一、单项选择题
1.“0<θ<π3”是“0 (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件. 2.已知z=2i1-i-1+2i,则复数z在复平面内对应的点位于() (A)第一象限.(B)第二象限. (C)第三象限.(D)第四象限. 3.设a,b为非零向量,λ,μ∈R,则下列命题为真命题的是() (A)若a·(a-b)=0,则a=b. (B)若b=λa,则|a|+|b|=|a+b|. (C)若λa+μb=0,则λ=μ=0. (D)若|a|>|b|,则(a+b)·(a-b)>0. 4.已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)=() (A)-5.(B)-6.(C)5.(D)6. 5.如图1,抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与C相交于A,B两点,l与y轴相交于E点.图1 已知|AF|=7,|BF|=3,记△AEF的面积为S1,△BEF的面积为S2,则() (A)S1=2S2. (B)2S1=3S2. (C)S1=3S2. (D)3S1=4S2. 6.已知3tan20°+λcos70°=3,则λ的值为() (A)3.(B)23.(C)33.(D)43. 7.如图2,已知四棱柱ABCD|A1B1C1D1的底面为平行四边形,E,F,G分别为棱AA1,CC1,C1D1的中点,则() (A)直线BC1与平面EFG平行,直线BD1與平面EFG相交.图2 (B)直线BC1与平面EFG相交,直线BD1与平面EFG平行. (C)直线BC1,BD1都与平面EFG平行. (D)直线BC1,BD1都与平面EFG相交. 8.设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b (A)ab>e.(B)b>ea+1. (C)ab 二、多项选择题 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图3所示,则() 图3 (A)f(x)的最小正周期为π. (B)fx+π6为偶函数. (C)f(x)在区间0,π4内的最小值为1. (D)f(x)的图象关于直线x=-2π3对称. 10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛(独唱、独奏、独舞),由于疫情防控原因,比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分,全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分,比赛评分采取10分制.某选手比赛后,现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分,得到7个有效评分如下表. 教师评委ABCDEFG有效评分9.69.19.48.99.29.39.5 对学生网络评分按[7,8),[8,9),[9,10]分成三组,其频率分布直方图如图4所示. 则下列说法正确的是() (A)现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同. (B)估计全校有1200名学生的网络评分在区间[8,9)内.图4 (C)在去掉最高分和最低分之前,9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7. (D)从学生观众中随机抽取10人,用频率估计概率,X表示评分不小于9分的人数,则E(X)=5. 11.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C的右支上,且不与C的顶点重合,则下列命题中正确的是() (A)若a=3,b=2,则C的两条渐近线的方程是y=±32x. (B)若点P的坐标为(2,42),则C的离心率大于3. (C)若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积等于b2. (D)若C为等轴双曲线,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=35. 12.在矩形ABCD中,AB=2,AD=23,沿对角线AC将矩形折成一个大小为θ的二面角B|AC|D,若cosθ=13,则() (A)四面体ABCD外接球的表面积为16π. (B)点B与点D之间的距离为23. (C)四面体ABCD的体积为423. (D)异面直线AC与BD所成的角为45°. 三、填空题 13.设函数f(x)=ex-1+x3的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则直线l在y轴上的截距为. 14.已知x-2xn的展开式中第3项为常数项,则这个展开式中各项系数的绝对值之和为. 15.数列{an}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,称为斐波那契数列,该数列是由十三世纪意大利数学家茉昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.在数学上,斐波那契数列可表述为a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*).设该数列的前n项和为Sn,记a2023=m,则S2021=.(用m表示) 16.在平面直角坐标系中,若正方形的四条边所在的直线分别经过点A(1,0),B(2,0),C(4,0),D(8,0),则这个正方形的面积可能为或. 四、解答题 17.已知函数 f(x)=3sinx2cosx2-cos2x2+12. (1)设g(x)=f(-x),求函数g(x)的单调递减区间; (2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为BC边的中点,若f(A)=12,a=3,求线段AD的长的取值范围. 18.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,S3=5a1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=1+2Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,定义[x]为不超过x的最大整数,例如[0.3]=0,[1.5]=1.当[T1]+[T2]+…+[Tn]=63时,求n的值. 19.