在数学活动中培养学生的数学直观

朱春柳 王旭刚

作者简介：朱春柳（1994— ），女，出版中级，主要从事高中数学和中职数学研究，朱春柳系本文通讯作者；

王旭刚（1974— ），男，副编审，主要从事高中数学、中职数学及培智生活数学研究.

摘  要：数学直观对于学生学习、应用数学意义重大. 因此，要明确数学直观的内涵，理解数学教材，在数学活动中培养学生的数学直观：在归纳活动中建立数学直观，在演绎活动中提升数学直观，在反思过程中更新数学直观.

关键词：数学直观；归纳活动；演绎活动；反思；均值不等式

裴斯泰洛齐认为，人类的直观是一切认识之基础. 人借助被动的直观将客观的外在世界的现象摄入自身之中；借助能动的直观，通过心智的力量形成理性的认识. 夸美纽斯于17世纪首次提出直观性的教学原则，之后引起了许多教育家的关注. 乌申斯基指出，直观教学并不是以抽象的观念和文字为基础，而是以学生直接感知的具体形象为基础. 随着直观性教学原则的发展，这一教学原则越来越受重视，并被应用到不同年龄段和不同学科的教学中.

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学. 数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律. 基于数学学科的特殊性，很多学者提出要培养学生的“数学直观”，并强调数学直观的重要性. 徐利治教授强调，无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的. 学习一条数学定理及其证明，只有当我们能把定理的直观含义和证法的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了. 史宁中教授指出，无论进行怎样的课程改革，如果要用一句话表达数学教育的根本，那就是培养学生的数学直观. 因为数学的结论是“看”出来的，不是“证”出来的.“看”依赖的就是数学直观，是“三会”的现实表现.

那么，如何在深入理解数学直观内涵的基础上，培养学生的数学直观，则是需要深入思考和讨论的问题.

数学直观不同于数学活动经验. 斯托利亚尔指出，逐渐形成和发展学生的作为数学活动基础的那些逻辑结构是数学教学最重要的手段. 这实际上确立了数学活动经验的重要作用，数学活动经验是建立数学直观的基础，形成一定的数学直观需要长期积累数学活动经验.

数学直观不同于直观想象素养. 直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形態与变化，利用空间形式（特别是图形）理解和解决数学问题的素养. 主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物. 我们发现，直观想象素养的重点在于发展学生的几何直观，而数学直观不仅包含几何直观，还包含代数直观和统计直观. 这说明直观想象是数学直观的一个维度，发展直观想象素养是形成数学直观的途径，两者并非等价关系.

基于此，本文界定“数学直观”的内涵是：在已有基础知识、基本技能的基础上，主要通过数学活动形成的一种敏锐的数学悟性. 那么，如何理解“数学活动”？

斯托利亚尔提出“积极的数学教学理解为数学活动的教学”，明确了数学活动的重要性.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中将基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想作为学生获得进一步学习及未来发展所必需的“四基”，并在必修课程与选择性必修课程中将“数学建模活动与数学探究活动”单独设置为一个主题，彰显了数学活动的地位.

数学活动中最基本、最主要的是以逻辑为特征的演绎论证活动和以经验为特征的归纳发现活动，其他数学活动都是围绕这两种活动展开的，或是一种拓展，或是一种延伸，或是一种组合. 因此，数学基本活动可以概括为归纳活动和演绎活动两类. 其中，归纳活动的主要方式包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察试验、比较分类、综合分析；演绎活动是按照某些规定了的法则所进行的前提与结论之间有必然联系的推理过程. 高中阶段常用的演绎证明方法包括综合法、分析法、反证法等.

数学直观不是随意揣测、凭空产生的，需要以数学归纳活动和演绎活动为载体，让学生亲历知识的生成过程. 此外，在完成归纳活动和演绎活动这两个数学基本活动后，还要注重反思建构，积淀归纳、演绎的思维模式，探求数学本质，从而为建立新的数学直观搭建台阶.

