函数与方程思想在高中数学解题中的应用

陆云仪

【摘要】函数与方程思想应用于高中数学解题时，最重要的作用在于可以使学生明确函数与方程二者之间的深度联系、相互转化相关的知识.在此基础上，学生能够从统一的角度思考函数与方程，最终形成综合性的问题分析和问题解决能力.在这个过程中，教师需要注意：①函数概念对应的范畴是“透明与不透明”，根据题设条件完成函数表达式（关系式）的建立即可;②方程可以被视为一种特殊情况下的函数，是指某些处于未知状态的变量关系已经在一定程度上得到了明确，足以支撑建立多个未知量之间的等价关系.在解题过程中具体应用函数与方程思想时，应避免陷入“恒等”境地.只有当学生能够深度理解函数与方程，才会提高解决数学问题的效率和正确率.

【关键词】高中数学;函数思维;方程思维

1 引言

函数思想是指以“运动变化”有关的观点、方法，针对数学问题内的数量关系完成函数的构建，之后运用相关知识解决其中的问题.

从某种程度上来看，方程思想可以被理解成函数思想的一部分——函数是指通过函数表达式展现某些变量之间的关系、趋势，而方程则是根据某些变量之间的相等、不等关系建立方程或方程组，根据题设条件、方程性质，通过转化问题等方式，最终求解出正确答案.

实际上，函数与方程思想与数学建模、数形结合等解题思维有异曲同工之妙，教师应教导学生善加应用，以达到提高解题效率和正确率的目的.

2 函数与方程思想应用于高中数学解题过程中的内涵分析

在高中数学教学中，函数与方程是非常重要的知识，相关内容及由此形成的解题思想在多个部分的教学中均有所渗透，故长期以来都是高考的热点和重点内容.函数关系的建立是指用“运动变化”的观点，对题设条件中某些变量相互之间的数量关系的变化趋势进行表示.

比如最基本的一元一次函数y=2x中存在两个变量，x为自变量，y为因变量，2是系数，表明y随着x的变化而变化，且y的具体值在非零点状态下永远是x的2倍.随着函数表达式的复杂程度提高，y逐渐被f（x）替代，这种“变量表示”方面直接发生的变化实际上便是函数思想的深度开发实现了升级——希望锻炼学生的思维，使学生不必执着于传统x、y的思维定式，而是以更加宽广的思维视域对函数解题过程进行深入了解，并逐渐形成函数思维.

笔者在高中数学教学中发现，很多学生经常受函数与方程的“定义”困扰.具体而言，如果以x、y表示函数关系，则学生很容易便会理解;而以f（x）与x表示函数关系，则很多学生便会感到困惑.笔者认为，造成上述现象的原因在于，在基础定义方面，部分高中数学教师予以忽略，并没有向学生讲清“升级变化”的关系.相关理解如下：传统变量关系之中，所谓的“因变量y”根据“自变量x”的变化而变化.明确此点之后可得出一个结论——y与x有关.基于此，y便会被改写成f（x），意为“与x取值有直接关系的变量”.这实际上揭示了一个高中数学现实教学困境——部分学生缺乏解题思维的根本原因在于学生对一些基础知识究竟如何演化、升级转变的过程无法有效理解，造成的结果是：教师以及一些基础扎实、思维敏捷的学生认为很简单的知识内容，对一些基础较差、思维相对迟缓的学生来说便是难以理解的内容.如果对此类基础认知问题予以忽视，则很多学生便无法跟上教师的思维，导致成绩越来越差，遑论形成函数思维.

在函数思维的基础上，高中数学教师还应通过开设专题课程，将函数与方程二者之间的深度联系、相互转化相关的知识教授给学生，使学生能够从统一的角度思考函数与方程，最终形成综合性的解题思维.

高中数学教师需要帮助学生理清、总结的关键点在于：①函数概念对应的范畴是“透明与不透明”，根据题设条件完成函数表达式（关系式）的建立之后，便可以在“只知道需要实现的功能”的情况下，随时完成“对函数的调用”.这个过程无需清楚具体的映射关系（若要解决这个映射关系，本身便是函数内部需要做的）.②方程与函数不同，可以被视为一种特殊情况下的函数，是指某些处于未知状态的变量关系已经在一定程度上得到了明确，足以支撑建立多个未知量之间的等价关系.在此基础上，可以通过合并或消除同类项的方式，对等价关系进行进一步计算、合理推断，最终找到未知量的具体值.但在分析题设条件、构建方程组的过程中，教师还应注重一个问题——设立方程组时，应避免出现恒等（即通过合并同类项、消除某个项之后无法形成未知量等于具体数值的情况，而是出现“x=x”的情况），否则便是做无用功.

3 函数与方程思想在高中数学解题过程中的具体应用

3.1 函数与方程思想在解决高中数学数列问题中的应用

数列是高中数学的重点知识，也是高考必考项目.最常见的考点为求等差、等比数列的通项公式、确定某个具体值等.进入高三年级之后，针对数列的求解问题在难度方面会大幅度提升，考查的内容不再是基本的数列知识，而是可能将基础数列知识隐藏在题设条件中，且无论具体求解什么内容，数列相关问题的解题过程均会与函数与方程思想高度契合（主要是函数思想）.基于此，在解决数列问题时，教师应该教导学生充分利用与函数相关的知识，以“性质”作为纽带，在函数与数列之间成功架设桥梁，揭示二者之间的内在关联，最终达到快速求解问题的目的.