如图5,四棱锥P|ABCD的底面是正方体,平面PAB⊥平面ABCD,PB=AB,图5E为BC的中点. (1)若∠PBA=60°,证明:AE⊥PD; (2)求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围. 20.设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆C:(x-2m)2+(y-4m)2-1(m≠0),点F1,F2分别为E的左、右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l.已知E的离心率为12,点F1,F2关于直线l的对称点都在圆C上. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问:是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23?若存在,求实数m的值;若不存在,说明理由. 21.元旦将至,学校文学社拟举办“品诗词雅韵,看俊采星驰”的古诗词挑战赛.初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛为“信息连线”题,每位参赛者只有一次挑戰机会.比赛规则为:电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景(如诗词题名、诗词作者等),要求参赛者将它们一一配对,有三对或三对以上配对正确即可晋级.团体对决赛为“诗词问答”题,为了比赛的广泛性,要求以班级为单位,各班级团队的参赛人数不少于30人,且参赛人数为偶数.为了避免答题先后的干扰,当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后,电脑会依次显示各人的答题是否正确,并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功.参赛方式有如下两种,各班可自主选择其中之一参赛. 方式一:将班级团队选派的2n个人平均分成n组,每组2人.电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题,两人同时独立答题,若这两个人中至少有一人回答正确,则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功,则该班级团队挑战成功. 方式二:将班级团队选派的2n个人平均分成2组,每组n人.电脑随机分配给同一组n个人一道相同试题,各人同时独立答题,若这n个人都回答正确,则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闯关成功,则该班级团队挑战成功. (1)甲同学参加个人晋级赛,他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对,其余四组都只能随机配对,求甲同学能晋级的概率; (2)在团体对决赛中,假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p(0 22.已知函数f(x)=alnx-sinx+x,其中a为非零常数. (1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)设θ∈π,3π2,且cosθ=1+θsinθ,证明:当θ2sinθ 参考答案 题号123456789答案ABDCCDABAC题号10111213141516答案ABDBCACD-2729m-11617或365或19653 17.(1)由已知 f(x)=32sinx-122cos2x2-1 =32sinx-12cosx=sinx-π6, 则g(x)=f(-x)=sin-x-π6 =-sinx+π6, 所以当g(x)单调递减时,函数y=sinx+π6单调递增. 令-π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ,k∈Z, 得-2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z, 所以函数g(x)的单调递减区间是 -2π3+2kπ,π3+2kπ,k∈Z. (2)因为 f(A)=sinA-π6=12,A∈(0,π), 则A=π3. 又a=3, 由余弦定理得3=b2+c2-bc, 即b2+c2=bc+3. 因为D为BC的中点, 则AD2=14(AB+AC)2 =14(b2+c2+bc) =14(2bc+3). 因为b2+c2≥2bc, 则bc+3≥2bc, 即0 所以34<|AD|2≤94, 即32<|AD|≤32, 所以线段AD的长的取值范围是32,32. 18.(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a1=3, 所以S3=3a1+3d=9+3d. 因为S3=5a1=15, 所以9+3d=15,d=2, 故an=3+2(n-1)=2n+1. (2)因為Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n, 则bn=1+2Sn=1+2n(n+2)=1+1n-1n+2, 所以Tn =n+1-13+12-14+13-15+…+ 1n-1-1n+1+1n-1n+2 =n+1+12-1n-1n+2. 当n≤2时,-13≤12-1n+1-1n+2<0, 则[Tn]=n. 当n≥3时,0<12-1n+1-1n+2<12, 则[Tn]=n+1, 因为[T1]+[T2]+…+[Tn]=63, 则1+2+4+5+…+(n+1)=63, 即3+(n-2)(4+n+1)2=63, n2+3n-130=0, 解得n=10. 19.(1)平面PAB⊥平面ABCD,AD⊥AB, 则AD⊥平面PAB,AD⊥AP, 从而AB·AD=0,AP·AD=0. 又PB=AB,∠PBA=60°, 所以△PAB为正三角形. 设AB=2,则AD=AP=2, 所以〓AE·PD=(AB+BE)·(AD-AP) =AB+12AD·(AD-AP) =12AD2-AB·AP =2-4cos60°=0, 所以AE⊥PD. (2)如图6,分别取PA,PD的中点G,H, 图6 则GH瘙綊12AD. 又BE瘙綊12AD, 则GH瘙綊BE, 所以四边形BGHE为平行四边形, 从而EH∥BG. 因为PB=AB,BG⊥PA, 平面PAB⊥平面ABCD,AD⊥AB, 则AD⊥平面PAB,AD⊥BG, 所以BG⊥平面PAD, 从而EH⊥平面PAD. 