基于运算主线的数学单元教学案例设计与思考

基金项目：安徽省教育科学研究项目——“结构化”统领的高中数学单元教学案例研究（JK23084）.

作者简介：刘守文（1983— ），男，中小学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.

摘  要：基于“用教材教”的理念，以“点到直线的距离公式”为例，尝试创造性使用教材，跨越单元知识设计教学，突出运算主线，强化数形结合思想方法的引领作用，促进学生数学运算素养连续性发展.

关键词：运算主线；单元教学；课例设计

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，平面解析几何的研究对象是几何图形，研究方法主要是代数方法. 其基本特征是以坐标系为研究工具，通过数学运算来研究几何图形中的位置关系和数量关系，这是研究平面解析几何的一般方法，具有方法论指导意义. 一方面，数学运算素养是研究平面解析几何的主线，贯穿于点、直线、圆、圆锥曲线等知识学习的全过程，是联结平面解析几何各单元知识的纽带，是推动平面解析几何单元知识发生发展的重要推手；另一方面，平面解析几何单元教学对培养学生的数学运算能力有重要意义，是发展学生数学运算素养的载体. 因此，基于运算主线的平面解析几何单元教学对于发展学生的数学运算素养，进而引导学生用数学的思维思考现实世界都起到了重要作用.

基于单元教学的整体性原则，“点到直线的距离公式”一课内容的设计应该置于整个平面解析几何知识发展的背景和邏辑体系中考虑，关注单元知识结构和逻辑关联，注重数形结合思想方法对知识的统领作用，完善学生认知结构，突出运算主线在本节课乃至本单元内容学习中的串联作用.

一、内容和内容解析

1. 内容

点到直线的距离公式.

2. 内容解析

本节课的内容是在学习直线的方程和位置关系、两点间的距离公式之后探究的又一种距离问题. 距离问题是平面解析几何中的基本问题之一. 本节课的研究方法延续了平面解析几何研究的一般方法，即用代数方法（坐标系）研究几何问题. 本节课主要引导学生联系前面所学知识思考公式的推导方法，并动手推导，培养学生的数学运算能力，提升学生的数学运算素养.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是点到直线的距离公式的推导.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）了解点到直线的距离的定义，经历用坐标法和向量法推导点到直线的距离的过程，思考坐标法引起复杂运算的原因并改进，从向量投影的视角再次认识点到直线的距离公式.

（2）会用结合图形特征进行运算推导的基本套路探索点到直线的距离公式的其他推导方法.

（3）在公式推导过程中感悟数形结合的思想方法，培养数学运算能力，发展数学运算素养.

2. 目标解析

达成上述目标的标志如下.

（1）学生会自然联想到用两点间的距离公式推导点到直线的距离公式，能够认识到图形几何特征对数学运算的辅助作用，能够在教师的指导下用“设而不求”的方法简化运算. 学生能够联系空间中的向量的距离公式推导平面上点到直线的距离，实现方法上的迁移，并能够在计算复杂的情况下探索优化运算的方法.

（2）学生能够借助图形特征，从面积、斜率等视角认识点到直线的距离，并通过数学运算推导公式.

（3）学生能够通过参与公式推导的过程，进一步理解知识的本质，形成关键能力和必备品格.

三、教学问题诊断分析

数学运算是本节课的教学内容发生发展的推手，知识间的逻辑联系是本节课教学内容合理呈现的依据. 学生容易想到两点间的距离公式这种比较自然的推导思路，但是计算过程复杂. 因此，本节课的教学难点是优化运算（包括向量法的应用与优化），认识知识的本质.

四、教学过程设计

1. 整体把握，引入新知

本单元的研究对象是平面解析几何，研究的一般套路是用代数方法研究几何问题. 师生一起总结研究过的几何对象，以及它们对应的代数表示，如表1所示.

