基于自然想法·融入数学史实·揭示数学本质

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划课题——基于大单元教学的高中数学章节教学设计的研究（D/2021/02/713）.

作者简介：李昌（1972— ），男，正高级教师，主要从事高中数学教学研究.

摘  要：在课程体系中，离心率是圆锥曲线的几何性质，这容易让学生误认为定义离心率的逻辑起点是圆锥曲线的标准方程. 基于形状刻画功能定义的椭圆的离心率也与学生的直观认知存在差异. 这些都为椭圆离心率的教学提供了空间和可能. 为此给出了利用图形直观形成自然想法、融入数学史实实现概念接纳、在伸缩变换中理解离心率相等与形状一致的关系、在代数变形中揭示数学本质的教学路径，并对此教学进行了深刻思考.

关键词：椭圆；离心率；概念教学；数学史实

一、问题提出

离心率是圆锥曲线的核心概念，具有以数驱形的作用，既能统一椭圆、双曲线和抛物线的定义和方程，又能区分它们的类型；既能定量刻画圆锥曲线的形状，又能沟通同一曲线不同定义间的联系. 在高中数学课程体系中，离心率是圆锥曲线的几何性质，编排在标准方程之后，以体现解析几何用方程研究曲线性质的路径和特点. 有些学生因此误认为圆锥曲线的标准方程是离心率的上位概念和定义离心率的逻辑起点.

教学实践中，学生通过观察和比较椭圆的图形就能直观地看出长轴相同短轴越短或者短轴相同长轴越长的椭圆越扁平，就自然形成了用[ba]刻画椭圆扁平程度的想法. 学生的自然想法与椭圆离心率的定义之间有一定的差异. 若仅从形状刻画功能来建立和理解椭圆离心率的概念，则难以兼顾学生的直观认知，也容易使概念教学落入直接告知的窠臼.

笔者认为，这种差异和学生的误解为椭圆离心率的教学提供了广阔的空间. 为了使学生真正体会到人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）的脚注“虽然[ba]也能刻画椭圆的扁平程度，但[ca]不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性”的深刻内涵. 笔者进行了如下教学与思考，期望得到大家的批评和指正.

二、教学路径

1. 利用图形直观，形成自然想法

师：观察图1中三个椭圆的形状，容易发现它们的形状从外到内越来越扁平，用什么图形可以直观地描述椭圆的扁平程度呢？

[图1]

生1：可以用椭圆的外切矩形来描述. 如图2，从外到内，三个椭圆的外切矩形的长相同，宽越来越小，矩形也就越来越狭长，而椭圆也就越来越扁平.

[图2]

师：如图3，如果椭圆的长轴和短轴各不相同，如何比较它们的扁平程度呢？

[图3][C1][C2][C3]

生2：用它们外切矩形的宽与长的比值[ba]来比较，比值越小椭圆越扁平，比值越大椭圆越接近于圆.

师：椭圆的外切矩形恰好框定了椭圆，其宽与长的比值既能刻画自身的狭长程度，也能表示椭圆的扁平程度. 这种想法自然直观，也与以直代曲的一般观念相符.

【评析】基于以直代曲的一般观念，用椭圆外切矩形的形状代替椭圆的形状，形成用[ba]刻画椭圆形状的自然想法，既奠定了建构椭圆离心率的认知基础，又引发了学生的认知冲突，为后续融入数学史实创造了时机.

2. 融入数学史实，自然接纳概念

师：在我们看来，用[ba]表示椭圆形状的想法自然且直观，但教材中用的却是[ca]，并称之为离心率[e]，那么[e]和[ba]有联系吗？[e]的数值与椭圆的扁平程度有怎样的关系？

生3：[e=1-ba2]. 当[e]接近于1时，[ba]接近于0，椭圆越扁；当[e]接近于0时，[ba]接近于1，椭圆接近于圆.

师：由此可见，在刻画椭圆形状的功能上，[ca]和[ba]没有本质区别. 那么，为什么不用[ba]而用[ca]呢？这要从数学史中寻找答案.

师生一起回顾椭圆离心率的数学史实.

