例谈启发性提示语在数学解题教学中的应用

刘军

【摘 要】 经常听到有学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了.”原因在于老师没有把“让他自己会做”的方法教给学生，“让他自己会做”的方法就是教给学生“解题思路是怎么想到的”，本文笔者结合三道试题的讲评谈谈启发性提示语在解题教学中的应用.

【关键词】 数学解题;解题思路;解题教学

1 追本溯源，从源头获取灵感

1.1 案例回放

例1 如图1，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9Aio中，连接A1A4 、A1A7，则∠A4A1A7=_____°.

师 分析此题背景，考察了什么知识点？

生 正多边形.

师 谈谈对于正多边形我们应该掌握哪些知识点？

生 我们把所有边相等且所有角也相等的多边形称之为正多边形.

师 相关的公式有哪些？

生 内角和公式为180°（n=2），外角和为360°.

师 还有哪些？

生 多边形的每个外角的求角公式是360°/n，每个

内角的求角公式是180°-360°/n

师 还有没有？正多边形的每个中心角的求角公式是什么？

生 360°/n

师 此题与什么公式相关？

生 中心角公式（思考片刻）.

师 为什么？

生 如果将该正十边形的中心记为O点，那么该正十边形可以看作是以O为圆心，OA1为半径的圆的

内接正十边形，所以∠A1=1/2∠A4OA7

师 很好！能否说说此题带给你的启示？

生 一定要想想本题联系的数学知识是什么，关于这个知识有哪些重要的结论，还缺少什么.当然这就必须牢记相关的概念及公式，当遇到不会解的题目时，可以将有关的公式罗列出来，一一思考，找出与本题联系紧密的，然后依此作为突破口，进行解题尝试.

1.2 案例感悟

遇到一个陌生的问题应该怎么去想？刚才的案例启示我们，要教会学生善于运用一些启发性提示语来寻求解题思路：（1）它是关于什么研究对象的问题？——问题的范畴;它要求（证）的是什么？——紧盯目标;（2）现有哪些材料？——题设中的条件;（3）已有哪些工具？

一已经学过的相关概念、命题、公式和方法;（4）还需要哪些条件？还缺少什么材料？能否从现有的材料中找到？（5）如何运用这些条件和工具？其实，这些都是我们人类本原的思想，解题教学应学会追本溯源，从源头获取灵感.

2 穷则思变，让未知与己知发生关联

2.1 案例回放

例2 如图2，△ABC内接于⊙O，半径为5，BC=6，CD⊥AB，则tan/ACD的值为____ ..

师 题目要求的是什么？

生 ∠ACD的正切值.

师 要求∠ACD的正切值，需构造什么三角形？

生 直角三角形.

师 图中找得到吗？

生 找得到∠ADC=90°，直角三角形为△ACD.

师 好，在此直角三角形中，∠ACD的正切值可以表示为？

生 AD/CD的值，

师 AD、CD的值能否求得出？

生 求不出.

师 当我们求不出的时候，怎么办？

生 转化（在老师的提示下）.

师 转化成什么？是不是要与题干中的已知数据发生关联？

生 是的.

师 观察图形，结合已知数据看看能否突破？需构造什么？

生 直角三角形，老师可以连接OB、OC，再过O点作BC的垂线（如图3）.

生 还可以延长BO（或CO），利用直径所对的圆周角等于90度.

师 很好，能否说说此题给予你的启示？

生 在进行求解时，一定要知晓解决此问题的前提是什么，如果缺少前提，则我们需要构造辅助线，当直接求解不好求时，我們一定要学会转化，转化成已知数据相关联的问题

2.2 案例感悟

美国著名数学家和数学教育家G.波利亚在<怎样解题》中说过，解题的第一步：你必须弄清问题.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？第二步即找出已知与未知的联系.能否转化成一个相似的、熟悉的问题？作为教师的我们应该培养学生转化的意识——“穷则思变，教会学生转化的方法和目标——让未知与已知发生关联.

3 明察秋毫，对已知条件深加工

3.1 案例回放

例3 如图4，坐标系中，O（0，0），A（6，6），B（1 2，O）.将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=24/5，则CE：DE的值是______.

师 哪位学生帮助老师把题目读一遍.

生 坐标系中，O（0.0），A（6，6），B（12，0）.

师 好，暂停一下！结合数据说说你有哪些发现？

生 OA=OB=12.

师 除了边之外，还有哪些发现？

生 ∠AOB=60°，噢！△ABO为等边三角形.

师 好，非常好！继续读下去，

生 将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处.

师 对于折叠问题，我们要注意找哪些问题？

生 找全等，找对应边、对应角.

师 非常好！说说哪些边相等，哪些角相等？

生 AC=EC、AD=ED，∠ACD=∠ECD、∠ADC=∠EDC、∠A=∠CDE.

师 很好，结合图形以及刚才的结论，能不能进一步说说你的发现？

生 我看到了一个基本图形（思考片刻后）.一线三等角，即“K"型相似基本图形.

师 很好，哪两个三角形相似？

生 △OCE∽△BED.

师 好！这个结论很关键，题目最后需要求解的是什么？

生 若OE= 24/5 求 CE与DE的比值.

师 CE、DE的值求得出来吗？

生 求不出来.

师 前面我们提到了当直接求解的时候无法求解，我们可以转化？关键怎么转？

生 前面我们得到了△0CE∽△BED，所以有OC/BE=OE/BD=CE/ED，但是题目中除了OE.BE的值之外，其他的并不知道.

师 如果CE、BE的值我们用参数m.n来表示，我们有怎样的等式？怎样的启示？

生 我们在读题分析条件时，一定要对条件进行再深究、再加工，挖掘条件背后更多的东西.

3.2 案例感悟

在读题审题时，不能仪限于接受表而的、浅层次的信息，一定要培养学生对相应的信息进行深究加工的能力，从而挖掘条件背后更多深层次的信息.读题不是文字的简单浏览和思想上的一掠而过，而应是深究：由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？题日中还有什么隐含条件或基本图形？中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？通过学会深究题意从而寻求解题思路，帮助学生积累思维的经验，提高分析问题、解决问题的能力.

4 结语

解题教学的重点不在于“解题”，而在于“学解题”.“学解题”的核心在于“学思路的寻找”，即让学生学会如何思考，关键在于有意识地应用一些启发性提示语，解题的启发性提示语可以为解题提供有效的指导思维操作的程序.