初中后更好地理解“一元一次方程”“二元一次方程”等概念中“元”为何意提前埋下伏笔，同时促发学生对中国文化产生浓厚兴趣，激活学生学习数学的生命激情[2]。

二、构建新体系：通透结构，转识成智

结构化学习作为助益学生深度学习的有效策略，其实质是将已经学习过的零散知识按照一定脉络进行分类整理、归纳提炼、完善逻辑，使得已学知识条理化、主题化、整体化，从经验话语、割裂失联走向系统考量、融会贯通[3]。毕业总复习的核心任务就是要打破“课时站位”“单元站位”“分册教材站位”，让学生经历经由点、线、面而形成体的动态构建、发展过程，在描绘知识结构图谱的过程中实现知识之间的联通，帮助学生形成对已有认知存储、回忆及操作处理的智力工具，实现对知识的理解进阶。

（一）认知结构——让数学认知转识成智

从一般意义上来说，知识结构是指数学内容及其组织形态。对于学生的认知来讲，知识结构是外在之物，只有学生通过学习将其转化为自己掌握的东西后，它才能变为内在之物即适应个人情况的认知结构。认知结构对知识的融通跨度及其内在生长性，远比知识结构生动、灵活得多。心理学研究表明，学生获得的知识，如果没有完满的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识[4]。在教学实践及知识再现、应用中，我们也发现优秀学生与一般学生的显著区别就在于其擅长将已有认知予以加工与创造并嵌入网状的“大图”中。由此得知，小学数学总复习应从整体上把握知识体系，根据知识的起点、教材的重点、学习的难点和学生的薄弱点，引导学生自主建构体系，让他们寻着一个切入点纵横联系，厘清其来龙去脉，对小學阶段内容进行梳理、分类、整合和优化，促进知识系统化。小学数学课程内容整体上可以将“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“实践与综合运用”四大领域作为一级目录，其下再建各级子目录体系，关键是要基于数学知识、思想、方法的逻辑顺序及充分体现学生经验、思维水平的认知序，按照集合范畴的从属关系对其进行重排，理解数学对象的属性与本质[5]。如“数与代数”认知结构就可沿着数概念、数计算两个维度予以建构，从数计算除法维度出发又可建构出“比”与“整除”等分支维度，再由之分别衍生其他分支结构。学生在自己建构出的认知结构中，不仅找到了单个知识的固着点，而且能去粗存精，无须记住大量零碎、孤立的知识，只需将数量不多的“组块”纳入工作记忆，便可轻松上阵、由“图”探“宝”。

（二）方法体系——让数学思考向深推进

建构主义认为，学生的知识不是通过教师的传授、输入得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他辅助手段，利用必要的学习材料和学习资源，通过意义建构的方式而获得的。解决问题的具体方法与基本策略是这一有意义学习所必需的重要辅助手段之一，可以帮助学生把握思考的起点及求进方向。随时建构的学习方法，也要有一个深入综合组织、提炼出数学思想的过程。如果说知识体系是与初中衔接的一条明线，那么“忘却知识”之后的方法构成的体系则是一条衔接的暗线，对学生进一步成长更为有益。建构方法体系，就是要跨越知识点所在的领域，梳理知识产生背后的基本原理，按照解决问题的基本策略进行方法化归。小学数学方法策略有多种，其中最基本的有对应法、画图法、列表法、枚举法、还原法、假设法、替换法、转化法等。在引领学生构建数学方法体系时，一般围绕方法内涵的解读、多角度实践应用（含尝试画图、图文互译、建构模型等）、学生迁移运用等层面予以落地。