圆锥曲线起源于古希腊时代圆锥面的截线，阿波罗尼奥斯是研究圆锥曲线的集大成者，在他之后的13个世纪里，人们对圆锥曲线的研究没有什么新的进展. 直到16世纪，德国天文学家开普勒继承了哥白尼的日心说，揭示了太阳系的行星是在以太阳为焦点的椭圆轨道上运行的事实. 他发现了圆锥曲线的焦点，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点. 他还发现只需恰当地移动焦点就能把椭圆、双曲线和抛物线从其中的一类连续地变化为另一类. 离心率的概念最早由开普勒于1604年在《新天文学》中提出，但没有详细介绍为什么用[ca]来定义离心率. 有学者从数学发生发展的角度推测，是为了研究行星运行的椭圆轨道与太阳的偏离程度而引入离心率的概念. 由于行星和太阳之间的距离既受轨道形状的影响，又受轨道大小的影响，因此不能用最近和最远距离来表示偏离程度. 经过尝试，发现[a+c-a-ca+c+a-c]的值[ca]能很好地刻画椭圆的扁平程度，且与椭圆的大小无关，因此将其定义为偏心率，即数学上的离心率.

由上可见，17世纪的开普勒定义椭圆离心率的依据并不是椭圆的标准方程. 在数学发展史中，建立椭圆标准方程的时间比定义椭圆离心率的时间晚了200多年. 椭圆的标准方程[x2a2+y2b2=1 a>b>0]首次出现于19世纪英国数学家赖特的《圆锥曲线及其他曲线的代数体系》一文中. 而在17世纪以前，对椭圆的研究基本上停留在阿波罗尼奥斯的演绎几何上. 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中依据古希腊人的原始定义，用方程[a2-x2=ky2 k>0，k≠1]表示椭圆. 18世纪初，法国数学家洛必达在《圆锥曲线分析》中拋弃了原始定义，依据蒙特给出的轨迹定义推导出椭圆的方程为[y2=b2a2a2-x2]. 19世纪美国数学家柯芬给出的椭圆的方程是[a2y2+b2x2=a2b2]. 由此可见，用椭圆标准方程中的[ba]来刻画椭圆扁平程度的想法与数学发生发展的历史顺序不符.

【评析】回顾有关椭圆离心率的数学史实，学生能明白离心率具有天文学上的渊源，能体会到圆锥曲线研究与运用的广泛性. 对比椭圆方程和离心率出现的时间节点，学生就能明白标准方程不是定义离心率的逻辑起点，自然放弃用[ba]刻画椭圆形状的想法，接纳离心率的概念. 对比形式各异的椭圆方程，学生能发现虽然它们实质相同，但只有标准方程才是简洁美、和谐美和对称美的集中体现.

3. 运用伸缩变换，理解形状相同

师：先观察图3中三个椭圆[C1，C2，C3]的扁平程度，再根据它们的标准方程[x214+y212=1， x28+y22=1，][x24+y2=1]分别计算离心率，以此验证观察的结果.

生4：可以看出[C1]比[C2]和[C3]更圆，但难以分辨[C2]和[C3]形状上的差异，计算离心率得[e1=77，e2=e3=32]，这验证了观察结果，也表明[C2]和[C3]的形状相同.

师：你能根据[C2]和[C3]方程上的特征，归纳离心率相同的椭圆在标准方程上的联系吗？

生4：在它们的标准方程中，[a2]和[b2]对应成比例.

师：也就是说，在标准方程中，未知数[x2]和[y2]的系数对应成比例. 那么，能从几何变换的视角来看待系数对应成比例的两个方程表示的曲线吗？以图3中的[C2，C3]为例进行说明.

生5：把曲线[x24+y2=1]上每一点的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的[2]倍即得曲线[x28+y22=1]，因为伸缩变换不改变图形的形状，只改变图形的大小，所以椭圆[C2]与[C3]形状相同.

师：很好！在前面的学习中，我们在[Rt△BFO]中用勾股定理来表示椭圆标准方程中[a，b，c]的关系，并称[Rt△BFO]为椭圆的特征三角形，如图4所示. 你能用特征三角形中的边角关系表示椭圆的离心率吗？

[图4][F][O][x][y][B][a][α][c]

生6：在[Rt△BFO]中，[FOBF=cos∠BFO]，即离心率[e=cos∠BFO].