接下来，我们以“均值不等式”一课的教学为例，探索如何在数学活动中培养学生的数学直观.

“均值不等式及其应用”隶属于《标准》中“主题一  预备知识”中的“相等关系与不等关系”这一单元.《标准》中提到相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础，要求学生掌握均值不等式，结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.

在高中数学中，均值不等式是证明不等式、求简单的最大值和最小值问题的有力工具. 在之后的高等数学中，一些极限问题、积分问题、级数敛散性问题等也经常会涉及均值不等式的相关内容. 此外，均值不等式在土地利用、机械制造和广告投资等方面都有所应用.

一、在归纳活动中建立数学直观

归纳活动为什么能够建立学生的数学直观呢？归纳活动的主要目的是通过探究猜想数学结论. 探究方式包括观察、类比、试验和研究特例等. 归纳活动是从特殊到一般，由已知发现未知的过程，符合人们认识新事物的思维习惯，容易被学生接受. 虽然在这个过程中存在很大的不确定性，即从特殊到一般所得出的结论不一定正确，但是让学生经历归纳活动的过程是非常必要的. 因为如果直接向学生灌输结论，学生只能囫囵吞枣，难以体会得出结论过程中所蕴含的数学思想，无法理解结论的本质并灵活应用. 只有让学生亲自经历甚至组织归纳活动，不断探究得出结论，才能感受学习数学的乐趣，把握数学本质，进行自我知识建构，从而建立数学直观.

对于“均值不等式”这一节内容，归纳活动可以设置在均值不等式的引入、均值不等式第一个几何意义的得出和均值不等式的拓展上.

1. 均值不等式的引入

均值不等式可以表述为：如果a，b都是正数，那么[a+b2≥ab]，当且仅当a = b时，等号成立.

人教B版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）通过几何和代数两个方面的情境，意图引入均值不等式. 教材先给出算术平均值与几何平均值的定义，让学生回顾并思考：两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应点表示的线段的中点坐标，那么两个数的几何平均值有什么几何意义呢？因为在前两节课的教学中已经给出了算术平均值的几何意义，所以这个问题对于学生来说应该是自然的. 接着，教师提出问题：这两者的相对大小关系是什么？学生可能一时无法判断，这时引导学生从以下两个问题入手，大胆猜测两者的相对大小关系.

问题1：假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个正方形边长的大小.

问题2：如表1，再任取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据问题1说出结论的几何意义.

表1  两个数的算术平均值与几何平均值

[a 1 2 b 1 4 [a+b2] 1 3 [ab] 1 [22] ]

这两个问题设计巧妙. 问题1实际上给出了算术平均值和几何平均值的幾何意义，教师可以借助问题1的提示引导学生通过实物模具（如纸条、线绳等）进行演示，从而发现这两个正方形边长的大小关系，猜测一般情形下的结论. 问题2实际上是从代数的角度给出了猜测算术平均值和几何平均值相对大小关系的一种方法，即代入特征值进行验证. 教师可以多展示几名学生的数据，让学生观察数据变化的特点，提示学生注意观察矩形的长、宽接近和矩形的长、宽相等时的情况. 这样做的目的是引导学生在猜想出算术平均值大于几何平均值的基础上，还能得出：当矩形的长、宽接近时，算术平均值接近几何平均值；当矩形的长、宽相等时，算术平均值等于几何平均值.

在教学中，教师可以借助这两个问题，通过实物模具演示和代入特征值验证的方法引导学生大胆猜想得出均值不等式. 通过上述归纳活动，化抽象为具体，使学生经历知识的生成过程，激发探究兴趣，减轻部分学生学习新知时的畏难情绪，帮助学生初步建立起对均值不等式的数学直观.