连接AH,则 ∠EAH为直线AE与平面PAD所成的角. 设正方形ABCD的边长为1, PA=x(0 则BE=GH=12,AG=x2, 从而AE=AB2+BE2=52, AH=AG2+GH2=x2+12. 在Rt△AHE中, cos∠EAH=AHAE=x2+15. 当0 则cos∠EAH∈55,1, 所以直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围是55,1. 20.(1)由已知e=ca=12,则a=2c. 设点F1,F2关于直线l的对称点分别为M,N, 因为点O,C关于直线l对称, O为线段F1F2的中点, 则C为线段MN的中点, 从而线段MN为圆C的一条直径, 所以|F1F2|=|MN|=2,即2c=2,c=1. 于是a=2,b2=a2-c2=3, 所以椭圆E的方程是x24+y23=1. (2)因为原点O为线段F1F2的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线, 所以点O与C也关于直线l对称. 因为点C(2m,4m),则线段OC的中点为(m,2m),直线OC的斜率为2, 又直线l为线段OC的垂直平分线, 所以直线l的方程为y-2m=-12(x-m), 即y=-12x+5m2. 将y=-12x+5m2代入x24+y23=1,得 3x2+4-x2+5m22=12, 即4x2-10mx+25m2-12=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=5m2,x1x2=25m2-124, 所以kAC+kBC=y1-4mx1-2m+y2-4mx2-2m =-12x1+3mx1-2m+x2+3mx2-2m =-(x1+3m)(x2-2m)+(x2+3m)(x1-2m)2(x1-2m)(x2-2m) =-2x1x2+m(x1+x2)-12m22x1x2-4m(x1+x2)+8m2. 由kAC+kBC=23, 得2x1x2+m(x1+x2)-12m22x1x2-4m(x1+x2)+8m2+23=0, 2x1x2-m(x1+x2)-4m2=0, 所以25m2-122-5m22-4m2=0, 解得m=±1, 因为直线l与椭圆E相交,则 Δ=100m2-16(25m2-12)>0, 解得m2<1625,|m|<45, 所以不存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23. 21.(1)设甲同学正确配对3对为事件A,正确配对5对为事件B,甲同学能晋级为事件C, 则C=A+B,且A,B互斥. 因为甲同学只有一组能正确配对,其余四组都随机配对, 则P(A)=C24A44=14,P(B)=1A44=124, 从而P(C)=P(A)+P(B)=14+124=724, 所以甲同学能晋级的概率为724. (2)设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P1,P2. 当选择方式一时, 因为两人都回答错误的概率为(1-p)2, 则两人中至少有一人回答正确的概率为 1-(1-p)2, 所以P1=[1-(1-p)2]n=pn(2-p)n. 当选择方式二时,因为一个小组闯关成功的概率为pn,则一个小组闯关不成功的概率为1-pn, 所以P2=1-(1-pn)2=pn(2-pn), 所以P1-P2=pn(2-p)n-pn(2-pn) =pn[(2-p)n+pn-2]. 设f(n)=(2-p)n+pn-2, 則f(n+1)-f(n) =(2-p)n+1+pn+1-(2-p)n-pn =(2-p)n(1-p)+pn(p-1) =(1-p)[(2-p)n-pn]. 因为0 则1-p>0,2-p>1, 从而(2-p)n>1,pn<1, 所以f(n+1)-f(n)>0, 即f(n+1)>f(n), 所以f(n)单调递增. 因为f(2)=(2-p)2+p2-2=2p2-4p+2 =2(p-1)2>0, 则当n≥15时,f(n)>0, 从而P1-P2>0,即P1>P2, 所以为使本班挑战成功的可能性更大,应选择方式一参赛. 22.(1)f′(x)=ax-cosx+1(x>0). 若a>0,因为x>0,1-cosx≥0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合要求. 若a<0,则当x∈0,-a2时,ax<-2, 从而f′(x)<-2-cosx+1=-(1+cosx)≤0, 所以f(x)在0,-a2上单调递减,不符合要求. 综上知,a的取值范围是(0,+∞). (2)令f′(x)=0, 则ax-cosx+1=0, 即a=xcosx-x. 设g(x)=xcosx-x, 则g′(x)=cosx-xsinx-1. ①当x∈(0,π)时,cosx<1,sinx>0, 则cosx-1<0,-xsinx<0, 从而g′(x)<0,g(x)单调递减. ②当x∈π,3π2时, g″(x)=-sinx-(sinx+xcosx) =-(2sinx+xcosx). 因为sinx<0,cosx<0, 则g″(x)>0,g′(x)单调递增, 因为g′(π)=-2<0, g′3π2=3π2-1>0, 则g′(x)在π,3π2上有唯一零点,记为x0, 且当x∈(π,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈x0,3π2时,g′(x)>0,g(x)单调递增. ③当x∈3π2,2π时, g(x)=-(2cosx+cosx-xsinx) =xsinx-3cosx. 因为sinx<0,cosx>0, 则g(x)<0,g″(x)单调递减. 因为g″3π2=2>0,g″(2π)=-2π<0, 则g″(x)在3π2,2π内有唯一零点,记为x1,且 当x∈3π2,x1时,g″(x)>0,g′(x)单调递增; 当x∈(x1,2π)时,g″(x)<0,g′(x)单调递减. 因为g′3π2=3π2-1>0,g′(2π)=0, 则当x∈3π2,2π时,g′(x)>0,g(x)单调递增. 综上知,g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,2π)上单调递增. 因为g(0)=g(2π)=0, 则当g(x0) 从而f′(x)有两个变号零点,即f(x)在(0,2π)上恰有两个极值点. 因为g′(x0)=0, 则cosx0-x0sinx0-1=0, 即cosx0=1+x0sinx0, 从而g(x0)=x0cosx0-x0 =x0(1+x0sinx0)-x0=x20sinx0. 取θ=x0,则cosθ=1+θsinθ,