逻辑·结构·联系

基金项目：全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题——基于深度学习的高中数学概念教学研究（DHA190444）.

作者简介：沈备（1985— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学方法与策略研究.

摘  要：“双新”背景下的向量学习应该从物理、几何、运算的角度认识教材，也应该从单元整体的视角借助投影与距离等概念理解，以联系的观点看集合与映射、复数等与向量的关系. 将向量与解三角形中的重要定理紧密结合能凸显向量的应用价值，以向量为例让学生明确研究一个数学对象的套路与问题的视角. 通过向量让学生明确数学的学习应该是有逻辑、有结构、有联系的.

关键词：向量；单元教学；一般观念

向量是高中数学中的重要内容，是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中的“几何与代数”主线的核心概念，也是学生掌握“四基”、发展“四能”的重要学习内容. 数学核心素养的培养，必须是学生经历、体验、感悟之后的积淀，而不是训练之后习得的一种技能，这些素养的达成需要在学习的过程中有逻辑、有关联、有结构地存储在大脑中. 因此，如何有逻辑、有结构、有联系地学习数学，是数学核心素养落地的关键，也是学好高中数学的基础.

一、有逻辑：基于三条主线的教材编写思路

1. 基于物理背景的向量

（1）向量概念的引入.

在学习向量内容之前，学生在物理课上学习了力、位移、速度等矢量，对于这种既有大小、又有方向的量学生是不陌生的. 数学中研究的向量摆脱了向量的物理属性，特别关注向量的几何直观与代数运算性质. 教学中，应该让学生体会到：两个大小相等、方向相同的力不一定是相同的力，因为他们的作用点有可能不同；但大小相等、方向相同的两个向量是相等的向量.

（2）向量的运算.

① 向量的线性运算.

受先入为主印象的影响，学生在物理学习中表示的力、位移、速度等矢量，由于其字母有固定含义，所以F，s，v不必写成[F，s，v]且在表示[F1+F2=F]时，会通过中文表述，即“F1与F2合力的大小为……方向……”. 这使得学生看似学过了三角形法则与平行四边形法则，但是对于数学中对向量的要求却是陌生的. 因此，找准学生的学习基础和认知起点是每位教师必须关注的.

② 向量的数量积运算.

人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）在编写此部分内容时，引入了学生在初中时学习过的功的概念，旨在借助物理背景帮助学生理解向量的内积，从而使学生快速接受两个有方向的量的点乘可以得到实数，也为今后学习两个向量的叉乘（即向量的外积）打下基础.

2. 基于几何直观的向量

（1）向量的表示.

与物理中强调不同的字母及相同字母的大小写分别表示不同的物理含义，数学中的向量表示方法比较简单，也更强调向量的共性特征而不是特有属性. 因此，数学中的向量可以有不同的书写形式.

（2）向量的基本定理.

平面向量基本定理是用坐标法表示向量的基础，定理本身的叙述比较抽象，一直是學生学习的难点. 但有了物理课上力的分解作为认知基础，也有了平行四边形法则作为作图基础，更有信息技术软件作为技术支撑. 学生不仅有物理上的认识，也有几何上的具体操作，更有技术上动态展示不同的[λ1，λ2]，得到不同的向量[λ1e1+λ2e2]. [λ1，λ2]确定，向量[λ1e1+λ2e2]唯一确定，更加形象直观地理解存在且唯一的内涵，学生思维层次不断提高.

3. 基于代数运算的向量

（1）类比数的运算得到向量.

向量学习的最终目标是要解决带方向的量如何计算的问题. 有了物理的认知基础与几何的直观感知，学生应该学会类比数及其运算得到向量及其运算.

（2）向量的运算法则与性质.

在学生经历了物理背景的认识和几何角度的理解后，从运算律的角度再次领悟到在运算体系的建构中向量的数量积的结果是实数而非向量.

教材在向量的线性运算和数量积运算等内容的展开上，都是在向量空间结构体系理论这条暗线的指导下，把形成向量概念、建立向量运算体系、解决数学和实际问题作为向量内容的三大要点.

二、有结构：单元教学视角下的高中向量学习策略

本轮课程改革是以核心素养为学生的最终发展目标，以主题（单元）教学为具体抓手的变革，强调单元整体教学，向量在高中数学中在发展学生的核心素养方面起着重要的作用.