2. 均值不等式的第一个几何意义

为了加深学生对均值不等式的理解，教材中介绍了均值不等式的几何意义. 教师在讲解时可以借助信息技术和问题串在归纳活动中进一步培养学生的数学直观. 具体地：将均值不等式两边平方，并设矩形的长和宽分别为[a，b]. 设置问题串：能否求矩形的面积？[a+b22]可以看作谁的面积？你能说出均值不等式的一个几何意义吗？学生通过回答上述问题串，可以总结出均值不等式的几何意义，进而建立起对均值不等式的数学直观. 教师可以利用信息技术进行动态演示，促使学生进一步理解均值不等式的几何意义，即所有周长相等的矩形中，正方形的面积最大.

如果学生基础较好，教师可以引导学生再进行一个归纳活动：你能将“所有周长相等的矩形中正方形的面积最大”这个结论进一步推广吗？例如，所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？

3. 均值不等式的拓展

如果条件允许，教师可以向学生渗透均值不等式的拓展形式. 具体地，用Excel软件或其他计算机软件，完成下列数学试验：任取多组正数a，b，c，计算[a+b+c3]和[abc3]，比较它们的大小，总结出一般规律；对4个正数、5个正数做类似的试验，总结出普遍规律. 这实际上是归纳活动的过程，只不过使用的归纳“工具”是数学软件. 通过代入3个正数（图1）、4个正数和5个正数，观察相应的算术平均值和几何平均值，并引导学生大胆猜测，总结出：一般地，对 n 个正数，都有[a1 · a2 · … · ann≤ a1+a2+…+ann]，并且当这 n 个正数都相等时，等号成立. 这样，可以再次带领学生经历从具体到抽象的过程，发展学生从特殊到一般的思维，建立数学直观.

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图1

二、在演绎活动中提升数学直观

演绎活动为什么能够提升学生的数学直观？演绎活动的主要目的是论证归纳活动中所猜想的数学结论，其与学生已有的数学基础知识和基本技能联系更为紧密. 有人认为，演绎活动只是一种技巧训练，而归纳活动才是创造未知的源泉. 但是，如果没有数学上的演绎活动，学生则无法验证结论的正确性和严谨性，从而建立起更加抽象的数学思维，也就可能导致学生从归纳活动中得到的创新源泉枯竭，不能形成更高层次的数学直观. 因此，演绎活动是提升学生数学直观的关键.

对于“均值不等式”这一节内容，演绎推理主要体现在均值不等式的证明和均值不等式第二个几何意义的得出上.

1. 均值不等式的证明

在演绎活动中，教师要引导学生从命题的前提和结论两个方面进行深入地思考和论证.

均值不等式成立的前提是“a，b都是正数”，这时教师可以向学生提问：为什么需要有这样的要求，并给学生一定的时间思考、讨论. 之后，教师再进行总结，并借此培养学生分类讨论的意识，使学生理解如果a，b是非负数，均值不等式也成立，只不过教材没有强调这一点，这是为了方便陈述几何意义.

对于命题的结论，教材通过作差法进行了证明. 作差法是证明不等式的基本方法. 具体地，因为a，b都是正数，所以[a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥ 0，] 即[a+b2≥ab]. 而且，当且仅当[a-b2=0]，即a = b时，等号成立. 学生已经学习了不等式的定义、掌握了不等式的性质，并且在证明不等式性质的过程中学习了证明不等式的多种方法，如作差法、综合法、分析法、反证法等. 在此基础上，教师还可以引导学生采用作差法以外的其他方法进行证明，以提高学生的演绎论证能力.

综合法：因为[a-b2≥ 0]，

所以[a2+b2-2ab≥ 0].

所以[a2+b2+2ab-4ab≥ 0]，

即[a2+b2+2ab≥ 4ab].

所以[a+b2≥ 4ab].

因为[a>0，b>0]，

所以[a+b≥ 2ab]，即[a+b2≥ab].

显然，当且仅当[a-b2=0]，即[a=b]时，等号成立.

分析法：要证[a+b2≥ab]，

只需证[a+b≥ 2ab].