如，画图策略体系的构建。首先，总括画图策略的基本内涵，引领学生整体把握这一策略是指解题者在问题解决的过程中，画出与题意相关的示意图，用以帮助解题者观察、推理、思考，这是解决数学问题的一种手段[6]；其次，结合典型习题阐释建构平面图、立体图、分析图、线段图等由题索图的画图策略体系，或者构建画图策略在不同知识领域中的实践应用体系；最后，引导学生对画图策略在变式或数学文化中迁移运用，进而实现数学理解的进阶及数学思维的生长。学生一旦能夠自主建构画图策略的基本体系，也就具备了文字、模型、符号、图形等不同表征的转换能力，自然也就能够随时调用“方法库”中的“利器”来探索未知领域的其他问题。

（三）理解体系——让多元表征彰显魅力

英国著名数学家、心理学家斯根普指出，理解是一个具有丰富内涵的，多个侧面、多种成分的，应加以剖析的“谱”，是一个“范围”，一个“体系。Godel定理指出，数学体系、数学整体不是封闭的，对于某个整体中的一些概念、命题和法则，仅在整体内部理解是不够的，必然要利用专题以外的内容来帮助理解，需要到更大的范围中去寻找启发领悟的契机[1]79。小学数学总复习是学科基本知识与基本技能的暂时终结阶段，需要将在此之前的认知结构置于新的层次和情境实施再建构、再表征，由此实现学力再生长与理解再进阶。多元表征的信息结构与体系蕴含了某一数学对象丰富的、互补的、全息的信息，学习者对这些信息加工生成的整合码是对数学对象建构深度理解的重要标志。因之可见，多元表征是针对某一数学对象实施的由“点”向“域”辐射的数学思维体系，可更好地服务于学生实施深度学习及对数学知识本质的理解与把握。

如，“乘法分配律”多元表征认知下数学思维体系、理解体系的建构。苏教版四年级下册数学教材“乘法分配律”教学呈线性结构：探寻问题解决的两种方案→基于问题求解结果，比较两个算式结构特点→引导学生触类旁通，写出类似等式→总结归纳算式的基本特点→由特殊到一般，借用字母表达式表征上述特点。在此认知过程中，虽有书面符号、口头语言等多种方式，可在总复习阶段用来说明、解释乘法分配律的表征方式更为多样。如果充分发挥其论证作用，打通其内在关联，则可使不同表征之间互为映衬，融为一个有机结构体系（如图1），共同指向对乘法分配律意义的深度理解及模型建构。

三、落实新举措：自主互动，追求实效

引领学生“查漏补缺”当是小学数学总复习的重要目的及基本功能之一。“查什么”是教师的主导职责，“漏什么”最为清楚的自是学生自己，需要“补什么”由学生自主完成。由此得知，引导学生自主查漏、自行补缺，为学生搭建自主学习的平台，引导开展自行探究的活动，是总复习教学应该落地贯彻的新举措。

（一）以“说”明思

“说”数学作为一种积极主动的行为参与，在学习者间个体数学知识的相互补救、促进和增强深层码及整合码的构建等层面的功能不可小觑，在数学教育教学中，可以从促进和增强学习者自我解释、同伴教学、数学“说”题等向度予以着力。自我解释是一种元认知活动，而作为一种“说”的方式，则主要指向一种思维外化的行为，重点引导学生自我解释“为何这样说，有何理由根据，可否换个角度，能否用自己的话或数学语言说”。如，学习百分数后，用非范式语言呈现百分数：“在传统观念中，我们总以为感冒是冻出来的，其实这是不确切的。感冒百分之九十左右是由病毒引起的，百分之十左右是由细菌引起的”。要求学生用百分数概念的范式语言进行解释：“由病毒引起的感冒病例占全部感冒病例的90%，而由细菌引起的感冒病例占全部感冒病例的10%左右”。同伴教学是基于学习伙伴相互施教、共同受益的教学组织形式，施教者因承担转教他人的任务，更加注重对学习主题的精细化加工、逻辑化再构，由此促进、增强了对复习内容较高水平的认知。同伴教学的组织方式当然也是多元的，学习者可以在施教前撰写一个序列性摘要，画一个知识结构图谱，也可以让学习者在课前回顾他们的学习对象，除此之外，还可以让一组学习者向另一组学习者予以群体性施教。数学“说”题可以让学生思维可“视”可“听”，外显逻辑、构建关联、内化知识，更可有效激发学生数学学习的热情，培植学生学习数学的内驱力[7]。教师要引领学生从“做者”转身为“讲者”，围绕作业题意、方法拟定、解答过程、回顾反思等方面对典型作业进行讲解分享，并视学生表现评选出周度、月度、学期作业小能手，以此引导学生满怀兴趣和情怀去完成数学作业。

