5.新高考全国Ⅰ卷

一、单项选择题

1.若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N=（）

（A）{x|0≤x<2}.

（B）x|13≤x<2.

（C）{x|3≤x<16}.

（D）x|13≤x<16.

2.若i（1-z）=1，则z+=（）

（A）-2.（B）-1.（C）1.（D）2.

3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则CB=（）

（A）3m-2n.（B）-2m+3n.

（C）3m+2n.（D）2m+3n.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为1400km2;水位为海拔1575m时，相应水面的面积为1800km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m上升到1575m时，增加的水量约为（7≈265）（）

（A）10×109m3.（B）12×109m3.

（C）14×109m3.（D）16×109m3.

5.从2到8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

（A）16.（B）13.（C）12.（D）23.

6.记函数f（x）=sinωx+π4+b（ω>0）的最小正周期为T.若2π3

（A）1.（B）32.（C）52.（D）3.

7.设a=01e01，b=19，c=-ln09，则（）

（A）a

（C）c

8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该四棱锥体积的取值范围是（）

（A）18，814.（B）274，814.

（C）274，643.（D）[18，27].

二、多项选择题

9.已知正方体ABCD|A1B1C1D1，则（）

（A）直线BC1与DA1所成的角为90°.

（B）直线BC1与CA1所成的角为90°.

（C）直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°.

（D）直线BC1与平面ABCD所成的角为45°.

10.已知函数f（x）=x3-x+1，则（）

（A）f（x）有两个极值点.

（B）f（x）有三个零点.

（C）点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心.

（D）直线y=2x是曲线y=f（x）的切线.

11.已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2=2py（p>0）上，过点B（0，-1）的直线交C于P，Q两点，则（）

（A）C的准线为y=-1.

（B）直线AB与C相切.

（C）|OP|·|OQ|>|OA|2.

（D）|BP|·|BQ|>|BA|2.

12.已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）.若f32-2x，g（2+x）均为偶函数，则（）

（A）f（0）=0.（B）g-12=0.

（C）f（-1）=f（4）.（D）g（-1）=g（2）.

三、填空题

13.1-yx（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）.

14.写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程.

15.若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是.

四、解答题

17.记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，Snan是公差为13的等差数列.

（1）求{an}的通项公式;

（2）证明：1a1+1a2+…+1an<2.

18.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

图1

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

19.如图1，直三棱柱ABC|A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22.

（1）求A到平面A1BC的距離;

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A|BD|C的正弦值.

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系.在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好病例组4060对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P（B|A）P（|A）与P（B|）P（|）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

（i）证明：R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）;

（ii）利用該调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）005000100001k3841663510828

21.已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积.

22.已知函数f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.

（1）求a;

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

参考答案

题号12345678910111213答案DDBCDACCABDACBCDBC-28

题号141516答案3x+4y-5=0;x=-1，24y-7x+25=0（-∞，-4）∪（0，+∞）13

17.因为Snan是以首项为1，公差为13的等差数列，

所以Snan=1+13（n-1）=n+23，

故Sn=n+23an.①

当n≥2时，Sn-1=n+13an-1，②

②-①，得an=n+23an-n+13an-1，

所以（n-1）an=（n+1）an-1，

即anan-1=n+1n-1，

由累加法得an=n（n+1）2.

（2）因为1an=2n（n+1）=2n-2n+1，

所以1a1+1a2+…+1an

=21-22+22-23+…+2n

=2-2n+1，

故原不等式得证.

18.（1）因为

sin2B1+cos2B=2sinBcosB1+2cos2B-1=sinBcosB，

由题目条件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

知cosA1+sinA=sinBcosB，

所以cosAcosB=sinB+sinBsinB，

即cosAcosB-sinAsinB=sinB，

故cos（A+B）=sinB.

又A+B+C=π，

所以-cosC=sinB.

因为C=2π3，

所以sinB=12，

又B∈0，π3，

所以B=π6.