师：这样一来，椭圆的离心率[e]就转化成[∠BFO]的余弦值了. 若设[∠BFO=α]，则锐角[α]的大小、离心率[e]的数值和椭圆形状三者间有何关系？

生7：当锐角[α]越大时[e]越小，椭圆越接近于圆；当[α]越小时[e]越大，椭圆越扁平.

师：我们在离心率的概念和一个特殊的锐角[α]之间建立了对应关系，由锐角[α]张口的开阔程度能联想到椭圆的扁平程度. 在学习中，为了建立和理解概念，尤其对于抽象程度高的概念，我们经常为其赋予某个具体图形，或者使其与某种生活情境建立联系，这样的图形和情境被称为概念的具象. 此处的锐角[α]就是离心率[e]的具象. 由于锐角[α]还可以看作直线[FB]的倾斜角，因此离心率[e]的具象还可以是一条特殊直线的倾斜角. 一般地，为一个概念建立的具象越多，对这个概念的理解就越深刻.

【评析】由形到数、由具体到抽象逐步引导学生理解椭圆离心率的形状刻画功能. 对椭圆形状的观察、比较及对离心率的计算，能促进学生对离心率刻画功能的感性理解. 从几何变换的视角理解离心率相等与椭圆形状相同之间的关系，为枯燥的数量关系赋予了动态的变化过程. 为离心率建立的具象，实现了离心率概念的可视化，促进了学生的理解向纵深发展.

4. 运用代数变形，揭示数学本质

师：在推导椭圆标准方程的过程中，有等式[ax-c2+y2=a2-cx]，观察其几何意义，思考椭圆定义中的距离及其运算的变化情况.

生8：椭圆上的动点[Px，y]到左焦点的距离消失了，距离的和也随之消失.

师：现在保留动点到右焦点的距离，以出现[ca]为变形目标，把上述等式变形为[x-c2+y2=a2-cxa=][caa2c-x]. 能否将括号中的[a2c-x]也看作椭圆上的动点[Px，y]到某种几何元素的距离？若能，可以看作点[Px，y]到哪种几何元素的距离？

生9：一定不是两点间的距离，因为两点间的距离公式中有纵坐标的差.

师：能看作动点[Px，y]到直线的距离吗？若能，此直线具有怎样的特征？

生10：可以看作动点[Px，y]到垂直于[x]轴的直线[x=a2c]的距离. 因为[a>c]，点[Px，y]在椭圆上，有[x≤ a]，所以[x-a2c=a2c-x].

师：这就使得消失的距离再次出现，能否使消失的运算也再次出现，并使运算结果等于[ca]？

生11：在等式两端同除以[a2c-x]，得[x-c2+y2a2c-x=ca].

师：这个等式有什么几何意义？

生12：动点[Px，y]到椭圆右焦点的距离与它到直线[x=a2c]的距离的比值等于椭圆的离心率[e].

师：由此看出，离心率还反映了椭圆上的点在运动过程中保持了距离比值的不变性. 这是教材中一些例题、习题和探究的结论，也称为椭圆的第二定义，这也是天文学家开普勒定义椭圆离心率的依據.

【评析】以化简椭圆标准方程过程中的等式为变形起点，以距离及其运算的变化为观察要素，以出现[ca]为变形目标，从距离的视角探寻[a2c-x]的几何意义. 在此过程中，把椭圆离心率的概念从刻画形状的功能化定义深化为更本质的椭圆的第二定义，凸显了离心率对两种定义的沟通和联结作用，深化了对离心率的本质理解.

