应用反例 建构数学高品质课堂

陈 丰

(江苏省北京师范大学淮安学校 223001)

所谓反例法，即使用与原本的知识和概念相反的命题来佐证原命题的正确性.初中数学教师在课堂中巧妙地应用反例法教学，可以帮助学生辩证的看待问题，加深其对数学概念的理解和认识，有助于拓展其视野，同时，在辩证中发展创造性数学思维、提升其逻辑思维能力.笔者根据自己多年的教学经验，从引发属性理解、开阔视野、缜密思维、建立表象、纠正错误、逆向推理等几个方面入手，谈一谈自己在这方面的教学心得.

1 抓取关键信息，理解属性

学生要学好数学知识，真正地理解和掌握数学概念，最重要的是认清和理解好数学概念的本质属性.唯有这样，学生才能真正走进数学内在，感悟数学问题的本质，运用数学知识也才会得心应手.在教材中，数学概念的阐述往往都是正面表述，学生学习过程中很容易错过关键特征而造成认识不清，导致解题时张冠李戴.而在课堂中，教师利用反例法教学数学概念，可以帮助学生抓取概念中的关键信息，真正理解和掌握概念的属性，从而提升数学课堂的学习效率.

比如，在教学《认识三角形》这节内容时，有相当一部分学生对三角形的概念有一定的误解，他们简单地认为三角形是由三条线段构成的，而忽略了其中的两个关键信息“不在同一直线”和“首尾相连”.为了及时矫正学生们的这一片面认知，我设计了几个反面的实例图形：第一个图形是其中有两条线段是交叉连接的，第二个图形是三条平行的线段，第三个图形是三条线段的一端重合在一起，第四个图形是有两条线段的首尾没有连接在一起.我向学生们提出问题“这几个图形是否为三角形？” 学生们很容易看出这几个图形并不是三角形，但是它们也确实是由三条线段构成，从而对三角形的概念有了深刻的认识，明确了“不在同一直线”和“首尾相连”这两个关键信息是缺一不可的.能够捕获关键信息是学生正确解题的重要保证，也是学生综合能力的体现.在数学概念教学中利用反例法教学，不仅可以帮助学生抓住概念中的关键信息，理解属性，提升对概念的理解和记忆，还能帮助学生在正反案例的冲突中，提升思维能力.

2 拓展内涵外延，开阔视野

数学中很多的概念、定理、性质、公式、法则皆有它成立的前提和其适宜使用的局限范围，很多学生正是因为忽视了概念、定理、公式、法则等成立的条件，在运用时才会漏洞百出.如果我们教师在进行这些概念、定理、性质、公式、法则教学时，不细心剖析和指导，学生很容易忽视这些条件限制，导致应用时凌驾于范畴之外，造成严重错误，这不仅会导致学生数学解题效率的下降，更会弱化学生的学习自信.因此，教学中，数学教师可以提供一些供学生判断的反面案例，以拓展内涵外延，开阔学生的视野，加深对数学知识的理解.

3 进行想象发散，缜密思维

学生思维能力的培养是数学教学的重要任务.在数学教学中，教师既要循循善诱地传授给学生数学新知，更要不留痕迹地培养学生的数学思维.初中生由于其尚未建立完善的数学体系，思考问题往往比较片面，不利于数学知识的学习和数学成绩的提高.因此，教学中，为了提升初中生思维的缜密性，可以考虑引导其利用想象来构建反例，指引其考虑反例的各种可能性，以此来锻炼初中生发散性思维，并且提升其思维的严谨性.