（2）由（1）知cosC=-sinB，

所以cosC=cosπ2+B，

又A+B+C=π，

所以C=π2+B，A=π-B-C=π2-2B，

由正弦定理知

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C

=sin2π2-2B+sin2Bsin2π2+B

=cos22B+1-cos2Bcos2B

=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B

=4cos4B-5cos2B+2cos2B

=4cos2B+2cos2B-5

≥42-5，

当且仅当cosB=2-14时等号成立.

19.（1）VA|A1BC=13V=43，

所以13S△A1BC·h=43，

解得h=2.

（2）取A1B中点M.

由AA1=AB，得

AM⊥A1B.

由面A1BC⊥面ABB1A1及两个面交线为A1B，

图2

则AM⊥面A1BC，

进而AM⊥BC.

由AA1⊥BC，得

BC⊥面A1AB，

故AB⊥BC.

故BA，BC，BB1三条直线两两垂直，建立如图2坐标系，

易知AA1=AB=2，

A1B=2AM=22，

又S△A1BC=12AB·BC=22，

所以BC=2，

则A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

A1（0，2，2），D（1，1，1），

故BA=（0，2，0），BD=（1，1，0）.

设平面ABD的法向量为

n1=（x1，y1，z1），

则2y1=0，x1+y1+z1=0.

令x1=1，则z1=-1，

故n1=（1，0，-1）.

同理n2=（0，1，-1），

故cos〈n1，n2〉=12×2=12.

设所求角为θ，则sinθ=32.

20.（1）列表

不够良好良好病例组4060100对照组1090100合计50150200

x2=200×（40×90-60×100）250×150×100×100

=2（4×9-6×1）25×15

=24>6635，

故有99%的把握.

（2）（i）由题意

R=P（B|A）P（|A）P（B|）P（|）=P（AB）P（A）P（A）P（A）÷P（B）P（）P（）P（）

=P（AB）P（A）×P（）P（B），

而P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）=P（AB）P（B）P（B）P（B）·P（）P（）P（A）P（）

=P（AB）P（B）·P（）P（A），

故相等.

（ii）易得

AB40601090

P（A|B）=P（AB）P（B）=40100=25，

P（A|）=P（A）P（）=10100=110，

P（|B）=P（B）P（B）=60100=35，

P（|）=P（）P（）=90100=910，

所以R=2535×910110=23×9=6.

21.（1）将点A（2，1）代入曲线方程得

4a2-1a2-1，

去分母，变形可得a4-4a2+4=0，

解得a2=2，

故双曲线C的方程为x22-y2=1.

设直线l的方程为y=kx+b，

P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立y=kx+b，x22-y2=1，消去y可得

x22-（kx+b）2=1，

整理得k2-12x2+2kbx+（b2+1）=0，

由韦达定理，得

x1+x2=-2kbk2-12，x1x2=k2+1k2-12.

直线AP的斜率为kAP=y1-1x1-2，

由于点P（x1，y1）在直线l：y=kx+b上，知

y1=kx1+b，

因此kAP=kx1+b-1x1-2=k+2k+b-1x1-2.

同理kAQ=k+2k+b-1x2-2，

根据已知条件kAP+kAQ=0，

而kAP+kAQ

=2k+（2k+b-1）1x1-2+1x2-2

=2k+（2k+b-1）·x1+x2-4x1x2-2（x1+x2）+4

=2k+（2k+b-1）·-2kbk2-12-4b2+1k2-12+4kbk2-12+4

=2k+（2k+b-1）·-2kb-4k2+2b2+4kb+4k2-1

=2k+-2kb-4k2+22k+b+1=2k+22k+b+1，

因此2k+22k+b+1=0，

得k=-1，

即l的斜率为-1.