表1

[类型 几何元素的代数表达 几何 代数 点 [x0，y0] 直线 [Ax+By+C=0] 位置

关系 点在直线上 [P] 若点[Px0，y0]在直线[Ax+By+][C=0]上， 则有[Ax0+By0+C=0] 两直线平行直线[A1x+B1y+C1=0]与直线[A2x+B2y+C2=0]平行，当直线的斜率存在时，有[-A1B1=A2-B2] 两直线相交直线[A1x+B1y+C1=0]与直线[A2x+B2y+C2=0]垂直时，有[A1A2+B1B2=0] 距离 两点间的距离[A][B] 点[Ax1，y1]与点[Bx2，y2]，则[AB=x1-x22+y1-y22] 还可以研究什么距离？ ]

【设计意图】基于单元教学发展核心素养的整体性要求，本节课选取熟悉的、相关联的数学情境引入，通过回顾前面所学习的几何对象及其关系的代数表示，引导学生基于知识发展的逻辑结构思考后续还可以研究什么内容，对于培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力具有重要意义. 这样的设计有助于学生整体地认识、构建本单元知识的宏观结构，探究本单元知识学习的一般套路. 这种引入方式相比于以解决具体问题为背景的现实情境引入在思维层次上更有深度，通过数学抽象让学生经历点和直线的位置关系与度量模型化的过程，用数学语言刻画研究对象的要素和内涵，揭示解析几何的本质和研究套路，强化对研究对象的理解.

2. 建系分析，探究新知

（1）把握定义，推导公式.

定义：点[P]到直线[l]的距离是指从点[P]到直线[l]的垂线段[PQ]的长度，其中点[Q]是垂足．

思路1：用两点间的距离公式求点到直线的距离.

如图1，对于点[Px0，y0]和直线l：[Ax+By+C=0]，

[O][x][y][图1]

设[A≠ 0]，[B≠ 0]，则[kl=-AB]，[kPQ=BA].

所以[PQ：y-y0=BAx-x0]，

即[Bx-Ay=Bx0-Ay0].

联立方程，得[Ax+By+C=0，Bx-Ay=Bx0-Ay0.]

解得[x=B2x0-ABy0-ACA2+B2，y=-ABx0+A2y0-BCA2+B2.]

即得點Q[B2x0-ABy0-ACA2+B2， -ABx0+A2y0-BCA2+B2]．

故[PQ=B2x0-ABy0-ACA2+B2-x02+-ABx0+A2y0-BCA2+B2-y02]

[=-ABy0-AC-A2x0A2+B22+-ABx0-BC-B2y0A2+B22]

[=A2Ax0+By0+C2+B2Ax0+By0+C2A2+B22]

[=Ax0+By0+C2A2+B2]

[=Ax0+By0+CA2+B2].

可以验证，当[A=0]或[B=0]时，上式仍然成立.

（2）反思过程，优化运算.

问题1：上述解法思路自然，但是运算复杂，引起运算复杂的原因是什么？结合图形特征，可否优化求解过程？

运算优化：如图2，结合图形特征，可知要求点P到直线l的距离，关键是求[PR]，[QR].

[O][x][y][图2][R]

所以可以整体求[x-x0，] [y-y0].

联立方程，得[Ax+By+C=0，y-y0=BAx-x0 .]

变形，得[Ax-x0+By-y0=-Ax0-By0-C，Bx-x0=Ay-y0.]

解得[x-x0=-AAx0+By0+CA2+B2，y-y0=-BAx0+By0+CA2+B2.]

进而求得结果，以下过程略.

追问：该解法用“设而不求”的方法整体代换求解[x-x0，] [y-y0]，体现了整体代换的思想，能否进一步优化运算过程？

运算再优化：整体求[x-x02+y-y02].

因为[Ax-x0+By-y0=-Ax0-By0-C，Bx-x0=Ay-y0，]

两式平方、相加，得[x-x02+y-y02=Ax0+By0+C2A2+B2].

进而求得结果，以下过程略.