比如，在教授《有理数和无理数》这节内容时，为了帮助学生更好地理解有理数和无理数的性质和概念，帮助他们形成缜密的数学思维，我设计了这样一组思考性的数学题目：任意两个无理数，他们的和或者差是否一定是无理数？任意两个无理数乘以或者除以一个无理数的结果是否一定是无理数？任何一个无理数加上或者减去一个有理数，计算结果是否一定是无理数？无理数乘以或者除以一个除零外的有理数，结果是否一定是无理数？这组题目其实就是要引导学生通过自己的想象构建反例，来对题目进行否定，如果能成功找出反例，即该命题不成立，如果穷其所思也找不出一条反例，则该命题成立.其实对于这种题目往往具有一定的竞技性，学生们都想找出一个否定的答案来，因而参与度也很高.显然，通过这种引导学生通过想象和思考构建反例的学习方式，不仅很受学生欢迎，可以很好地提升课堂的活跃度，还可以锻炼初中生全面思考问题的能力，养成科学严谨的学习态度.

4 形成鲜明对比，建立表象

数学中很多知识和概念都是抽象的，这也是制约学生数学学习成绩提升的原因之一.若在数学课堂教学中，教师只是一味地从正面进行阐述，学生很难真正领悟知识的内涵与外延，自然也就难以游刃有余地运用知识.而凭借学生们都能够感知的实物来构造反例，使抽象的概念具体化、形象化，可以给学生呈现鲜明的对比，让其更好地理解和掌握所学的数学知识，从而提升数学课堂的教学效率.

比如，在学习《探索平行线的性质》这一节内容时，为了让学生认识和探索到“两条直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”这一基本真相，我在黑板上画出两条平行的直线被一直线所截，同时又画出几条与之不平行的方向不同的直线作为反面图形案例，让学生对比它们的同位角、内错角和同旁内角.同时我还用多媒体展示了一组图片，泳池中的隔栏、火车的轨道等生活中应用平行线性质的实例，再让他们想象一下若这些不做成平行线会发生什么状况.接着，我让学生们亲自测量，并且通过实例的正反面的鲜明对比，建立表象，他们很快就认识和理解了这一平行线的性质.通过联系实际的正反案例的对比，将抽象的知识形象化、具体化，这样学生很容易在脑海中建立表象，从而更好地理解和掌握数学知识.

5 否定主观谬论，纠正错误

在数学的学习历程中，时常会有学生只凭自己的主观臆想就随意地得出一个不正确的论断，而不自知.为了规避此种错误的频繁发生，帮助学生主动否定自己的主观谬论，及时纠正自己的错误认知，教学中，可以考虑使用反例法，帮助学生发现错误，提高数学思维能力，加深对同类知识的理解和认识，避免同类错误屡次发生.

6 进行探究学习，逆向推理

反例是倾覆错误认识和错误答案最直接且有成效的手段，因此，在实际教学中，数学教师要积极采用反例法，帮助学生进行探究性学习，形成逆向推理思维，更全面地考虑数学问题.

例如，在学习《全等三角形》这一章节内容时，遇到这样一个题目：两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形是全等三角形吗？学生们很容易将之判断为全等三角形，并且自己用笔画出了两个全等的三角形.我并没有马上对他们进行否定，而是假设他们是正确的，然后让他们改变其中一个三角形的边长，再试着看看这两个三角形同样也是三个角对应相等，是否还为全等三角形？学生们很快就发现他们之前的认识是错误的，要确定两个三角形是否为全等三角形除了要考虑角度问题，还要考虑边长的问题，他们之前就是太武断了，没有查找反例，逆向推理进行探究性学习.因此，在数学教学过程中，数学教师要积极引导学生通过反例例证自己的观点和论题，从而提升学生的逆向逻辑思维能力，提高对数学题目判断的准确率，真正实现学生数学学习能力的飞速发展.

总而言之，应用反例来建构初中数学课堂，对初中生思维的发展、对数学知识的理解和把握都具有不可磨灭的作用，也是学生数学能力得以发展的重要渠道.因此，在实际教学中，数学教师应该积极地将这种教学方法运用于数学课堂教学，帮助初中生更全面地考虑数学问题，更深刻地认识和掌握数学知识，提升思维的创造意识和逻辑能力，从而为构建高品质数学课堂奠定基石.