妙用数形结合 让初中生数学解题思路更清晰

黄汉财

(福建省平和第一中学 363700)

在众多解题方法中，数形结合是数学常用的一种解题技巧，能够给数学教学带来很大的推进作用.初中数学知识中存在大量数与形的关系，利用数形结合思想，引导初中生展开对数学问题的解答，构建起问题中数与形的关系，是一个值得研究与探索的课题.本文主要是寻找数形结合思想的应用之法，从对数形结合思想的理解与分析，到解题技巧的应用注意点，再到数形结合的应用方法探索，一路展开课题分析，以做到对数形结合思想的有效探索，从而引导初中生形成良好的数形结合解题意识.

1 数形结合的概念及应用意义

1.1 数形结合概念

数学问题之中大多存在着“数”与“形”的关系，将二者联系起来，突破单方面的思维探究，即是一次数与形的结合.在解题过程中以数促形、以形观数，让整个数学问题能够迎刃而解，这就是数形结合思想.

1.2 数形结合思想应用意义

首先，将数形结合思想应用于数学问题的解答，可以构建起数与形之间的联系，让数学问题不再单单是解答一方面的关系，而是二者的思维融合与探讨，使整个数学问题解答变得有趣味，有层次；其次，数形结合思想也能够让原本复杂的数量关系变得简单，学生不用再去计算大量的数量关系，可以直接观察由题目给出的图形关系，结合具体的数量关系内容，展开问题的规律解答，大大降低了解题的错误率，同时解答的时间也能够大大缩短，有利于数学问题解答质量的整体提升.

2 数形结合解题技巧的应用注意点

2.1 懂得从全局出发

学生要能从全局出发，学会观察由数量之间的关系能构建出一个图形关系，反之出现一个图形关系，可以将其转化为数量关系.教师要引导学生做好数量与图形之间关系的思考与探索，搭建起一条彼此相互联系的桥梁.

2.2 懂得从简思维

运用数形结合思想解题是为了让数学解题变得有逻辑、有技巧、有效率，是将一个数学问题由难到简的过程，因此学生要有一个从简思维，学会从问题中寻找简便的解答方式.

2.3 懂得概念掌握

在解答一些复杂的方程问题时，如果学生没有掌握好方程的概念，或不懂得从方程之中寻找到与之对应的函数关系，就无法将一个数量关系转为图形关系.因此，做好学生对数学概念知识的认识与理解尤为重要，是教师教学的重中之重.

3数形结合解题技巧应用于初中数学问题解答的方法

3.1 数形结合与初中数学函数解题

在数学学习中，多数学生都喜欢用数量关系来解答问题，导致计算时间过长，既耽误解题的时间，也容易产生解题失误.函数问题一直是初中数学的一个重要问题，鼓励学生应用数形结合思想解答函数问题，是一种有效的初中数学解题教学.

学会应用数形结合思想解答初中函数问题，要先从初中数学问题之中获取到函数中的数量关系.再由这些数量关系信息构建起函数的图像，由函数图像去破解问题之中的数量关系，从而将看似复杂的函数问题从简解答.根据数与形构建起来的关系，从一个整体层面去解答函数问题，可以使学生不只去思考一个数字或者一个图形的问题.

下面让我们看一个初中数学函数问题：在平面直角坐标系中，分别过点A(m，0)，B(m+2，0)作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=3/x的关系.请解答如下的问题：

(1)当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离是否相等？

(2)两直线中总有一条与双曲线相交吗？

(3)当﹣2

(4)当两直线与双曲线都有交点时，两交点的最短距离是否为2？

解题分析根据题干中的信息条件，可以构建起数量与图形间的关系.即看到了题目中的坐标信息及双曲线，可以快速地从大脑之中检索出反比例函数的图象绘制方法，思考如何利用这些信息去构建图形，同时，问题中提到的x轴的垂线l1和l2也是用于图象绘制的条件，所以应先去构建一条数与形结合的解题思路，再去展开具体问题的解答.

解题过程可知题中双曲线可以看作是一个反比例函数，画出函数图象，如图1所示：

图1

首先，思考到y轴是反比例函数图象的渐近线，且题中两条垂线之间的距离为2，就会得到一个结论：这两条垂线必有一条与反比例函数图像相交，从而可以得到第二个问题的答案.其次，根据条件，我们可以得到m=1时，l1为x=1，l2为x=3.此时两直线与双曲线的交点分别为M(1，3)，N(3，1)，利用勾股定理可得MO=NO，从而得第一个问题的答案.最后，根据题目给出的条件信息，可以得到当l2和y轴重合时，即m+2=0，此时m=-2，当l1和y轴重合时，即m=0，进而可知第三个问题是正确的.由此证明下去，分别画出双曲线和直线l1、l2有两个交点的三种情况，可得MN>2，故第四个问题的结论是错误的.

解题反思从本问题的解答过程可以看出，数形结合思想的应用会让问题解决变得简单且有效，有利于学生探究出其中的数学规律，有助于提升学生的数学解题效率和质量.

3.2 数形结合与初中数学全等三角形判定

学生要懂得去思考如何在一个复杂几何图形之中，将数量关系寻找出来，要能从问题之中构建图形，再由图形来分析出数量关系，从图形中寻找到解答问题的突破口.

图2

解题分析根据题目中提供的各种信息，可以知道这是一个关于全等三角形判定的几何问题.但若只是直观地去看图形，不会应用其中的数量关系去解答，解题也很困难.因此，教师要引导学生利用全等三角形的判定方法，去构建起以形助数的思路，将图形之中的数量关系写出来，以帮助获得解题思路.

解题反思从解题的过程可以看到图形是存在的，但是学生必须学会利用图形之中的条件信息，去构建起一个数学计算过程，才能有利于推进解题的开展与落实，有利于提升证明的效率和质量.解题过程中，很多学生能看到边的数量信息，却没有真正看到数量与图形之间的关系，不会利用数量与图形的关系进行问题的解答，从而导致解答出来的内容无效或者错误，无法快速获得问题的答案.所以，在反思这道问题的解决过程时，学生要懂得从图形之间的逻辑结构之中探究其中的数量关系，这样才能有效寻求出问题的答案.

3.3 数形结合与初中数学不等式解答

初中数学中的一些不等式问题，也可以利用数形结合思想，将不等式与图形构建起联系，将不等式问题转化为图形关系去解答，这样的解题过程会很有趣，有利于学生寻找到更快、更高效的解题路径.教师可以结合具体的不等式例题，引导学生学会去对照数形，探寻二者间相互渗透的方式，以提升解题的效率.学生要能从不等式概念知识之中寻找数与形的关系，学会利用概念去构建自己的大脑思维.在这个过程中，教师是引导者，要带领学生去探索数与形的关系，体会思考问题的方式.

如下题所示内容：根据图3，使不等式|x-4|+|x-3|

图3

解题分析先分析题中给出的不等式，可以知道|x-4|+|x-3|表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点的距离之和，结合图3可分析出其和的最小值为1，从而即可获得a的取值范围.

解题过程先根据“|x-4|+|x-3|”提示的信息，在数轴上标注对应的点，由x对应的点到与4、3所对应的两点距离之和大于等于1，可知a>1.

解题反思学会利用数轴上的信息，构建起不等式与图形之间的关系，将难度很大的问题转化为简单问题，是数形结合思想在解题中的有效体现.

综上所述，通过巧妙应用数形结合思想，学会将这个思想应用于多种数学问题解答之中，是能够提升解题效率的途径，有助于学生掌握到有效的解题技巧.