例1  等差数列{an}的前n项之和表示为Sn，等差数列的公差d<0，如果存在正整数m（m≥3），能够令am=Sm，n>m（n∈N+），那么当n>m（n∈N+）时，下列关系中成立的一项是：

（A）Sn>an.  （B）Sn≥an.

（C）Sn

這道问题看似是等差数列问题，但实际上是考查学生的数形结合能力，如果学生应用函数与方程思想，通过画图、构建函数的方式将Sn、an对应的函数图象一一列出，则此题便会迎刃而解.

具体而言：①通过题设条件——等差数列的公差d<0，故数列{an}与前n项之和{Sn}对应的函数图象的表达式分别为：y=dx+（a1-d）、y=d2x2+（a1-d2）x.前者为直线，后者为抛物线，结合a1=S1（这是一个题目中没有提及但却属于常识的隐藏性条件——“第一个项”与“第一项之和”是一个概念，很多高中学生在解题过程中常常对这类代表性的隐藏条件予以忽视，最终导致的结果便是无法对这类隐藏条件进行灵活运用，造成解题过程进展至一定程度时便无法继续）、am=Sm这两个条件，经过代入转化之后，便会形成两个等式方程（如上文所述，这两个方程、代入转化的过程实际上都可以省略，进行此种描述是为了让读者能够更加清晰地理解函数与方程思想在此道等差数列相关问题中的具体应用）.

根據二元直角坐标系中呈现出的直线与抛物线之间的交结情况，可以得出一个结论——两个函数有两个交点，分别为交点1（1，a1）和交点2（m，am）.按照图象从左向右的方向，可以得出如下结论：第一，在第一个交点之前，两个函数没有交集，直线的取值均在抛物线之上;第二，第一个交点以及第二个交点之间（两个交点意味着两个函数在两个交点对应坐标处的取值完全相同），抛物线的取值均在直线之上;第三，第二个交点之后，抛物线的取值便在直线之下.由于抛物线对应Sn，直线对应an，故在n>m的情况下，Sn必定小于an，故本题答案为C.

3.2 函数与方程思想在高中数学等式、不等式方程相关问题中的应用

前文提到，函数与方程思想在高中数学多种类问题中均得到了渗透，多种形式的数学（包括物理学科涉及的距离类问题）问题均可以基于函数与方程思想，通过灵活设置函数、构建方程组，最终完成问题的求解.需要注意，这种函数与方程（组）的设置除了等式之外，对于不等式也同样适用.

例2 已知有两个城市A、B，二者之间的距离总长度为150km.一辆汽车行驶完150km所需的时间为一个半小时.现在这辆汽车与另一辆高速列车分别在A、B两个车站同时发车并相向运行.高速列车初始行车速度为0，以3m/s2的加速度进行匀加速运动，求解两辆车在途中相遇时，距离发车时刻的总行驶时间.

这道问题的解题思路为：题设条件中虽然并没有给出汽车的行驶方式，但可基于“一辆汽车行驶完150km所需的时间为一个半小时”这一条件，首先求解出该汽车的平均时速，即为150km÷1.5h=100km/h.根据高中物理学知识可知，高速列车在初始速度为0的情况下，按秒计算的即时行车速度为V=V0+at（a=3m/s2）.如果设定两车相遇的时间为x，则可以构建出的函数方程为y=150×1000-100×100060×60x-（v0x+32x2）=150000-2509x-（v0x+32x2）.在上述函数方程中，y表示两辆车在行驶过程中的距离.代入V0=0这一条件之后，原函数方程便会在一定程度上得到简化，最终获得y=-32x2-2509x+150000.

至此阶段，该题目便转化成了一道“条件判定题”——只需判断“是否存在满足

Δ=b2-4ac=25092+4×32×150000，-32x2-2509x+150000

>0”的“距离的具体解”，便可以明确这道问题是否存在真实解.经过整合之后，得出判定值=1002+3600，这个值必定>0，故原题有解.实际上，按照例1的解题思维，教师可以引导学生将y=-32x2-2509x+150000.画成一条抛物线，根据图象变化趋势，便可以确定最终值.

通过对上述几道问题进行分析后可知，应用函数与方程思想实际上应用了以下两个更加具体的思维模式：其一，数形结合思想.在题设条件较为复杂，无法直接计算时，可通过数与形的相互转化，使相互之间的关系一目了然.其二，逻辑思维能力.题目中给出的条件存在另一种理解方式，而通过函数与方程思想便可实现对另一种理解方式的转化，可使解题过程的难度降低.

4 结语

在解决高中数学问题时，基于函数与方程思想对题设条件中给出的已知量、未知量之间的关系进行全面分析，之后完成函数以及方程（组）的设置.如此一来，题设条件相互之间的转化规律便已明确，会对最终求解出正确答案产生意想不到的效果.但教师在培养学生形成函数与方程思想的过程中，首先需要帮助学生理清函数与方程的区别，特别是基础函数与复杂函数表达式之间的演化升级关系.如果学生对基础知识缺乏足够的了解，便无法有效形成函数与方程思想，这对学生未来的成长尤为不利.

参考文献：

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[4]郭国山.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化（自主招生），2020，（01）：10.