【设计意图】引导学生参与课堂活动，思考公式的推导过程，突出教学重点. 重视计算过程，探索优化运算的方法，突破教学难点.

从单元教学发展核心素养的整体性视角来看，两点间的距离是平面解析几何中一切距离问题的起始点，如点到直线的距离、圆锥曲线的弦长、焦半径等公式的推导，其出发点都是两点间的距离公式. 对于公式推导思路的理解，教师要引导学生经历由直接数学运算到结合图形的几何特征进行数学运算的过程，其实质是通过数形结合的过程优化运算，在具体问题情境中感悟和习得数学基本思想，进而提升数学运算素养.

从单元教学发展核心素养的连续性视角来看，平面解析几何是发展数学运算素养的重要载体. 人教A版新、旧两版教材对公式推导的处理有所差异：人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》先给出了用两点间距离公式推导点到直线的距离的探究思路，随后指出“上述方法思路自然，但运算较繁”，进而转到用“面积法”推导公式；人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“新教材”）没有回避“运算较繁”这个问题，而是引导学生参与这个问题的计算过程，重视学生数学运算能力的培养，再进一步引导学生思考引起运算量大的原因，启发学生尝试改进运算方法，其根本意图是引导学生理解高中解析几何的知识本质——利用几何图形建立直观，通过代数运算刻画规律，渗透数形结合的思想方法. 新教材的处理关注了数学运算素养的发展具有连续性和一致性，数学运算素养贯穿整个平面解析几何学习的全过程.

（3）借助向量，揭示本质.

问题2：在上一章知识的学习过程中，我们曾用向量法求空间中点到直线的距离. 类似地，能否用向量法求平面中点到直线的距离呢？

思路2：借助向量，类比空间中求点到直线的距离的方法求平面内点到直线的距离.

如图3，设点[Mx，y]是直线[l]上的任意一点，u是直线[l]的一个单位方向向量，则[PQ=PM2-QM2=][PM2-PM ? u2]（勾股定理）.

[O][x][y][图3][u]

设直线[l：Ax+By+C=0]，则其斜率为[k=-AB]，一个方向向量为[1，k=1，-AB].

则[u=BA2+B2， -AA2+B2].

由[PM=x-x0，y-y0]，得[PM2=x-x02+y-y02].

则[PM ? u2=Bx-x0A2+B2-Ay-y0A2+B22].

故[PM2-PM ? u2]

[=A2x-x02+B2y-y02+2ABx-x0y-y0A2+B2]

[=Ax-x0+By-y02A2+B2]

[=Ax+By-Ax0-By02A2+B2]

[=-C-Ax0-By02A2+B2]

[=Ax0+By0+C2A2+B2].

所以[PQ=Ax0+By0+C2A2+B2][=Ax0+By0+CA2+B2].

运算优化：巧妙引入向量[n].

由题意，可以得到[PQ=PM2-PM ? u2]

[=PM21-cos2PM ? u=PMsin2PM ? u=PMsinPM ? u .]

如图4，结合图形特征，设[n]是与[u]垂直的一个单位向量，

[O][x][y][图4][u] [n]

则有[PQ][=PMcosPM ? n][=PM ? n].

因为[n]是与[u]垂直的一个单位向量，

取[n=AA2+B2， BA2+B2]，

所以[PQ=PM ? n]

[=Ax-x0+By-y0A2+B2]

[=Ax0+By0+CA2+B2].

运算再优化：向量视角揭示知识本质.

问题3：如图5，因为点[M]是直线[l]上的任意一点，线段[PM]在变化，但点[P]到直线[l]的距离[PQ]不变，即与[PM]无关，从向量的视角思考，[PQ]与向量[PM]具有怎样的关系？

[O][x][y][图5][u] [n]

向量视角下对定义的再认识：点[P]到直线[l]的距离[PQ]即向量[PM]在向量[n]方向上的投影向量的模.

