依托学习起点，凸显“面积”本质

孙洁

摘 要：数学教学要依托学生的学习起点，在了解学生起点的基础上选择合适的教法，设计有针对性的学法，调动学生的学习主动性。本课时教学让学生经历摸一摸、说一说、涂一涂等数学活动主动构建面积的含义，借助钉子板围一围的数学活动初步体会面积的二维特性，从而为学生的后续学习做好铺垫，并发展学生的空间观念。

关键词：学习起点；面积；二维特性

《面积》是人教版三年级下册《面积和面积单位》单元的起始课，是在学生初步掌握长方形、正方形的特征和长方形、正方形的周长等知识基础上进行学习的，因而教学时学生会遇到学习障碍——周长和面积概念的混淆。这两个概念在学生的脑海中存储的状态是怎么样的？怎样的数学活动能有效地帮助学生消除这一障碍？从周长概念到面积概念，是一维到二维的递升，学生在这个学习活动过程中真正的困扰是什么？

基于上面的这些思考和疑虑，笔者进行了《面积》这一课的教学实践，与团队教师一起对余姚市10所学校的三年级学生进行了相关的教学前测、分析和实践，具体情况如下：

前测方式：“四基”起点测试，采用访谈和笔试两种方式。

前测对象：三年级876位学生。

前测题型及结果：

前测题1：你听说过数学中的“面”吗？在哪里听说过？请举出一个例子说说“面”的意思。

前测题2：你听说过“面积”吗？在哪里听说过？请举出一个例子说说“面积”的意思。

前测题3：比一比

数学书的封面比练习本的封面大，这是在比较两个封面的（ ）。

前测题5：下面图形中，哪些图形有大小？哪些图形没有大小？在你认为有大小的图形的序号上打“√”。

通过对876名学生在前测中呈现的数据进行收集、汇总、计算、比较，确定学生的学习起点如下：

知识起点：92.5%左右的学生对直观的“长短”能清楚辨析，90%左右的学生能理解数学书的封面比练习本的封面大，78%的学生能认识到封闭图形才有大小，表明学生对“面积”的含义有一定的感悟。

经验起点：“面”和“面积”是不同的概念，学生眼里的“面”比“面积”更抽象，22.5%的学生借助物体描述“面”，12.4%的学生描述时涉及图形的“面”，而47.3%的学生能描述“什么是面积”。对“面”的认识大意就是指“一个区域”，即周长是靠在外面的部分，面就是在里面的部分。对于“面积守恒”观念有72.6%的学生具备相关的直观经验，而另一部分学生则需要加强理解。

情感态度起点：在说说你对“面”和“面积”的认识时，学生把与“面”和“面积”相关的知识经验都予以了暴露， 75.6%的学生摸了长方形的面，说明“长方形的面”心理接纳性最强。

教学对策：根据上面的前测结果及学习起点分析，本课时的教学重在调动学生已有的学习经验，设计丰富的数学活动，让学生先经历摸一摸、说一说、涂一涂等操作活动，直观地感悟面积的含义，再借助周长和面积两个概念的甄别，引导学生主动构建完整的面积概念。借助七巧板的拼摆让学生认识到面积的测量本质，巩固学生“面积守恒”的观念。在钉子板中，通过围一围的活动，让学生直观地感受面积的二维性，发展学生的空间观念。

教学实践过程：

一、动手操作，认识物体的“面”

1. 结合物体，认识“平面”。

生活中的许多物体都有“面”，这节课我们先来认识“面” 。

（1）结合手机，用手摸出一个面，找一找手机其他的面。

（2）结合身边的物体，摸一摸它的面。

引导学生找一找、摸一摸、说一说不同物体的“面”在哪里？

课桌面→黑板面→数学书的封面

（3）小结：刚才我们找到的这些面，都是平平的，我们叫作“平面”。

2. 结合物体，认识“曲面”。

（1）这是个圆柱形的茶叶罐，你能找到哪些面？这些面都一样吗？

（2）你还能找到这样弯曲的面吗？

（3）拿出乒乓球，我们一起来摸一摸“曲面”，感受和“平面”有什么不一样。

3. 小结。

生活中许多物体都有“面”，有的面是平面，有的面是曲面。

【设计意图：学生的前测结果显示，学生对“面”的认识是零散的、模糊的、感性的，需要一个体验、抽象、完善的过程。通过找一找、摸一摸、说一说等数学活动，让学生直观地感受什么是“平面”。结合圆柱形和圆球形的实物，让学生初步感受什么是“曲面”，进一步完善学生对“面”的理解，同时为学生认识“面积”做好准备。】

二、结合实例，建立“面积”的概念

1. 比较黑板面和国旗的表面，说说哪一个面比较大？

2. 说一说面积的含义。

黑板表面的大小就是黑板面的面积。（板书）

国旗表面的面积指的是什么？你能像这样说一说吗？

3. 找一个物体的表面，一边摸一摸，一边说一说它的面积。

（1）同桌互说

（2）全班交流

4. 结合字典，进一步理解面积。

（1）找一个和封面面积一样大的面。

（2）比一比，字典的封面和侧面，哪一个面的面积比较小？

【设计意图： 面积概念的建立要遵循直观性原则，对物体面积的描述要做到动作表征与语言表征相结合，即边用手比画边描述该表面的面积，以此增强对面积概念的直观认识。在学生理解“面”的基础上，结合黑板面和国旗表面大小的比较，使学生感知物体的表面有大有小，通过摸一摸、说一说等数学活动揭示面积的概念，使学生初步认识面积。摸字典的活动，使学生认识到不仅物体的上面有面积，下面、侧面也有面积，打破学生对物体的表面就是上面的思维定式。】

