“半成品”式的辅助学习要得吗

胥传翠

摘 要：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。然而“半成品”式的辅助学习却存在着很大的隐患，不利于培养学生认真审题的习惯和画图技能的形成，在教学用画图的策略解决问题单元时，落脚点是感受画图策略的价值，寻求解题思路，着力点则应是培养学生独立构图的能力。

关键词：几何直观；画图策略；单元教学

2011版课标强调要重视直观，处理好直观与抽象的关系。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

纵观小学数学教材，几何直观的渗透和编排，经历了从直观的实物情境图——抽象线段图的认知过程，教学方式由半扶半放逐步向独立构图过渡，这样的编排符合学生从直观到抽象的认知特点。为了让学生体会到画图策略的价值，使学生在解决实际问题的过程中学会画图、借助直观图示分析数量关系，正确解答实际问题，积累解决问题的经验，同时为了六年级用画图的策略解决较复杂的分数实际问题，苏教版在四年级下册系统编排了“用画图的策略解决实际问题”单元。

本单元的两道例题和练一练中提供的“半成品”图形，包括练习八中的部分习题，显示教材在编排时采用的是半扶半放的形式，在实际教学过程中，绝大部分教师沿着教材的思路组织教学，先呈现不完整的图，然后在“你能根据题意把线段图或示意图填写完整吗”的启发下，引导学生把题中的信息和问题补充完整，课堂教学非常顺利，效果比较好，然而在课后的练习中却出现了各种各样的问题。

在这道实际问题中，对于“小春比小宁多12枚，两人一共72枚”，大部分学生不知该如何在图中表示出来，如上面的图①、图②和图③；图④、图⑤、图⑥三幅图虽均能将信息和问题正确地表达出来，但从分析的角度看，图④和图⑤更便于清楚地看出数量关系，确定解题思路。这六幅图清楚地反映了学生原生态的思维状态，可以看出，部分学生还不能正确地用线段图表示信息，即便能正确表示，对于画几条线段和先画哪个量也比较模糊（就和差问题而言，先画哪个数量似乎并不影响学生对问题的分析，但数学教学要瞻前顾后，三年级所学的和倍问题以及六年级将要学习的分数和百分数实际问题，都是先画参照物，即1份的量或单位“1”的量，教学前后统一、相互关照，方能使学生对所学知识的认识逐步深入，故笔者认为此处理应强调先画小宁的邮票枚数）。如果采取教材半扶半放“半成品”式的辅助学习方式，学生的这些问题都将被掩盖，学生对于为什么画两条线段以及先画哪个数量等问题没有深刻的体会和认识，必将为以后独立构图埋下隐患。

问题二：不能根据实际问题的需要，精致表征实际问题的细节。

小建和小西买同样的笔记本，小建买了3本，小西买了5本，小建比小西少花12元。笔记本的单价是每本多少元？（先画出线段图，再解答）（四年级下册练习八第4题）

90%的学生都是图1这样没有问题的不完整的图，并不是他们忘记标出问题，而是他们不知道问题该标在哪里。由此可以看出，学生对于线段图还处于模糊的认识之中，只能大概表示出信息的轮廓，却不能精细乃至精致地表示出实际问题的细节。

问题三：缺乏洞察问题本质的能力，不能根据实际问题构造合适的图。

学生遇到有关长方形或正方形的问题时统一画示意图，如下面两题：

（1）梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？（例2）

（2）一个长方形菜园的周长是56米，长比宽多4米，这个菜园的面积是多少平方米？（《补充习题》）

由于例题是通过长方形的示意图分析数量关系，许多学生受其影响，第（2）题也同样用长方形来描述题意且所画的图中，长比宽多4米的表达不准确的占80%。这两道解决问题的关键都是要求出长方形中未知宽的长度，第（1）题画长方形示意图可以清楚地看出原来的宽=“增加的面积÷增加的长”，而第（2）题其实是和差问题的变式，用线段图更容易清楚地看出求宽的数量关系。

