徐连升
1 化为同底数
例1 已知25x=2 000,80y=2 000,求1x+1y.
解 由25x=2 000,80y=2 000,可得
(25x)y=2 000y,(80y)x=2 000x,
即25xy=2 000y,80xy=2 000x,
二式相乘得2 000xy=2 000x+y,
所以xy=x+y,
所以1x+1y=x+yxy=1.
2 化为同指数
例2 已知a=355,b=444,C=533,则有()
(A)a
(C)c 解 因为a=355=(35)11, 444=(44)11,533=(53)11, 即a=24311,b=25611,c=12511, 因为256>243>125, 所以c 故选(C). 3 因式分解法 例3 求证:对于任何整数x和y,下式的值不会等于33: x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5. 证明 当y=0时,原式=x5≠33. 当y≠0时,原式 =(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-y2)(x2-4y2) =(x+3y)(x-y)(x+y)(x-2y)(x+2y), 当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y互不相同,而33不可能分解为3个以上因式的积,所以原式不会等于33. 4.错位相减法 例4 观察下列运算过程: S=1+3+32+33+…+32015,① ①×3,得 3S=3+32+33+…+32016,② ②-①,得2S=32016-1,S=32016-12. 根据上面的计算方法计算: 1+5+52+53+…+52015. 解 设S=1+5+52+53+…+52015,① ①×5,得 5S=5+52+53+…+52016,② ②-①,得 4S=52016-1,S=52016-14, 即1+5+52+53+…+52015=52016-14. 5.整體代入法 例5 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+1993x2,S2=x21+1993x22,…,xn=xn1+1993xn2,则aS1993+bS1992+cS1991=. 解 因为x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以ax21+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0. 所以原式 =a(x19931+1993x19932)+b(x19921+1993x19922)+c(x19911+199319912) =(ax19931+bx19921+cx19911)+(1993ax19932+1993bx19922+1993cx19912) =x19911(ax21+bx1+c)+1993x19912(ax22+bx2+c) =0. 6.巧取特殊值 例6 m,n,p,q为自然数,对一切x>0,(x+1)mxn-1=(x+1)pxq恒成立,则(m2+2n+p)2q=. 解 由于(x+1)mxn-1=(x+1)pxq对一切x>0恒成立,取x=1,则有2m-1=2p, 由于2p≠0,2m-1为奇数,因此m=1,p=0. 再取x=2,则有32n-1=12q, 即3-2n=2n-q, 当n>q时,则上式左边为奇数,右边为偶数,矛盾. 当n 所以只能n=q=1, 于是原式=32=9. 7.巧用乘法 例7 若x,y,z,w为整数,且x>y>z>w,2x+2y+2z+2w=2058,求(x+y+z+w-1)2010的值. 解 已知等式两边同乘以8,得 2x+3+2y+3+2z+3+2w+3=165, 因为x>y>z>w且为整数, 所以x+3>y+3>z+3>w+3,且为整数, 因165为是奇数, 所以w+3=0, 所以w=-3. 所以2x+3+2y+3+2z+3=164, 所以2x+1+2y+1+zz+1=41, 所以z+1=0,z=-1. 所以2x+1+2y+1=40, 两边都除以8,得 2x-2+2y-2=5, 所以y-2=0,y=2. 所以2x-2=4, 所以x-2=2,x=4. 所以原式=(4+2-1-3-1)2010=1. 8.配方法 例8 求证:x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2能被x+y+z整除. 证明 原式 =x4+2x2y2+y4-(2x2z2+2z2y2)+z4-4x2y2 =(x2+y2)2-2z2(x2+y2)+z4-4x2y2 =(x2+y2-z2)2-(2xy)2 =(x2+2xy+y2-z2)(x2-2xy+y2-z2) =[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2] =(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z), 所以x4+y4+z4-2x2yx2-2xx2zx2-2yx2zx2能被x+y+z整除.