只需证[a+b-2ab≥ 0]，

只需证[a-b2≥ 0].

显然，[a-b2≥ 0]成立，当且仅当[a=b]时，等号成立.

从而[a+b2≥ab]，当且仅当[a=b]时，等号成立.

教师可以进一步向学生明确综合法和分析法是直接证明的两种方法（反证法是间接证明的方法）. 事实上，从初中开始，学生已经开始“不自觉”地运用这两种方法，只不过没有对这两种证明方法的本质进行探讨. 在这里，可以指出综合法中最重要的推理形式为[p?q]，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证q”，这可以表示为[p?q]，其中p是需要证明的结论. 分析法的思路是“执果索因”，它与综合法是对立统一的. 总结证明方法的本质，可以帮助学生更加明晰论证思路，提升数学直观.

2. 均值不等式的第二个几何意义

在介绍均值不等式的第二个几何意义时，教材是直接以“探索与研究”给出的：如图2，在半圆O中，AB为直径，O为圆心. 已知AC = a，BC = b，D为半圆O上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义.

[图2][O][C][B][D][A]

这样设置的主要原因是“半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径”这一几何意义很难通过归纳活动引导学生得出，所以教师在教学中可以通过演绎活动引导学生在已知条件下通过三角形的相似，计算出OD和CD的长，进而得出此几何意义. 教师同样可以借助信息技术进行动态演示，帮助学生加深理解.

三、在反思中更新数学直观

教学中，经过基本的归纳活动和演绎活动，学生一般能够达到《标准》中对相关内容的要求，获得一定的数学直观，这时可以通过反思，帮助学生深刻体会知识的本质、关系和规律，改进学习策略，总结错误成因. 反思的过程可以看成归纳活动和演绎活动的组合，这一过程并不流于形式，而是通过多个角度帮助学生加深认识，将数学知识深化，将零散的内容系统化，将隐性的思想显性化，不断提升学习效率和效果，持续巩固数学直观，从而使学生对相关内容的认识实现“质”的飞跃，进而更新数学直观.

在掌握均值不等式，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题后，如何才能在学生的认知水平内帮助学生加深对均值不等式的理解呢？教师可以引导学生从以下两个维度进行反思.

1. 厘清数学内容的本质、关系和规律

教师可以引导学生从代数和几何两个角度来理解均值不等式的实质. 从代数的角度来看，均值不等式描述的是两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 从几何的角度来看，均值不等式表明所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大；圆中直径不小于任意一条弦. 对均值不等式进行拓展可以得到如下模型：已知x，y都是正數，如果积 xy 是定值P，那么当且仅当x = y时，和x + y有最小值[2P]；如果和 x + y 是定值S，那么当且仅当 x = y 时，积 xy 有最大值[14S2].

教师应该带领学生明确均值不等式这一节内容与前后知识的联系和涉及的有关思想.

从内容上看，在学习均值不等式之前，学生已经理解了不等式的定义、掌握了不等式的性质，并且在证明不等式性质的过程中学习了证明不等式的多种方法，如作差法、综合法、分析法、反证法等. 学生还学习了中点坐标公式，这实际上给出了算术平均值的几何意义，与本节内容联系紧密. 此外，可以提示学生在之后证明不等式、求简单的最大值和最小值问题时会经常用到均值不等式这一内容，并且在高等数学中均值不等式也是解决一些极限问题、积分问题、级数敛散性问题的工具之一.

从思想上看，在学习绝对值不等式时，学生已经从“数”和“形”两个方面理解并证明了绝对值不等式，进一步理解了数形结合思想. 数形结合思想是高中数学中重要的思想之一，贯穿函数、几何与代数、概率与统计等主题内容. 均值不等式中还蕴含数学建模思想，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力. 教师在讲解例题时，应该已经向学生渗透了这一思想. 这里可以将这一重要思想进一步显化，引导学生明确数学建模的重要性.