5. 感悟平面图形的面积。

（1）结合长方形，理解平面图形的面积。

数学书的封面是一个什么图形？（课件演示抽象出长方形）那这个长方形有没有面积呢？它的面积又是指什么呢？（出示图形）

下面这些长方形的面积大小是否有变化？你是怎么想的？

（2）涂一涂，建立面积的空间观念。

用30厘米长的线围出下面的图形，这些图形都有面积吗？有的请涂黄色表示出它们的面积。

①学生操作。

②全班汇报。

为什么第四个图形大家都没有涂色？你是怎么想的？（这个图形不是封闭图形，我们无法确定它的面积，所以只有封闭图形才有面积。）

③电脑演示，学生手势比画面积。

④小结：封闭图形的大小就是它的面积。

（3）比一比。

①这些图形的周长指的是什么？大家先用红色描一描，再同桌互相说一说。

②正方形的周长和面积有什么不同呢？

周长 线的长度

面积 面的大小

③比画周长和面积

我们结合电脑，一起来指一指图形的周长，摸一摸图形的面积。（课件演示周长和面积）

6. 小结面积的含义。

【设计意图：借助数学书封面是长方形，引导学生理解平面图形的大小就是它的面积。借助长方形的位置不同但面积没有变化的过程，初步培养学生“面积守恒”的观念。借助涂面积的数学活动，使学生直观地感受到“面积”是什么，特别是让学生理解只有“封闭图形”才能表示出面积，进而正确建立面积的概念。借助“周长”与“面积”两个概念的甄别，突出周长是一维测量的结果，是测量封闭图形外面一周得到的长度，纠正学生脑海中“周长是面的外面部分”的一维二维混淆的根源性偏差，面积是二维的面的大小，由此加深学生对周长和面积的维度感悟，从而完整地建立面积的表象。】

三、练习提升，内化“面积”的含义

1. 比一比

（1）下面三个图形，你能比较出它们面积的大小吗？

谁的面积最大？谁的面积最小？你是怎么比较的？

（2）借助格子图测量，利用大小的“块状测量”进行比较。

我们把这三个图形放到格子图中，想一想，每个图形的面积是几个小正方形呢？

【设计意图：对于面积大小的比较，更多的是直观视觉上的判断或是直接比较，如果借助格子图，既能为测量奠基（学生计数表述的过程，就是一个简单的测量过程），又能让学生“一块一块”地数出面积，即从二维的角度用简单的数据来表述面的大小，从而进一步理解面积可测性的含义。】

2. 拼一拼

（1）用七巧板中的3块小图形拼一拼，看看能拼成什么样的图形，和你的同桌交流下。

（2）展示学生拼摆的图形。

（3）汇总交流。

仔细观察这些图形，它们的面积相等吗？你能得出什么结论？

（4）如果你摆的图形去掉一块或者增加一块，图形的面积会怎么变化？

【设计意图：人教版教材添加了“面积守恒”的知识点，借助学生熟悉的七巧板，在玩的过程中让学生直观地感受到图形的形状不同但面积相同，巩固学生“面积守恒”的观念。学生在计数测量的同时，感受到面积作为二维测量的结果是可加可减的，可以“块状”地分割累计，并不仅仅是为了感知面积的大小“不变”，而是在“可加可减”的测量中认识到面积的测量本质。】

3. 围一围

在钉子板上围出一个长方形（出示3×2的长方形）。

（1）这个长方形的面积指的是哪一部分？长方形的面积是多少个格子这么大？

（2）现在要使这个长方形的面积变大，你会怎么办？

（3）学生合作交流。

（4）反馈演示。

（5）小结。

一个长方形的长发生了变化，它的面积也会随之发生变化；宽发生了变化，它的面积也会随之发生变化。

【设计意图：学生后续要学习的直线平面图形的面积计算，都会比较明显地涉及面积的二维特性，那么在初始学习阶段就可以借助操作和直观图象让学生对面积“变化”有更清晰的认识，同时对面积变化的二维特性有更深的理解。因此，安排了上述数学活动，借助彩色皮筋在钉子板上的简易操作，面积从“不变”走向“变化”，结合课件的直观图示，抓住“面积增加在哪里”，让学生认识到“一个维度变化另一个维度不变（长变宽不变）、两个维度变化，增加的都是能确定二维的面”，使学生清楚地认识到面积变化的二维要素。】

四、课堂小结

1. 今天这节课你收获了哪些数学知识？对于面积你们还有什么问题吗？

2. 面积的知识还有很多很多，今后你们会在数学的知识海洋中学到更多的相关知识。

【设计意图：简洁的课堂小结，引导学生回顾课堂，再次感悟面积概念的含义和面积的二维特性，同时激发学生进一步研究面积知识的欲望，为后续学习做好准备。】