追问1：向量[PM]在向量[n]方向上的投影向量是什么？

答案：[PMcosPM ? ne]，其中[e]是与[n]方向相同的单位向量.

追问2：向量[PM]在向量[n]方向上的投影向量的模怎么计算？

答案： [PMcosPM ? n e=PM ? n=Ax0+By0+CA2+B2].

【设计意图】类比空间中点到直线的距离公式的探究过程自然引出向量法. 结合图形的几何特征巧妙引出向量[n]，借助向量工具重新审视点到直线的距离的知识本质.

课改强调“既要重视教，更要重视学”，意指教学要厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联，关注学生的知识结构，遵循学生的认知规律，寻找学生学习思维的起点. 单元教学需要“瞻前顾后”，建立知识间的整体联系.

从问题情境的视角来看，情境创设和问题设计要有利于发展学生的数学核心素养. 此处创设空间中点到直线的距离公式这个熟悉的、关联的数学情境，提出平面中点到直线的距离的求法这一问题，问题提出自然、切合实际. 由空间类比平面，为我们提供了解决问题的思路和方法，数学核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升. 促进学生用数学眼光观察现象、发现问题，用数学思维思考问题、解决问题，在问题解决的过程中理解数学知识的本质.

（4）数形结合，巧妙转化.

问题4：除了上述两种思路外，你还有其他推导思路吗？结合图形的几何特征分组讨论.

【设计意图】突出学生学习的主体地位，让学生独立思考、自主探索、合作交流，真正落实“重视学生学，促进学生学会学习”这一新课程理念. 教师在教学中要发挥主导作用，重视学法指导，对学生探究过程中遇到的困惑要及时点拨，引导学生从面积、倾斜角等不同的视角认识、转化问题. 学生在自主探索的过程中会有各种新发现，能够促进知识结构的优化和思维品质的发展. 学生通过自主探索进一步理解结合图形的几何特征进行数学运算这一研究平面解析几何知识的基本套路.

3. 例题讲解，巩固新知

例1  求点[P1，2]到直线[l：3x=2]的距离.

例2  已知[△ABC]的三个顶点分别是[A1，3]，[B3，1]，[C-1，0]，求[△ABC]的面积.

【设计意图】例1引导学生规范运算步骤（化一般式，确定[A]，[B]，[C]，代入公式求值），意在帮助学生巩固所学公式，明晰运算对象，合理运用法则，确定运算思路，发展数学运算素养；例2训练学生解决平面解析几何问题的基本套路（结合图形特征进行数学运算），学生能切实感受到无论采用哪种方法，都是建立在对几何图形理解的基础上.

4. 构建结构，归纳新知

基于运算主线单元视角，整体构建本节课的数学知识结构，如图6所示.

[几何问题][代数表征][图形特征][坐标系][O][x][y] [坐标法][向量法][两点间距离][整体代换][其他方法][勾股定理][投影向量][数形结合（思想方法）][数学运算（核心素养）][图6]

五、基于运算主线的单元教学课例设计思考

课程改革倡导“用教材教”，其实质是对教材进行优化处理，创造性地使用教材.“用教材教”是以尊重教材、走进教材、吃透教材为前提，是建立在深入钻研教材基础上的“教教材”，而不是信马由缰，无主旨地处理教材.“用教材教”需要落实新课程理念，突出单元知识结构，关注学生认知结构，围绕教学目标、教学重点和难点设计教学.

1. 突出单元知识结构，活用教材

《标准》是教学的依据，教师在教学中要落实《标准》的理念. 本节课的教学设计以发展学生的数学运算素养为主旨，突出运算主线在平面解析几何单元教学中的一线贯穿作用，围绕运算主线，自然回归结合图形特征进行运算推导这一知识本质，渗透数形结合思想方法.

站在单元教学联系地、整体地研究问题的高度，可以更加清晰地捋清本节课的研究思路，即按知识发生发展的逻辑顺序恰当地整合教材内容. 整合的原则是削枝强干，突出单元知识结构，突出数学思想方法，突出运算主线，合理呈现教材内容，活用教材.

