10.八校联考试题

一、单项选择题

1.“0<θ<π3”是“0

（A）充分不必要条件.

（B）必要不充分条件.

（C）充要条件.

（D）既不充分也不必要条件.

2.已知z=2i1-i-1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）

（A）第一象限.（B）第二象限.

（C）第三象限.（D）第四象限.

3.设a，b为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（）

（A）若a·（a-b）=0，则a=b.

（B）若b=λa，则|a|+|b|=|a+b|.

（C）若λa+μb=0，则λ=μ=0.

（D）若|a|>|b|，则（a+b）·（a-b）>0.

4.已知函数y=f（x）的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称，g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）=f（x）-x，则g（-8）=（）

（A）-5.（B）-6.（C）5.（D）6.

5.如图1，抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，l与y轴相交于E点.图1

已知|AF|=7，|BF|=3，记△AEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，则（）

（A）S1=2S2.

（B）2S1=3S2.

（C）S1=3S2.

（D）3S1=4S2.

6.已知3tan20°+λcos70°=3，则λ的值为（）

（A）3.（B）23.（C）33.（D）43.

7.如图2，已知四棱柱ABCD|A1B1C1D1的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则（）

（A）直线BC1与平面EFG平行，直线BD1與平面EFG相交.图2

（B）直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行.

（C）直线BC1，BD1都与平面EFG平行.

（D）直线BC1，BD1都与平面EFG相交.

8.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1+b

（A）ab>e.（B）b>ea+1.

（C）ab

二、多项选择题

9.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图3所示，则（）

图3

（A）f（x）的最小正周期为π.

（B）fx+π6为偶函数.

（C）f（x）在区间0，π4内的最小值为1.

（D）f（x）的图象关于直线x=-2π3对称.

10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱、独奏、独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制.某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表.

教师评委ABCDEFG有效评分9.69.19.48.99.29.39.5

对学生网络评分按[7，8），[8，9），[9，10]分成三组，其频率分布直方图如图4所示.

则下列说法正确的是（）

（A）现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同.

（B）估计全校有1200名学生的网络评分在区间[8，9）内.图4

（C）在去掉最高分和最低分之前，9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7.

（D）从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则E（X）=5.

11.设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（）

（A）若a=3，b=2，则C的两条渐近线的方程是y=±32x.

（B）若点P的坐标为（2，42），则C的离心率大于3.

（C）若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2.

（D）若C为等轴双曲线，且|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=35.

12.在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，沿对角线AC将矩形折成一个大小为θ的二面角B|AC|D，若cosθ=13，则（）

（A）四面体ABCD外接球的表面积为16π.

（B）点B与点D之间的距离为23.

（C）四面体ABCD的体积为423.

（D）异面直线AC与BD所成的角为45°.

三、填空题

13.设函数f（x）=ex-1+x3的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则直线l在y轴上的截距为.

14.已知x-2xn的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数的绝对值之和为.

15.数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，该数列是由十三世纪意大利数学家茉昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列可表述为a1=a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N*）.设该数列的前n项和为Sn，记a2023=m，则S2021=.（用m表示）

16.在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），则这个正方形的面积可能为或.

四、解答题

17.已知函数

f（x）=3sinx2cosx2-cos2x2+12.

（1）设g（x）=f（-x），求函数g（x）的单调递减区间;

（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边的中点，若f（A）=12，a=3，求线段AD的长的取值范围.

18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=3，S3=5a1.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设bn=1+2Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，定义[x]为不超过x的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1.当[T1]+[T2]+…+[Tn]=63时，求n的值.

19.如图5，四棱锥P|ABCD的底面是正方体，平面PAB⊥平面ABCD，PB=AB，图5E为BC的中点.

（1）若∠PBA=60°，证明：AE⊥PD;

（2）求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围.

20.设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），圆C：（x-2m）2+（y-4m）2-1（m≠0），点F1，F2分别为E的左、右焦点，点C为圆心，O为原点，线段OC的垂直平分线为l.已知E的离心率为12，点F1，F2关于直线l的对称点都在圆C上.

（1）求椭圆E的方程;

（2）设直线l与椭圆E相交于A，B两点，问：是否存在实数m，使直线AC与BC的斜率之和为23？若存在，求实数m的值;若不存在，说明理由.

21.元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛.初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑戰机会.比赛规则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级.团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数.为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功.参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛.

方式一：将班级团队选派的2n个人平均分成n组，每组2人.电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两个人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功.