1. 向量与投影的单元教学视角

（1）投影与投影向量的引入.

教材中介绍了投影及投影向量. 投影的本质不是与数量积有联系，不需要基于数量积，投影与距离有关系. 向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的投影向量是变换的结果. 空间向量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问题有重要意义.《标准》的案例9中提到：理解投影的作用，体会投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁，形成直观想象. 教材在引入向量数量积后，在必修课程中通过数形结合的方式将向量的投影理解为一种变换过程，即向量a向向量b投影，得到的投影向量应该是λe[e=bb]，λ为该投影的系数，该系数由[acosθ=a ? bb]决定，其正、负由两个向量夹角的取值范围决定，如图1所示.

[a][b][e][λ] [图1]

在后续教学中，应该引导学生注意投影的作用是将高维问题进行降维处理，教材使用投影向量证明向量乘法的分配律，发挥了向量投影的工具作用，体现了将二维关系转化为一维关系的目的. 教材中称上述变换为投影，其本质就是变换，可以实现空间向量（三维）向平面（二维）或直线（一维）投影，也为今后高等数学中 n 维欧式空间中 n 维向量向 m 维平面（m < n）投影打下思维基础.

（2）向量及投影和距离的关系.

距离是空间中的重要度量，高中涉及的距离问题主要有：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离，等等. 距离反映了最短的概念，除两点间的距离外，其他距离问题从另一个角度反映了距离的本质，即垂直. 无论对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最直观的表达形式，因此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向. 法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻画，因此利用法向量和向量投影可以研究距离问题.

学生在学习过程中应该体会到投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且提供了研究距离的方法.

在研究距离问题时，参考向量、投影向量和两者的差构成直角三角形. 这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解了.

（3）投影与投影向量的应用.

教材尽可能用投影向量研究几何问题中的距离问题，投影的引入使得原来较难研究的问题变得简单. 投影及投影向量的引入，使得平面解析几何与空间中的立体几何的联系变得紧密起来，也与今后高等数学中的 n 维欧式空间中的矩阵等内容形成了一以贯之的内容体系.

2. 基于数学运算素养的单元视角

运算律是运算的灵魂，向量加法满足交换律、结合律，而交换律就是“平行四边形两组对边平行且相等”的向量表达式.

与义务教育阶段数的运算体系建立的过程一样，在向量的运算体系的建立中，教材是在向量空间结构体系这条暗线的指引下，研究了运算律与运算的性质.

（1）从集合与映射的角度看向量.

从集合与映射的角度来看，向量的加法与减法运算是向量集到向量集的映射，向量的数乘运算是数集与向量集对应到实数集的映射. 向量及其加法运算、数乘运算构成向量空间，因此向量的加法运算（减法看成加法的逆运算）和数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的数量积运算是从向量集对应到实数集的映射，其结果是数量，它沟通了向量运算和数量之间的联系.

（2）向量与复数的联系.

复数既有代数表示，也有几何表示，又有三角表示，还有指数表示. 这些表示式是非常独特的，其丰富性体现在对同一个对象的不同表示方式上. 复数的三角表示在引入时借助了向量[OZ]的模和角θ，与之前学习的三角函数和向量的内容很自然地产生了联系. 很多数学内容中都体现了这个问题，向量有代数的表示方法，有几何的表示方法，三角函数也是相同的.

从几何的距离、长度等角度来看，复数的模与实数的绝对值是一致的. 对于运算，因为有了不同表示，体现了这个对象不同的特点. 不同表示各有特点，各有优势. 在高等数学中，复数使得我们可以看到指数、三角的统一性. 通过指数式的三角级数的展开，得到了著名的欧拉公式. 因此，在高中学习这些内容，对学生今后的影响很大，在运算与应用中这个优势逐渐就显现出来了.

3. 基于数形结合思想方法的单元视角

向量是既有大小又有方向的量，也是表示几何元素最有力量的量，它的大小与方向落实在数与形的结合上. 几何的本质问题是度量问题，即长度与角度，长度是比角度更加基本的量，因为长度可以度量角度（弧度制）. 向量有运算，通过运算可以将几何的问题转化为代数问题. 教材中解三角形的问题不再单独成章，而是强调了向量在解决三角形问题中的作用.