（二）以“写”促行

大量研究表明，各个年级的学习者对数学的理解都能通过写下他们所学的东西得到增强。“写一写”表达式探究任务，不指向封闭固定的答案，思考的路径与方向更为多元，特别有利于促进学生个性化认知、理解与对内隐思维的多样化呈现[8]，由此将学生个人认知再构、数学复习导向深处。基于学生对某个知识的认知起点、逻辑起点，量准学生从“已知”到“能知”的潜在距离是精准施教和设计“写数学”为主要媒介的探究任务的关键所在。如在学习“圆的周长”后，基于相关材料搜集与整理设计表达类作业，引导学生撰写数学习作“走近祖冲之”。绝大多数学生都能提交各具特色的作品，或洋洋洒洒写出祖冲之在数学、历法、天文等方面的卓越贡献，或图文结合再走推算圆周率的探究之旅……探究任务也因此承载了学科融合、主题探究的认知底色。除了写对学科知识的理解、建构与借助生活实例说明学科知识的拓展应用外，还可以引导学生基于数学史视角以写的形式追溯知识产生根源、发展脉络与未来趋势，可以是对典型试题解法分析以及由此引发的基本规律、数学思想的思考等，也可以结合数学复习的需要，引导学生反思个人解决问题的方法，收集、呈现自己典型错题，书面剖析错误原因，撰写完成题目时的基本注意事项、小妙招等。

（三）以“图”构模

在复习总结阶段，同化过程会引起知识的心理结构骤然增量，学习者的认知结构常常表现为：知识点单一、孤立、破碎，缺乏联系，缺失生长点，难以抵达反映专家思维方式的数学建模、数学抽象，难以实现将学校所学向现实世界的迁移。若教师结合复习内容的实际需要，引导学生巧妙运用概念构图、思维导图、故事地图、鱼骨图等[9]，则可形象地视觉化知识间的内在联系，再现知识、思想方法的来龙去脉，由此极大地改善了上述情况。

建构图形组织者的过程，是一种再现、理解数学知识以及组织个人想法、形成计划或步骤的经历性活动，可以驱动学习者积极地使用排序、比较、分类、分析和问题解决等策略，让学习者生动、直观地经历数学知识、思想方法的发生、发展，进而将相关知识予以系统化、结构化、精致化构建，由此赋予所学知识无穷的生命力。

四、实施新评价：关注表现，指向发展

科学、完善的学业评价机制是事关学生发展的重要外部因素与动力源泉。在总复习过程中，教师只有基于新的评价维度和标准，践行“改进结果评价，强化过程评价，探索增值评价，健全综合评价”这一新的评价取向，才能不断催生和聚集学生的学力，才能不断挖掘和提升学生的智力，进而对他们的内驱力提升、健康成长、和谐发展等产生积极影响。当然，数学学习的评价绝不仅是对数学基本知识、基本技能的考察与考试，还要格外关注对学生在學习全程中呈现出的学习行为、态度、情感及内在心理等学习构成因素的分析与评价。

（一）激发学生进一步学习愿望

总复习并不意味着学习的终止，应是对未来学习进一步展望，在这衔接的过程中，与其说重要的是知识、能力，不如说更为重要的是其对于数学的情感，包括学好数学的信心、兴趣，信心十足，兴趣则倍增。信心、兴趣应来自学生自身，但小学生的这份情感，更多的来自教师的鼓励。所以，总复习阶段要时刻牢记“赏识至上”的评价原则，永远保持学生有股学好数学的良好愿望。课堂中要赏识其新意之思，作业中要赏识其闪光之点，检测中要赏识其进步之处，总之要将赏识的阳光弥漫在总复习的每个角落，照亮学生前进的航程，确保学生以良好的学习兴趣投入当下的复习之中，并激发后续学习的热情。当然，面对学生所犯的错误必须善意地适时加以批评和引导，以激发其内在潜力，这也是树立学生良好学习愿望不可或缺的重要举措。

