基于数学课程标准下初高中函数的衔接问题

赵越

【摘要】数学核心素养是当代每个人都应该具备的基本素养.在初高中的学习中，数学知识存在一定的关联性.在初中阶段，基于学生身心发展的特点，对于“函数”这样具有抽象性的名词，学生会感到陌生与不适，此时需要教师给予专业的指导与评价;在高中阶段，会进一步加深对函数的学习，引申出其他的基本初等函数的概念、图象以及性质.本文将从函数的知识关联性领域，学生如何能更好地接受函数的领域和教师如何讲授函数的领域进行剖析，希望能为初高中（函数部分）衔接过程中存在问题的学生提供一些帮助.

【关键词】初中数学;高中数学;函数

1 数学课程标准对函数的要求

1.1 《义务教育数学课程标准（2011年版）》对函数的要求

函数是初中数学重要的组成部分，它具有一定的抽象性.《义务教育数学课程标准（2011年版）》对函数部分的要求是[1]：

（1）探索实际生活案例中的变化规律以及数量关系，了解常量（在某一变化过程中，取值固定不变的量）和变量（在某一变化过程中，可以取不同数值的量）的概念;

（2）了解函数的概念（函数、自变量、因变量）和三种表示方法（图象法、列表法、解析式法），可以列举出函数的具体实例;

（3）能结合实例判断出函数自变量x变化的范围;

（4）在不同的实际案例中，可以应用不同的表示函数的方法去表达.

1.2 《普通数学课程标准（2017年版2020年修订）》对函数的要求

函数是贯穿高中数学的主线.《普通数学课程标准（2017年版2020年修订）》对函数的要求是[2]：

（1）在初中学习函数概念的基础之上，能利用集合的知识刻画函数的定义，了解集合与函数之间的关系;

（2）理解函数的三要素（定义域、值域、对应关系），以及在实际案例中能求得相应的结果;

（3）了解分段函数的概念，并能做简单的应用;

（4）掌握函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性）的概念及其几何意义.

综合初中和高中数学课程标准对函数的要求，说明函数的知识十分重要.学生掌握函数的相关概念对提升数学核心素养以及在实际生活方面有很大的益处.

2 初高中函数概念的衔接问题及解决办法

2.1 初高中阶段函数概念

（1）初中阶段函数的概念：在某一变化过程中，存在两个变量，例如x和y，对于任意的一个变量x，都有唯一确定的y值与之相對应，此时称y是x的函数.其中，x叫做自变量，y叫做因变量.

（2）高中阶段函数的概念：设集合A、集合B是两个非空的数集，对于集合A中的任意一个变量x，通过一定的对应关系f作用后，在集合B中都有唯一确定的fx值与之相对应，此时称f：A→B为从集合A到集合B的一种函数关系[3].

2.2 初高中函数概念的衔接问题

对于学生而言：（1）在初中学习函数时，对概念性的定义理解不深刻，记忆模糊甚至是遗忘;（2）在高中初学函数时，由于结合集合的相关概念来刻画函数的概念，如果对于集合的知识掌握不好，会导致对函数概念的理解出现问题;（3）出现新的符号fx，与初中学习的y的概念混淆.

对于教师而言：（1）初中教师讲授函数的概念时，没有适当引入与高中相关的知识;（2）高中教师讲授函数的概念时，没有导入复习初中函数的概念;（3）高中教师对函数的概念理解不深刻，对于概念性的定义一带而过，没有注重知识的关联性.

2.3 针对初高中函数概念的衔接问题提出相应的解决办法

（1）学生应深刻理解函数的概念，注意初高中对函数概念的异同点;

（2）初中教师在讲授函数的概念时，要适当拓展高中知识，告知学生们学习函数的重要性;

（3）高中教师在讲授函数的概念时，要结合初中函数的概念和集合的相关知识，让学生们独立总结函数概念;

（4）教师可指导学生总结出函数概念中的精华：“x任意，y唯一”，即对于任意的一个x值，都有唯一的一个y值与之相对应.

3 初高中函数性质的衔接问题及解决办法

3.1 初高中阶段函数性质

（1）初中阶段函数的性质：学生主要学习一次函数、反比例函数以及二次函数.在探究以上三类函数的性质时，会涉及在某个范围内，图象呈上升（下降）趋势，y随x的增大而增大（减小）;以正比例函数y=kx其中k是常数，k≠0为例，其图象是一条过原点的直线，同时该直线关于原点对称;以二次函数y=ax2其中a是常数，a≠0为例，其图象是以（0，0）点为顶点的一条抛物线，同时该抛物线关于y轴对称.

（2）高中阶段函数的性质：学生主要学习的函数有幂函数、指数函数、对数函数、三角函数（正弦函数，余弦函数，正切函数）.在探究以上函数的性质时，一般从函数的定义域（x变化的范围）、值域（y变化的范围）、单调性、奇偶性、定点等方面着手.

3.2 初高中函数性质的衔接问题

对于学生而言：（1）在高中学习函数的图象和性质后，没有建立完整函数的体系;（2）函数性质相对来说比较多，学生记忆出现混乱;（3）虽然已经掌握函数的性质，但没有应用的能力.

对于教师而言：（1）初中教师讲授函数性质时，没有指导学生归纳总结特定函数的特定性质;（2）初中教师讲授函数性质时，没有拓展延伸高中相关知识;（3）高中教师讲授函数性质时，没有注重与初中函数性质的对比.