方式二：将班级团队选派的2n个人平均分成2组，每组n人.电脑随机分配给同一组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功.

（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率;

（2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p（0

22.已知函数f（x）=alnx-sinx+x，其中a为非零常数.

（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围;

（2）设θ∈π，3π2，且cosθ=1+θsinθ，证明：当θ2sinθ

参考答案

题号123456789答案ABDCCDABAC题号10111213141516答案ABDBCACD-2729m-11617或365或19653

17.（1）由已知

f（x）=32sinx-122cos2x2-1

=32sinx-12cosx=sinx-π6，

则g（x）=f（-x）=sin-x-π6

=-sinx+π6，

所以当g（x）单调递减时，函数y=sinx+π6单调递增.

令-π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

得-2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，

所以函数g（x）的单调递减区间是

-2π3+2kπ，π3+2kπ，k∈Z.

（2）因为

f（A）=sinA-π6=12，A∈（0，π），

则A=π3.

又a=3，

由余弦定理得3=b2+c2-bc，

即b2+c2=bc+3.

因为D为BC的中点，

则AD2=14（AB+AC）2

=14（b2+c2+bc）

=14（2bc+3）.

因为b2+c2≥2bc，

则bc+3≥2bc，

即0

所以34<|AD|2≤94，

即32<|AD|≤32，

所以线段AD的长的取值范围是32，32.

18.（1）设等差数列{an}的公差为d，

因为a1=3，

所以S3=3a1+3d=9+3d.

因为S3=5a1=15，

所以9+3d=15，d=2，

故an=3+2（n-1）=2n+1.

（2）因為Sn=3n+n（n-1）2×2=n2+2n，

则bn=1+2Sn=1+2n（n+2）=1+1n-1n+2，

所以Tn

=n+1-13+12-14+13-15+…+

1n-1-1n+1+1n-1n+2

=n+1+12-1n-1n+2.

当n≤2时，-13≤12-1n+1-1n+2<0，

则[Tn]=n.

当n≥3时，0<12-1n+1-1n+2<12，

则[Tn]=n+1，

因为[T1]+[T2]+…+[Tn]=63，

则1+2+4+5+…+（n+1）=63，

即3+（n-2）（4+n+1）2=63，

n2+3n-130=0，

解得n=10.

19.（1）平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，

则AD⊥平面PAB，AD⊥AP，

从而AB·AD=0，AP·AD=0.

又PB=AB，∠PBA=60°，

所以△PAB为正三角形.

设AB=2，则AD=AP=2，

所以〓AE·PD=（AB+BE）·（AD-AP）

=AB+12AD·（AD-AP）

=12AD2-AB·AP

=2-4cos60°=0，

所以AE⊥PD.

（2）如图6，分别取PA，PD的中点G，H，

图6

则GH瘙綊12AD.

又BE瘙綊12AD，

则GH瘙綊BE，

所以四边形BGHE为平行四边形，

从而EH∥BG.

因为PB=AB，BG⊥PA，

平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，

则AD⊥平面PAB，AD⊥BG，

所以BG⊥平面PAD，

从而EH⊥平面PAD.

连接AH，则

∠EAH为直线AE与平面PAD所成的角.

设正方形ABCD的边长为1，

PA=x（0

则BE=GH=12，AG=x2，

从而AE=AB2+BE2=52，

AH=AG2+GH2=x2+12.

在Rt△AHE中，

cos∠EAH=AHAE=x2+15.

当0

则cos∠EAH∈55，1，

所以直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围是55，1.

20.（1）由已知e=ca=12，则a=2c.

设点F1，F2关于直线l的对称点分别为M，N，

因为点O，C关于直线l对称，

O为线段F1F2的中点，

则C为线段MN的中点，

从而线段MN为圆C的一条直径，

所以|F1F2|=|MN|=2，即2c=2，c=1.

于是a=2，b2=a2-c2=3，

所以椭圆E的方程是x24+y23=1.

（2）因为原点O为线段F1F2的中点，圆心C为线段MN的中点，直线l为线段OC的垂直平分线，

所以点O与C也关于直线l对称.

因为点C（2m，4m），则线段OC的中点为（m，2m），直线OC的斜率为2，

又直线l为线段OC的垂直平分线，

所以直线l的方程为y-2m=-12（x-m），

即y=-12x+5m2.