（二）全面评价学生的数学素养

“木桶理论”告诉我们评价学生一定要全面，数学素养的组成要素当是评价的一块块“木板”。其一，要客观评价学生在数与代数、图形与空间、统计与概率、实践与综合运用四领域掌握的基础知识，不能出现知识评价盲点，否则便会产生认知盲区，因此评价中不能轻言“孰大孰小”，知识扎实能力才有生根之处。其二，要全面地评价学生数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识与推理能力等核心素养表现，这些方面好比人成长所需的多种维生素，缺其一种，就会造成潜在的数学“缺陷”，因此评价中不能轻言“孰重孰轻”，应通过评价促进学生能力素养的均衡发展。其三，基础知识与基本能力不可割裂开来进行评价，能力的评价要与知识有机融合进行，才能让数学焕发自身魅力，让学生产生对于数学的良好情感。

（三）不同的学生都能有所发展

“不同的学生在数学上获得不同的发展”是数学课程标准明确提出的重要教育价值，学生是一个个鲜活的生命个体，促进其发展的评价当是有所分类的。学生历经六年学习，因智力水平、习惯、态度等的影响，必然存在学习上的差异，甚至是比较大的差异，只有实施差异评价才能策应“不同的学生在数学上得到不同的发展”的课程目标。实施差异评价，就是要教师树立“强化纵比淡化横比”的评价思维，引导学生重点要与自己过去相比，是不是漏洞及时补缺，能力有所增强，既不能好高骛远，也不能自甘落后。实施差异评价，还要教师确立“下要保底，上要封顶”的评价原则：既要多关注“底子薄”的学生，力求让他们守住小学数学学科目标的底线，掌握最基础知识，巩固最基本能力；又要让优秀的学生不感到总复习只是简单的重复，要让蕴含的“此中有新意”成为这部分学生的智力挑战，当然也不能肆意拔高，以免“伤仲永”。

参考文献：

[1]李士锜.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

[2]徐俊.试卷命制：四“力”并举，培育核心素养——以“小学六年级毕业数学学业水平检测”为例[J].教学月刊：小学版（数学），2023（5）：60.

[3]朱皓华.结构化学习：实施深度学习的有效策略——以苏教版数学六年级下册“总复习”为例[J].教育界，2023（3）：110.

[4]布鲁纳.教育过程[M].郝瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1981：48.

[5]潘丽云.数学史视野下小学数学教师素养提升的实践路径[J].课程·教材·教法，2020（6）：98.

[6]徐斌，董良.从“解决问题”到“问题解决”—小学数学毕业总复习教学指引[J].小学教学（数学版），2013（2）：13.

[7]王哲燕.由“说”展思 因“题”促联——浅谈“过程性评价”视域下的小学生数学说题[J].小学数学教师，2022（6）：52.

[8]于勇.“写”与“画”：让思维在小学数学作业中自然生长[J].求知导刊，2022（12）：14.

[9]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009：129.

责任编辑：石萍

*本文系江苏高校哲学社会科学研究重大项目“大概念的教学意蕴与统摄机制研究”（2022SJZD044）、苏州市教育科学“十四五”规划课题“指向儿童‘学力生长的数学理解教学研究”（2022/LX/02/063/05）的研究成果。

收稿日期：2023-10-09

作者简介：顾健，苏州大学附属吴江学校，高级教师，苏州市学科带头人，主要研究方向为小学数学教学；于勇，苏州大学附属吴江学校，高级教师，山东省特级教师，主要研究方向为小学数学教学和教研。