2. 反思错误成因

事实上，应用均值不等式的条件较为严苛，学生容易在应用时出错. 教师应该通过追问、举反例等方式及时纠正学生的错误，并引导学生反思和总结错误原因.

例如，学生完成对例题“已知[x>0]，求[y=x+1x]的最小值，并说明[x]为何值时[y]取得最小值”的求解之后，教师可以进行追问：如果限制 x 的取值范围是[2，+∞]，[y=x+1x≥ 2]仍然成立，[y]的最小值还是2吗？追问的目的是提醒学生注意，利用均值不等式求最值时一定要说明等号能取到，否则求出来的不是最值. 事实上，均值不等式是对任意正实数都成立的，且[a]，[b]都能独立地取到每一个正实数，因此公式中的等号一定能取到. 如果将[a]，[b]取值范围缩小，不等式仍然成立，但不等式两边的代数式的值只是原来取值的子集. 此时，均值不等式中的等号不一定能取到. 可以求得，此时[y]的取值范围是[52，+∞]，无最小值. 不过目前学生还不能得到y的范围，可以在函数部分再进行讲解.

再如，在讲完上述例题后，教师可以给出如下问题：已知[x>1]，求[y=x+1x-1]的最小值. 学生可能会给出如下两种解法.

解法1：由[x>1]，得[x-1>0].

于是[y=x+1x-1≥ 2x ? 1x-1=2xx-1]，当且仅当[x=1x-1]时，即[x2-x-1=0]，也就是[x=1+52]时，等号成立.

将[x=1+52]代入[y=x+1x-1]，得[ymin=1+5].

解法2：由[x>1]，得[x-1>0].

于是[y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥ 2x-1 ? 1x-1+1=3，]

当且仅当[x-1=1x-1]时，即[x=2]时，等号成立.

将[x=2]代入[y=x+1x-1]，得[ymin=3].

教师引导学生对比这两种解法，并判断哪种解法正确. 教师可以引导学生反思解法1出错的原因，即[x ? 1x-1]不是定值，学生忽视均值不等式的应用条件，盲目套用公式，导致错误.

在讲完函数相关内容后，教师可以再次通过此题引导学生对均值不等式的相关内容进行反思和提升. 事实上，解法1只能说明，当[x>1]时，函数[fx=x+1x-1]的函数值总是大于或等于函数[gx=2xx-1]的函数值，只有当[x=1+52]时，这两个函数值才相等，都等于[1+5]. 而解法2说明函数[fx=x+1x-1]的函数值总是大于或等于3，于是[fx]的最小值为3，教师可以借此进一步帮助学生理解为什么“积（和）为定值时，和（积）才能达到最小（大）值”.

教师还可以通过数学软件作出函数[fx=x+1x-1]和函数[gx=2xx-1]的图象，从图象中可以明显看出函数[fx]的图象总是在函数[gx]的图象的上方，只有在[x=1+52]时，两个函数的图象相切. 另外，还可以通过变量替换结合函数[fx=x+ax a>0]的单调性解答此题.

学完函数的有关知识后，从函数的角度反思均值不等式，能够对均值不等式的理解更加深刻，学会用均值不等式求某些函数的值域，理解应用均值不等式时要求“和或积为定值”的本质原因，更新对均值不等式的数学直观.

四、结束语

数学直观不同于数学基本活動经验，也不同于直观想象素养. 本文界定数学直观的内涵是在已有基础知识和基本技能的基础上，主要通过数学活动形成的一种敏锐的数学悟性. 在此基础上，提出了培养学生数学直观的一些思考，即通过归纳活动、演绎活动和反思，帮助学生建立、提升和更新数学直观，让学生通过大胆猜想、推理论证和前后贯通亲历知识的生成过程，增强创新意识和逻辑的严谨性，敏锐把握数学内容的本质、关系和规律，真正做到用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 此外，本文以“均值不等式”这一内容为例，给出了培养学生数学直观的一些具体教学策略，供教师参考.

参考文献：

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