3.3 针对初高中函数性质的衔接问题提出相应的解决办法

（1）学生们在学习每一个函数的性质后，都应记忆清楚，以免出现倒摄抑制;

（2）初中教师在讲授反比例函数增减区间时，要注意“在每个象限内”的引导;

（3）高中教师在讲授幂函数的性质时，应带领学生们复习初中所学正比例函数、反比例函数、二次函数的图象与性质;

（4）高中教师在讲授函数性质时，可适当编口诀，以便学生理解和记忆.例如，在讲解函数单调性时：在区间a，b，当x1fx2，则称函数在a，b为单调递减函数;此时可总结为“同增异减”[4].

4 初高中函数与其他知识点的关联问题

4.1 初高中函数与方程、不等式的关联问题

4.1.1 初高中函数与方程的关系

以一次函数与二元一次方程（组）为例：一次函数经过变换可变为二元一次方程.一次函数的图象是由无数个点组成的直线，对于二元一次方程而言，会出现无数组解.由此可知一次函数图象上的点与二元一次方程的解是一一对应的[5];同理可得出结论，二元一次方程组的解是两个一次函数交点的横纵坐标值.类比归纳，对于两个不同的函数求交点坐标时，只需将两函数联立解方程组即可.

4.1.2 初高中函数与不等式的关系

以一次函数y=kx+b其中k，b是常数，k≠0与反比例函数y=kx其中k是常数，k≠0为例：求出kx+b>kx的解集？实则可以转化为一次函数图象在上、反比例函数图象在下的问题.类比归纳，对于两个不同函数求不等式问题时，只需画出函数图象，数值大的图象在上、数值小的图象在下，求得结果时应注意看x的变化范围.

以二次函数为例：求二次函数与x轴的交点个数问题，可转化为一元二次方程根的判别式问题.对于一元二次方程而言，根的判别式

Δ=b2-4ac>0，=0，<0，有两个不相等的实数根有两个相等的实数根 没有实数根，

转化为二次函数与x轴的交点个数也可用公式b2-4ac>0，=0，<0，与x轴两个交点与x轴一个交点与x轴没有交点.

由此引申至高中所学函数零点问题：函数的零点函数与x轴交点的横坐标值一元二次方程的实数根.

4.2 初中锐角三角函数与高中三角函数的关联问题

在初中解直角三角形一章包含了锐角三角函数的内容，根据学生心理发展规律以及认知特点，初中在进行教学时，讲解了锐角（30°，45°，60°）的正弦值、余弦值、正切值.在高中讲解三角函数时，加大了涉及的广度、难度以及深度.在高中的教材中，将三角函数独立成章，足见其重要性.

4.3 在学习函数与其他知识点关联问题时，应注意的几个方面

（1）学生在学习函数知识后，可以多关注身边的实例，将其转化为数学中函数的知识，利用已有的数学知识进行分析求解;

（2）函数知识的学习，是锻炼学生的数学抽象思维.因此，初中教师在进行锐角三角函数的学习时，应当适当告知学生，锐角三角函数的学习是为高中三角函数的学习做铺垫;

（3）初中教师在讲完初中课程后，可及时归纳函数、方程以及不等式之间的关系;

（4）高中教师在讲解三角函数时，注意与初中知识的关联性，由浅入深、循序渐进;

（5）教师在讲解函数知识时，关注学生的身心素质和思維，要适应新课程标准和教材，把握函数的衔接性，以及函数的应用性[6];

（6）教师应引导学生从多方面认识函数[7]，通过函数的教学渗透相关的数学史以及数学思想.

5 结语

函数是一种“工具”，函数是一种“操作程序”，函数更是培养数学抽象思维的一种“方法”.对于函数的学习，从初中过渡到高中，应将数学核心素养贯穿教学活动当中，教师应当重视函数部分的内容和方法的衔接，帮助学生构建数学知识体系，掌握函数的学习方法[8].

本文首先从课程标准对函数学习的要求入手，强调函数学习的重要性;其次，分析初高中对函数概念的异同点，为初高中函数概念的衔接提供了解决办法;再次，辨析初高中的函数性质，为初高中函数性质的衔接提供了解决办法;最后，梳理函数与其他知识点的关联问题，并给出建议.初高中数学函数的衔接问题一定不止于此，以期其他学者、一线教师或其他科研人员补充总结.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011年版.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017版2020修订.

[3]管朕凤.浅谈初高中函数教学“脱节”及教学建议[J].科教文汇（上旬刊），2018（03）;117-118.

[4]邓勤.新课程背景下初高中数学教学的有效衔接-从函数概念的教学谈起[J].数学通报.2011，50（02）33-35.

[5]孙枫，许成文.做好初高中函数教学的过渡[J].北京教育学院学报（自然科学版），2012，7（04）：50-53.

[6]王红玮，何延治.初高中函数模块教学衔接问题[J].林区教学，2015（01）：70-72.

[7]李媛媛，徐海娟.基于新课标下的初高中数学衔接教学分析[C]//.2021年课堂教学教育改革专题研讨会论文集.[出版者不详]，2021：895-896.

[8]张晶晶.核心素养下初高中数学过渡难问题的解决策略[J].科技风，2020（07）：89.