与2001版的实验教科书相比，2013版教材在原来画长方形或正方形表示面积变化的示意图基础上增加了线段图和点子图，且在练习中安排了许多富有变化、新颖的、具有挑战性问题的实际问题，其意图之一是使学生在解决问题的过程中能对实际问题进行甄别，合理选择图形（点子图、线段图、示意图）揭示条件和问题之间的数量关系。但这种“半成品”式的辅助学习却存在着很大的隐患，从学生的错例可以看出，未真正经历思考、辨析，仅仅是在教材的暗示牵引下画图，那么当问题发生变化时，学生就会束手无策，只能简单套用，机械模仿，长此下去不仅不利于学生画图技能的形成，而且更难实现感受画图价值、发展几何直观、提高分析问题和解决问题能力的目标。笔者认为本单元教学的落脚点是感受画图策略的价值，寻求解题思路，着力点则应是培养学生独立构图的能力。

第一，储备是独立构图的认知基础

奥苏伯尔说：“影响学生学习的重要因素是他的先备知识。”三年级倍的认识与和倍问题，学生经历了“直观的实物图——抽象的线段图”的认知过程，特别是和倍问题的学习，学生已经积累了一些画图的经验，如和倍问题中的两个量用两条线段表示，先画一倍的量（参照物），再画几倍的量，每份线段要一样长；短的画短一点，长的画长一点等，这些储备都为学生独立构图提供了认知基础。

第二，经历是合理构图的必经之路

著名数学家陈省身指出：“数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。但是，思考数学问题需要很长的时间。”学生的每一项技能的形成包括画图，都是一个循序渐进、不断提升的过程，都是不断从模糊走向清晰的过程。学生在用画图的策略解决问题结构、数量关系和解题思路等多方面变化的实际问题的过程中，只有经历不断地思考分析、比较优化，充分的体验、感悟，才能逐步积累画图的经验，也才能构造出合适的示意图，进而帮助学生正确理解题意，分析数量之间的联系，形成解题思路。如和差问题例题的教学，学生在独立构图的过程中出现了一条线段、两条线段等合理或不合理、正确或不正确的六种情况，只有在讨论交流中去辨析感悟，学生对“为什么画两条线段是合适的”的认识才能逐步从模糊走向清晰。

第三，合理构图是正确解决问题的关键

画图最直接的目的是利用图形将抽象的数学问题直观地表示出来，进而使条件与问题之间的联系形象、生动地呈现出来，这样才能帮助分析数量关系，正确解决问题，但如果所构的图形不正确或不合理，就很难理清数量之间的关系（如上述例1中的图⑥），甚至会导致错误的理解（如上述例1中的图①、图②、图③）。再如：张宁和王晓星一共有画片86张。王晓星给张宁8张后，两人画片的张数同样多。两人原来各有画片多少张？（四年级下册练习八第10题）如果学生不能准确地将“王晓星给张宁8张后，两人画片的张数同样多”在图中表示出来，就很难正确地解决这道实际问题。

第四，独立构图是学生独特见解的体现

独立构图，最重要的是有利于培养学生的个性解题能力，是学生独特见解的体现。相同的问题，学生因思维发展的个性差异而描述表征的方式会有所不同，如前面提到的“一个长方形菜园的周长是56米，长比宽多4米，这个菜园的面积是多少平方米？”学生可能会用以下不同的方法描述问题：

由于“半成品”式的辅助学习存在着一定的暗示性，学生遇到貌似相同的问题会受其影响，不假思索地画出相类似的图形。只有将认真审题、分析思考、独立构图作为教学的着力点，学生才能从貌似相同的问题中发现其本质的不同，进而富有个性地去解决，出现如图所示的三种不同的情况，尽管所构图形不同，但都是学生真实思维的体现，独立思考的结晶，都可以据此分析出长方形的长和宽的数量关系，从而求出长方形的面积。

《课标》指出：“学生教科书，仅仅是学生可以利用的教学资源之一”，叶圣陶先生也曾说过“教材无非是个例子”，在培养学生理性思维和创新能力的今天，教师必须树立正确的教材观，从学生的认知发展水平和已有的经验出发，把握好用教材教的“度”，培养学生自主学习的能力，从而为学生的终身发展奠基。