（2）由于直线l的斜率k=-1，

其方程为y=-x+b，

直线l和双曲线C的的联立方程简化为

12x2-2bx+（b2+1）=0，

得x1+x2=-2kbk2-12=4b，

x1x2=b2+1k2-12=2b2+2，

点P的坐标满足y1=-x1+b，

和12x21-2bx1+（b2+1）=0，

上式可变形为x21=4bx1-2（b2+1），

AP=（x1-2，y1-1）

=（x1-2，-x1+b-1），

|AP|=（x1-2）2+（-x1+b-1）2

=2x21-4bx1+b2-2b+5

=4bx1-3b2-2b+1，

同理AQ=（x2-2，y2-1）

=（x2-2，-x2+h-1），

|AQ|=4bx2-3b2-2b+1，

考虑到直线l的斜率k=-1，

直线AP和AQ的斜率分别为

kAP=k+2k+b-1x1-2=-1+b-3x1-2，

kAQ=-1+b-3x2-2，

它們夹角的正切值为

kAP-kAQ1+kAPkAQ

=-1+b-3x1-2--1+b-3x2-21+-1+b-3x1-2-1+b-3x2-2

=b-3x1-2-b-3x2-22-b-3x1-2-b-3x2-2+b-3x1-2·b-3x2-2

=（b-3）（x2-x1）2（x1-2）（x2-2）-（b-3）（x1+x2-4）+（b-3）2，

直线l和双曲线C的联立方程简化为

12x2-2bx+（b2+1）=0，

得x1+x2=-2kbk2-12=4b，

x1x2=b2+1k2-12=2b2+2，

故（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4

=2b2-8b+6，

|x1-x2|=（2b）2-4×12（b2+1）12

=22b2-2，

因此，AP和AQ的夹角正切值为

kAP-kAQ1+kAPkAQ

=（b-3）（x2-x1）2（x1-2）（x2-2）-（b-3）（x1+x2-4）+（b-3）2

=（b-3）·22b2-22（2b2-8b+6）-（b-3）（4b-4）+（b-3）2

=22·b2-1b-3，

依题意，这个正切值等于22，

因此b2-1b-3=1，

解得b=53，

所以，直线l的方程为

y=-x+53，

点A到它的距离为

2+1-5312+12=223，

P，Q两点之间的距离为

1+k2·|x1-x2|=1+k2·22b2-2=163，

故△PAQ的面积为

12×163×223=1629.

22.（1）f′（x）=ex-a，

g′（x）=a-1x=ax-1x.

当a≤0时，ex>0，

所以f′（x）>0，

即f（x）在R上递增，无最小值，不合题意;

当a>0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，

所以f（x）min=f（lna）=a-alna，

g（x）在0，1a上单调递减，

1a，+∞上单调递增，

所以g（x）min=g1a=1+lna，

又a-alna=1+lna，

即（a+1）lna=a-1，

所以lna-a-1a+1=0.（*）

令h（a）=lna-a-1a+1，

则h′（a）=1a-2（a+1）2=a2+1a（a+1）2>0，

所以h（a）在（0，+∞）上单调递增，

又h（1）=0，

由（*）式得a=1.

（2）由（1）知

f（x）在（-∞，0）上单调递减，

在（0，+∞）上单调递增，

g（x）在（0，1）上单调递减，

在（1，+∞）上单调递增.

设y=b，f（x），g（x）三个交点横坐标为

x1，x2，x3（x1

所以x1<0，01，

于是f（x1）=f（x2）=ex1-x1

=ex2-x2=b，

因為g（x2）=g（x3）=b，

所以x2-lnx2=x3-lnx3=b，elnx2-lnx2=elnx3-x3=b，f（lnx2）=f（lnx3）=b，

又lnx2<0，lnx3>0，

所以x1=lnx2，x2=lnx3，①

且ex2-x2=x2-lnx2，

即ex2+lnx2=2x2，②

由①②，得x1+x3=lnx2+ex2=2x2，

所以，存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）与y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.