三角形是欧式空间中最典型、最重要的图形，三角形的性质反映了欧氏空间中的大多数问题. 用向量表达几何元素，其核心是基底，如何选择基底是解决问题的关键. 在任意一个三角形中有[AB+BC+CA=0]，该式称为三角形回路. 选择哪两个边所在的向量为基底来表示其他的向量，这里蕴含着丰富的思想与方法.

（1）余弦定理与向量的关系.

如何处理这个三角形回路的等式，最直接的想法是两边平方，即[AB+BC+CA2=0]，打开后得[a2+b2+][c2-2accosB-2abcosC-2bccosA=0]，这是三角形中三边与三个角之间的定量关系，却不是最简单、最能反映问题本质的关系. 此时，基底化思想再一次体现出了它的“威力”，我们将[AB+BC+CA=0]等号左边的三个量分别移至等号右边，可得[BC+CA=BA]，[AB+CA=][CB]，[AB+BC=AC]，再两边平方，就得到了余弦定理.

引导学生进行这样的操作，主要原因在于余弦定理所要研究的是三角形中定量的边角关系，在向量问题中只有向量的数量积才能得到实数. 考虑到向量的夹角与三角形的内角之间的关联，这样的操作就显得自然而然、水到渠成了. 另外，从学生思维的角度来看，等式的两边平方是学生能想到的最简单、最直接的处理方式.

（2）射影定理与向量的关系.

在前面的学习过程中，我们知道，两个向量的位置关系中最重要的是平行与垂直. 反思余弦定理的获得过程，关键点在于三角形回路等式左、右两边平方后得到边角关系式，这个过程的本质是将相等的两个向量两边同时乘一个向量. 因此，我们仿照余弦定理的获得过程，两边同乘与三条边平行（同向）的向量[AB， BC， CA]，可得[AB+BC+CA ? AB=0 ? AB]，[AB+BC+CA ? BC=0 ? BC]，[AB+BC+CA ? CA=0 ?][CA]，化简后得到了射影定理. 當然，将余弦定理的三个式子与[a2+b2+c2-2accosB-2abcosC-2bccosA=0]合并整理后，也能很快得到射影定理.

（3）正弦定理与向量的关系.

在三角形回路的等式中除了两边同乘与三条边平行的向量外，就剩下另一种特殊的位置关系——垂直. 与平行不同的是，垂直的向量有很多，选择哪一个比较合适呢？还是特殊化，即选择单位向量，得到[AB+BC+CA ? i=0 ? i]，[AB+BC+CA ? j=0 ? j]，[AB+BC+CA ? k=0 ? k]，[i，j，k]分别是与[AB， BC，]

[CA]垂直的单位向量，化简后得到正弦定理.

很多解三角形的问题用向量的视角看待后，变得更具有思想性、联系性和生成性，向量的大小、方向与夹角问题都与三角形中的边角关系密切相关. 虽然正弦定理最简单的证明（面积法）和最本质的证明（三角形的外接圆）都很重要，也都应该让学生理解和掌握，但是这都不影响向量法在整章甚至整个学段学习过程中的地位和作用.

三、有联系：一般观念指引下的学生学习观

所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析，以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用.

对于向量的学习，有两个层次来理解数学的一般观念.

1. 研究一个数学对象的套路

无论是义务教育阶段实数的学习，还是高中阶段复数的学习，都有着其内容产生或学习的必要性，这是学生能学好该内容的前提. 在初中，学生有了小学对数的基本认识和运算基础，在学习了有理数和实数后，进一步明确了实数的运算法则与运算律，进而得到了代数运算的研究路径是背景、运算法则、运算律和应用. 有了这些基本活动经验作为基础，在教师的引导下，学生会很清楚向量的学习是从哪里来的，要到哪里去，研究它的套路是什么，在其他内容的学习中是否有可以借鉴的经验，等等. 其实，除了数的研究外，集合与函数的学习同样有着类似的研究套路. 以函数的学习为例，经历了研究的背景（即在初中已经学习了函数），为什么到了高中要再次用集合对应的观点定义函数，给出新的函数定义，通过一些已经学习过的特殊函数归纳函数的一般性质，然后再学习一些重要的特殊函数（幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等）.

