解一类指数型不定方程

章启平

大学本科学历，中学一级教师，温州市鹿城区优秀教师，全国初中数学联赛优秀教练员，长期从事初中数学教学与研究，多篇教学论文在《数理天地》、《中小学数学》、《中学生数学》、《理科考试研究》等杂志上发表。

不定方程的整数解问题涉及数论方面的诸多知识，其解法更是百花齐放，许多数学爱好者都撰文介绍，笔者受益良多.这类方程中，指数型（指数含有未知数）的不定方程解法有一定的难度，很多学生无从下手，笔者在近期的教学实践中，发现采用“选模找偶”的办法解指数型的不定方程很有效果，这里举两例，介绍其解法，供大家参考.

例1 求所有的正整数x，y，z，使得

3x+4y=5z.

分析 3，4，5是一组非常常见的勾股数，方程一定存在一组解：x=y=z=2，但是否是唯一的一组就需要通过解方程或是进行正整数解的判断来说明了.解方程是最直接的方式.解这样的方程，同样离不开对原方程的变形，变形的方式通常从等式的性质、因式分解等角度入手，而因式分解是解一般不定方程的常用方法，这里也可以采用，注意到，4y=22y，如果5z中的z也是偶数，则移项4y至等号右边，可运用平方差公式进行因式分解.这里确定z是偶数可采用同余知识进行判断.

因为3x≡0（mod3）;

4≡1（mod3）4y≡1（mod3）;

5≡-1（mod3）5z≡（-1）z（mod3）;

所以3z+4y≡1（mod3），

所以5z≡（-1）z≡1（mod3），

所以z是偶数.

具体解法如下：

解 3≡0（mod3）4≡1（mod3）3x≡0（mod3）4y≡1（mod3）

3x+4y≡1（mod3），

而5≡-1（mod3）5z≡（-1）z≡1（mod3），

所以，z是偶數，设z=2m（为正整数），

则3x+4y=5z，可转化为

3x=52m-22y=（5m+2y）（5m-2y）

=3a×3b（a，b为非负整数）

5m+2y=3a5m-2y=3b2y+1=3a-3b，

当a≥1，b≥1时，3|（3a-3b），而2y-1不能被3整除，所以a，b中至少有一个为0，显然b=0，此时

x=a.

所以2y+1=3x-1，

又因为y≥1，

所以2y+1≡0（mod4）3x≡（-1）x（mod4），

所以3x-1≡（-1）x-1≡0（mod4），

所以，x是偶数，设x=2p（p为正整数），

3p+1=2α3p-1=2β2=2α-2β1=2α-1-2β-1，

上式当且仅当α-1=1β-1=0时成立.

所以α=2，β=1y+1=α+β=3y=2，

当y=2时，m=1z=2x=2，

综上所述：x=2，y=2，z=2.

注 因式分解法是处理不定方程整数解问题最常用的方法，指数型不定方程也不例外，但指数型不定方程中的式子能否进行因式分解，指数的性质是关键，本例中，利用同余的知识，选取合适的“模”，判断出x，z为偶数，是解题的关键，当x，z为偶数时，借助平方差公式，对原方程移项后进行因式分解，从而解出方程的解.注意到，“模”的选择非常重要，判断指数是偶数，对于方程ax=b选“模”应遵循ax≡（-1）x（modm），b≡1（modm）的原则，即整数a对于模m应与-1同余，整数b对于模m应与1同余，根据（-1）x≡1（modm）得x为偶数.原方程3x+4y=5z，两边同时取模4、模3，可分别得x，z为偶数.

例2 是否存在非负整数a，b，使得|3a-2b|=41成立？

分析 带绝对值的代数问题通常都要进行分类讨论，本例也不例外，|3a-2b|=41显然分两种情况，即3a-2b=41与2b-3a=41;对这两种情况分别进行说明即可.说明一个不定方程是否有解，从解法上说明最直接，如果有非负整数解，就能顺利解出，如果无非负整数解，解答过程中自然显现.从解法上讲，3a与2b是差的形式，如果能判断a，b均为偶数，则利用平方差公式分解即可解方程，当然，判断不定方程无整数解，也可从方程两边整数的性质角度说明.

解 ①当3a-2b=41时，显然

a≥4，b≥6，

因为3a≡0（mod3）;

2≡-1（mod3）2b≡（-1）b（mod3）;

所以3a-2b≡-（-1）b（mod3），

而41≡-1（mod3），

所以3a-2b≡-（-1）b≡-1（mod3），

所以b为偶数.

又因为3a≡（-1）a（mod4），

而b>2，

所以2b≡0（mod4），41≡1（mod4），

3a-2b≡（-1）a≡1（mod4），

所以a为偶数.

设a=2m，b=2n，

3a-2b=4132m-22n=41

（3m+2n）（3m-2n）=41

3m+2n=413m-2n=12n+1=40n无正整数解.

②当2b-3a=41时，显然b≥6，a≥2，

对于此方程，采用等式两边整数性质不同的方式说明.

假设存在这样的正整数a，b使得方程2b-3a=41成立.

则2b≡0（mod8），

而41≡1（mod8），

所以2b-3a≡1（mod8）3a≡-1≡7（mod8），

因为32≡1（mod8），

当a为偶数时，设a=2k（k为正整数），

32k≡1（mod8）;

当a为奇数时，设a=2k+1（k为正整数），

32k+1≡3（mod8），

所以，无论a取何正整数时，3a≡7（mod8）不能成立.

综上所述，不存在非负整数a，b，使得|3a-2b|=41成立.

注 根据方程中数的特点选择合适的模，判断指数为偶数仍是解这类方程的有效思路，其基本过程是：选模——找偶——平方差因式分解——得解.思路清晰，过程简洁.本例中①采用的就是这样的过程.对于②，利用同余，说明等式两边对于模8余数不同，是说明不定方程无整数解常用的方法.

指数型不定方程根据方程的特点有很多种不同的解法，通过“选模找偶”是众多解法中一种比较常规的思维方法，通过判断指数为偶数的特点，利用平方差公式进行因式分解是解决问题的关键，看似复杂的指数型不定方程，实际解决过程中需要的数学知识并不复杂.平时的解题实践中，只要我们肯钻研、勤动脑、善提炼，总会探索出一些潜在的规律与方法，从而提升我们的解题技巧与解题能力.

练习

1.求所有的正整数x，y，z，使得2x+3y=z2.

2.求所有满足方程8x+15y=17z的正整数解.

答案

1.x=4，y=2，z=5. 2.x=2，y=2，z=2.