从一个等式出发解一类分式问题

詹长青 徐卫国

詹长青中学一级教师，曾获浮梁县优秀教师和优秀党员称号。多年来教学成绩突出，为农村教育事业献出了自己的爱心和力量。

徐卫国中学高级教师，省级骨干教师，“希望杯”數学竞赛教练，教师远程培训辅导教师，在《数理天地》、《中学生数学》、《中学数学教学参考》等报刊杂志上发表文章几十篇。

由a+b+c=0可得以下五个结论：

（1）a+b=-c;

（2）a2+b2-c2=-2ab;

（3）a2+b2+c2=-2（ab+bc+ca）;

（4）1a2+1b2+1c2=1a+1b+1c2;

（5）a3+b3+c3=3abc.

前面三个结论非常容易得到，下面对结论（4）、（5）进行证明.

结论（4）证明：

因为1a+1b+1c2

=1a2+1b2+1c2+2ab+2ac+2bc

=1a2+1b2+1c2+2×c+b+aabc，

又因为a+b+c=0，

所以1a2+1b2+1c2=1a+1b+1c2.

结论（5）证明：

因为a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3-3a2b-3ab2+c2-3abc

=[（a+b）3+c3]-（3a2b+3ab2+3abc）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]

-3ab（a+b+c），

又因为a+b+c=0，

所以a3+b3+c3-3abc=0，

即a3+b3+c3=3abc.

对于条件中含有a+b+c=0的分式问题，灵活运用上述五个结论，就能迅速解决问题.

例1 若a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求（a+b）（a+c）（b+c）abc的值.

分析 本题可分类讨论，若a+b+c≠0，利用等比定理能求值;若a+b+c=0，直接利用结论（1）求解.

解 （1）若a+b+c≠0，由等比定理得，

a+b-cc =a-b+cb=-a+b+ca

=（a+b-c）+（a-b+c）+（-a+b+c）a+b+c

=1.

所以a+b-c=c，

a-b+c=b，

-a+b+c=a，

所以（a+b）（a+c）（b+c）abc=2c·2b·2aabc=8.

（2）若a+b+c=0，则

a+b=-c，

b+c=-a，

c+a=-b，

所以（a+b）（a+c）（b+c）abc

=（-c）（-a）（-b）abc=-1.

例2 设有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则1b2+c2-a2+1c2+a2-b2+1a2+b2-c2的值是（）

（A）正数. （B）负数.

（C）零.（D）不能确定.

分析 本题可以直接利用结论（2）将分母化简，然后通分即可.

解 由结论（2）知，

原式=1-2bc+1-2ac+1-2ab

=a+b+c-2abc=0.

故选（C）.

例3 已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc=4，那么1a+1b+1c的值是（）

（A）正数. （B）负数.

（C）零.（D）可正可负.

分析 因为1a+1b+1c=bc+ac+ababc，

所以只要确定bc+ac+ab的符号.

解 由结论（3）知，

ab+bc+ca=-a2+b2+c22，

又因为a≠0，b≠0，c≠0，

所以a2+b2+c2>0，

所以ab+bc+ca<0，

所以1a+1b+1c

=bc+ac+ababc=bc+ac+ab4<0.

故选（B）.

例4 已知a+b+c=0，1a+1b+1c=-4，那么1a2+1b2+1c2的值为（）

（A）3. （B）8. （C）16. （D）20.

分析 直接用结论（4）即可得到答案.

解 由结论（4）知，

1a2+1b2+1c2

=1a+1b+1c2=（-4）2=16.

故选（C）.

例5 已知abc≠0，且a+b+c=0，则a1b+1c+b1c+1a+c1b+1a的值为（）

（A）0. （B） 1. （C）-1. （D）-3.

分析 在化简过程中利用结论（1）、（5）就能迅速求值.

解 原式

=a（b+c）bc+b（a+c）ac+c（a+b）ab

=-a2bc-b2ac-c2ab

=-a3+b3+c3abc

=-3abcabc=-3.

故选（D）.