学习向量是有许多研究套路可以参考的. 从宏观层面来看，向量经历了从物理背景抽象到向量概念的形成、表示等，再到其性质的研究，特例研究，最后是向量的应用. 从中观层面来看，引入一种量，就要研究它的运算；定义了一种运算，就要研究相应的运算律. 当然，要从它的实际背景和数学背景出发，这是一个全新的量，有大小也有方向. 接下来，如何定义这个有方向的量的运算法则和运算律呢？学生根据物理中力的平行四边形法则和位移的三角形法则可以迈过这道坎儿. 最后，是向量在数学内部的广泛联系及在研究实际问题中的应用. 从微观层面来看，对于提升学生思维很有价值的内容有向量的共线定理及其推论等，主要包括向量中的三点共线定理及其推论等（等系数和线、等系数比线及奔驰定理等），平面几何的问题解决，正弦定理和余弦定理的证明，用向量法探究三角形的性质，等等.

2. 研究一个数学问题的视角

（1）数学史的视角.

向量的产生起源于物理，但随着历史进程的发展，向量依赖于物理背景的存在越来越弱，特别是复数的产生，复数的几何意义使得复数区别于之前学习的数（一维的数）的存在，通过平面上的点来表示数（二维的数）. 历史上首次利用平面直角坐标系上的点来表示复数a + bi（a，b为有理数，且不同时等于0）的是18世纪末期的挪威数学家威塞尔，他利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算. 至此，人们逐步接受了这一方法，并用此来研究向量.

随着19世纪科技的迅猛发展，仅用平面来表示复数与向量已经不能满足人们的需要了，寻找“三维”以上的复数及相应的运算体系迫在眉睫. 在这个过程中，无数数学家进行了大量的探索与尝试. 直至19世纪中期，爱尔兰数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分）来表示空间的向量，而英国的数学物理学家麦克斯韦在研究电磁理论时发现方程的求解需要用到“这种不一样的数”，使得向量的理论体系和实践应用得到了深入的推进. 19世纪80年代，英国的数学家居伯斯和海维塞德，在总结了前人研究成果的基础上，提出了一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数. 引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量的代数形式推广到向量的微积分形式. 至此，向量的方法被引进数学分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.

（2）高等数学的视角.

向量是由 n 个数[a1，a2，a3，…，an]组成的有序数组[a1，a2，a3，…，an]，如何定义其运算？运算性质指什么？从高等数学的角度来看，向量间的线性运算关系可以反映方程组中有多余方程的情况. 因此，向量间的这种关系对于讨论方程组的解的情况十分重要.

向量从产生到发展的过程始终伴随着物理的发展. 向量这种既有大小又有方向的几何属性在物理学和工程学中被称为矢量. 19世纪末，随着现代数学的迅猛发展，在线性代数中经过不断抽象，向量的几何属性最后甚至摆脱了大小、方向或数对等基本属性，得到了更为一般的向量的概念，即数学各种各样空间中的元素，由此产生了许多新的数学分支.

（3）数学联系的视角.

《标准》将高中数学分为四个主线，向量内容属于“几何与代数”主线. 从联系的观点来看，在初中，学生学习了二元一次方程、三元一次方程，学习了数系的扩充与实数的运算律等知识；在大学，学生即将学习n 维线性方程组、矩阵、向量空间等概念. 因此，高中阶段的向量的学习起到了承上启下的作用，既有不同学段内容之间的纵向联系，也有高中阶段与平面（解析）几何、立体几何、复数、三角等内容的横向关联；既有知识内容方面的密切关系，也有思想方法层面的统一指引，还有不同学生不同学习活动经验的积累，更有数学育人的共同追求.

四、结语

在经历了一段时间的探索与实践后，笔者认为，向量教学的视角应该以物理为背景、运算为起点、几何为重点、投影为关键、高等数学为方向，教师在备课时应该关注向量的何去何从（特别是选择性必修中的投影向量、距离等问题），还应该认识到高等数学中的线性代数等内容.

《标准》中提到：数学在发展学生的理性思维、科学精神与个人智力中具有不可替代的作用. 在构建教材结构体系的逻辑规则中提到了“四性”，即顺序性、连续性、整合性和关联性. 学生在学习数学时应该从整体上认识数学，这就要求教师对教材的理解和讲授都应该站在整体内容的高度上，将联系紧密的内容有意识地结合起来. 从围绕数学核心的概念出发，对其反映出的数学思想方法能有统领性的认识，构建连贯的学习过程，以“四基”作为主要抓手，在发展“四能”的基础上落实核心素养，最终达到“三会”的育人目标.

参考文献：

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