三、思考

1. 学生的自然想法是多种思维活动的自然汇聚

数学是自然的，自然之处在于思想和想法的自然. 用[ba]刻画椭圆形状的想法，是研究方法的自然延续和数学思维的主动参与，蕴含了一般观念的思维引领. 首先，是解析几何研究方法的自觉运用. 因为学生要经历观察图形形状、获得几何特征、利用代数方程论证的思维过程. 其次，是以直代曲观念的自然运用. 因为学生还没有研究曲线型图形形状的经验，这是研究直线型图形形状的经验和方法的正向迁移和自然运用，也是一种潜意识的驱动和结果，体现了无形思想向有形技法的自然转化. 最后，是化归思想的自然运用. 学生在前面的学习中已经知道把圆[x2+y2=a2]上点的纵坐标压缩为原来的[k 0

学生的自然想法对于概念的形成和理解虽然有促进作用，但是数学教学却不能停留在学生的自然想法上止步不前. 因此，本文的教学先依托学生的直观认知形成自然的想法，再建立[ba]和[ca]在刻画椭圆形状上的等价性，最后融入数学史实，使学生在认知上实现了从[ba]到[ca]的自然接纳. 这既顺应了学生的自然想法，又实现了离心率概念的意义建构.

2. 建立离心率的具象可以促进对概念的深刻理解

以“率”命名的数学概念，如斜率、平均变化率、瞬时变化率和概率等都是用比值来刻画某种数学量或数学关系的. 因为其抽象程度高，所以通常借助概念原型促进概念形成并深化概念理解. 椭圆的离心率定义为两条线段的比值，由于这两条线段在位置上处于局部重合的状态，其几何意义不明显，不便于直接作为离心率的概念原型，故在教学中，将这两条线段的比值转化为椭圆的特征三角形的边长之比，这样就可以用椭圆的特征三角形的内角或者特征三角形斜边的倾斜角来表示椭圆的离心率. 开口角度的大与小会给人带来视觉上的宽与窄的感觉. 因此，一个特殊的角就成了椭圆离心率的概念具象，这便于学生理解椭圆离心率的形状刻画功能.

3. 数学史表明标准方程不是离心率的逻辑起点

教学内容在教材中的编排顺序和数学思想方法的内涵都要遵循严谨的逻辑体系，并符合学生的认知发展规律. 然而，数学的发展却并不完全遵从逻辑的推演. 认知发展的历史相似性表明，个体对数学知识的理解遵循数学思想的历史发展顺序. 因此，数学教学不能完全依靠逻辑推演的方式来实现. 这要求教师既要从整体上分析内容的结构体系，体会知识间的内在联系，深入理解概念的内涵，又要在细节之处挖掘概念要义，感悟数学思想方法. 只有这样，才能对所教内容进行适当的教学法加工，才能让学生对所学的知识既看得清它是这样的而不是那样的，又看得透它为什么是这样的而不是那样的. 教学中，通过回顾椭圆离心率的数学史实，梳理椭圆方程的演进历史，学生自然就能明白椭圆的标准方程既不是离心率的上位概念，也不是定义离心率的逻辑起点，也就能感悟到椭圆离心率的定义中必然蕴含了更加深刻的内涵，有待在学习中进一步挖掘.

4. 建立本质联系，提供认识圆锥曲线的新路径

离心率虽然是人们为研究圆锥曲线的性质而提出的概念，但却是伴随圆锥曲线的产生而产生的性质，体现了圆锥曲线的精华. 从学生的视角来看，如果仅是为了刻画椭圆的形状，那么利用标准方程中的[ba]就够了，因为标准方程具有快速显形的作用. 因此，只有让学生真切地感受到[ca]特有的“好处”，才能实现对椭圆离心率概念的自然接纳和深刻理解. 本文设置的揭示椭圆离心率与椭圆轨迹定义间内在联系的探究活动，目的是让学生看到離心率还具有沟通椭圆不同定义的独特功能，让学生感受到离心率是研究和表达椭圆性质的途径. 实际上，对于像离心率这样的核心概念，只有将其在单元知识体系中的凝聚作用展现出来，才能使其成为建构知识体系的逻辑线索，从而发挥其对知识体系的建构作用和对学生认知发展的促进作用.

参考文献：

［1］袁丹凤，徐章韬. 微言要义之离心率［J］. 数学通讯，2018（18）：1-3.

［2］徐章韬. 中学数学教材核心内容分析：经验型面向教学的数学知识［M］. 北京：科学出版社，2022.

［3］鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.