将y=-12x+5m2代入x24+y23=1，得

3x2+4-x2+5m22=12，

即4x2-10mx+25m2-12=0.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=5m2，x1x2=25m2-124，

所以kAC+kBC=y1-4mx1-2m+y2-4mx2-2m

=-12x1+3mx1-2m+x2+3mx2-2m

=-（x1+3m）（x2-2m）+（x2+3m）（x1-2m）2（x1-2m）（x2-2m）

=-2x1x2+m（x1+x2）-12m22x1x2-4m（x1+x2）+8m2.

由kAC+kBC=23，

得2x1x2+m（x1+x2）-12m22x1x2-4m（x1+x2）+8m2+23=0，

2x1x2-m（x1+x2）-4m2=0，

所以25m2-122-5m22-4m2=0，

解得m=±1，

因为直线l与椭圆E相交，则

Δ=100m2-16（25m2-12）>0，

解得m2<1625，|m|<45，

所以不存在实数m，使直线AC与BC的斜率之和为23.

21.（1）设甲同学正确配对3对为事件A，正确配对5对为事件B，甲同学能晋级为事件C，

则C=A+B，且A，B互斥.

因为甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，

则P（A）=C24A44=14，P（B）=1A44=124，

从而P（C）=P（A）+P（B）=14+124=724，

所以甲同学能晋级的概率为724.

（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P1，P2.

当选择方式一时，

因为两人都回答错误的概率为（1-p）2，

则两人中至少有一人回答正确的概率为

1-（1-p）2，

所以P1=[1-（1-p）2]n=pn（2-p）n.

当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为pn，则一个小组闯关不成功的概率为1-pn，

所以P2=1-（1-pn）2=pn（2-pn），

所以P1-P2=pn（2-p）n-pn（2-pn）

=pn[（2-p）n+pn-2].

设f（n）=（2-p）n+pn-2，

則f（n+1）-f（n）

=（2-p）n+1+pn+1-（2-p）n-pn

=（2-p）n（1-p）+pn（p-1）

=（1-p）[（2-p）n-pn].

因为0

则1-p>0，2-p>1，

从而（2-p）n>1，pn<1，

所以f（n+1）-f（n）>0，

即f（n+1）>f（n），

所以f（n）单调递增.

因为f（2）=（2-p）2+p2-2=2p2-4p+2

=2（p-1）2>0，

则当n≥15时，f（n）>0，

从而P1-P2>0，即P1>P2，

所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛.

22.（1）f′（x）=ax-cosx+1（x>0）.

若a>0，因为x>0，1-cosx≥0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，符合要求.

若a<0，则当x∈0，-a2时，ax<-2，

从而f′（x）<-2-cosx+1=-（1+cosx）≤0，

所以f（x）在0，-a2上单调递减，不符合要求.

综上知，a的取值范围是（0，+∞）.

（2）令f′（x）=0，

则ax-cosx+1=0，

即a=xcosx-x.

设g（x）=xcosx-x，

则g′（x）=cosx-xsinx-1.

①当x∈（0，π）时，cosx<1，sinx>0，

则cosx-1<0，-xsinx<0，

从而g′（x）<0，g（x）单调递减.

②当x∈π，3π2时，

g″（x）=-sinx-（sinx+xcosx）

=-（2sinx+xcosx）.

因为sinx<0，cosx<0，

则g″（x）>0，g′（x）单调递增，

因为g′（π）=-2<0，

g′3π2=3π2-1>0，

则g′（x）在π，3π2上有唯一零点，记为x0，

且当x∈（π，x0）时，g′（x）<0，g（x）单调递减;

当x∈x0，3π2时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

③当x∈3π2，2π时，

g（x）=-（2cosx+cosx-xsinx）

=xsinx-3cosx.

因为sinx<0，cosx>0，

则g（x）<0，g″（x）单调递减.

因为g″3π2=2>0，g″（2π）=-2π<0，

则g″（x）在3π2，2π内有唯一零点，记为x1，且

当x∈3π2，x1时，g″（x）>0，g′（x）单调递增;

当x∈（x1，2π）时，g″（x）<0，g′（x）单调递减.

因为g′3π2=3π2-1>0，g′（2π）=0，

则当x∈3π2，2π时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

综上知，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，2π）上单调递增.

因为g（0）=g（2π）=0，

则当g（x0）

从而f′（x）有两个变号零点，即f（x）在（0，2π）上恰有两个极值点.

因为g′（x0）=0，

则cosx0-x0sinx0-1=0，

即cosx0=1+x0sinx0，

从而g（x0）=x0cosx0-x0

=x0（1+x0sinx0）-x0=x20sinx0.

取θ=x0，则cosθ=1+θsinθ，

且当θ2sinθ