本节课教学设计中思路1的运算优化是建立在落实新课程理念基础上的单元结构教学的实践和尝试. 针对教材提出的思考，教师用书给出的方法是整体求[x-x02][+y-y02]. 此处思维跨度较大，学生会产生疑问（这种方法是如何想到的？依据是什么？），无法“感同身受”. 这正是引导学生探索点到直线的距离知识本质的契机，教师引导学生结合图形理解[x-x0，][y-y0]. 此处教学内容的细化与完善，充实了学生的思维活动过程，在思维上起到了过渡作用.

2. 关注学生认知结构，善用教材

教学是教师的教和学生的学共同作用的结果，学生是学习的主体，教学需要关注学生的知识结构和知识储备，教师在教学中起主导作用. 囿于编写体例、版页等因素，教材对知识的叙述无法做到细致入微、面面俱到. 这就需要教师在研究《标准》的基础上善用教材，遵循学生认知的客观规律，重视学生对知识的认知和推导过程，遵循知识发生发展的逻辑顺序.

本节课教学设计中思路2的运算优化是建立在学生已有知识结构基础上的，充分考虑到学生的知识起点. 教师应该善于利用教材，整合教材知识. 在空间向量中，学生学习了利用直线的方向向量[u]推导空间中点到直线的距离公式（勾股定理），且在平解析几何中刚学习过直线的方向向量[1，k]，一个自然的想法是：平面内点到直线的距离是否也可以用方向向量推导呢？考虑单元教学知识发展的整体性和逻辑关联性，此处可以引导学生尝试推导. 一方面，“呼应”前面所学知识，突出解析几何的运算主线，发展学生的数学运算素养. 学生在推导过程中发现了新知识产生的起点，完善了知识结构，构建了更加完备的知识网络. 另一方面，此处的推导过程比较复杂，运算量较大，为后面引导学生思考优化运算作好铺垫，使得向量“投影法”的呈现“合乎其理”，知识发生发展的整体逻辑顺序合理自然. 同时，学生会思考为什么没有直接用直线的“法向量”[n]简化空间中点到直线的距离公式的运算推导. 事实上，限于自身的知识储备，學生无法求出空间直线的“法向量”[n]，只能退而求其次用直线的方向向量[u]推导空间中点到直线的距离公式. 这样一来，学生建构了平面、空间中点到直线的距离公式的统一关系，其本质都是“距离”，推导方法一脉相承，学生跨单元完善了“距离”的知识结构，对知识的学习经历了由“知其然”到“知其所以然”的跨越. 由此可见，关注学生的知识结构，挖掘教材、善用教材，举一隅而反三隅，在教学中能起到事半功倍的作用.

3. 围绕教学目标及教学重点和难点，巧用教材

教学活动是围绕教学目标展开的，是为达成教学目标而设计的，教学过程应该能突出教学重点、突破教学难点. 基于上述要求，教师在教学过程中需要巧妙地运用教材，引导学生参与教学活动. 在教学目标的指引下，本节课的教学设计围绕公式推导这一教学重点，综合运用了多种看似无关联的方法推导公式，实则这些方法又紧密统一于优化运算、认识知识本质这一教学难点突破的整体考虑之中.

学生在经历思路1和思路2的推导过程中积累了公式推导的基本经验——结合图形特征进行运算推导，后面笔者巧妙利用教材进一步放手让学生主动参与活动，分组合作交流，主动探究、建构知识. 学生的探究活动有章可循、张弛有度，其探究问题的一般套路是明确的，探究方法可能不同但指向一致，无论是“面积法”还是“斜率法”或者其他方法，都是对教学重点的强调，是突破教学难点的延伸.

参考文献：

［1］章建跃. 利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律：解析几何内容分析与教学思考（之一）［J］. 数学通报，2021，60（7）：7-14.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.