数学抽象素养下初中数学概念教学设计

楼春春

【摘 要】 初中数学教学中很多是概念教学，而概念形成主要是从感性具体到理性具体的第一次数学抽象，然后由一个理性具体到另一个理性具体的第二次抽象，可以用弱抽象与强抽象相结合的方法构造出新的数学概念.在概念教学时，教师应该重视与前后知识的联系，与整体知识体系的联系，与生活实际的联系，让概念学习有充分的抽象意义和现实意义.

【关键词】 数学抽象;概念教学

数学概念的形成是数学抽象的具体表现，是数学知识的基础，是数学思维的基本形式.概念形成是指从一些具体例证出发，抽取一类事物的共同属性，学生利用已有认知结构中的有关知识理解，从而形成新概念[1].概念形成过程就是对概念进行数学抽象的过程，通过类比得到进一步的抽象也是引入概念的重要方法.

《3.2实数>是在学生学习了平方根以后，接触了如“√2”与“兀”等具体的一些无理数的基础上，引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩充到实数，从知识储备上看，学生已经学习了有理数，大致知道了有理数研究的基本路径，同时学生已掌握平方根，初步接触了“√2”与“兀”等具体的无理数，从能力上看，七年级的学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维为主的转折期，所以在教学设计时，注意具体性、形象性的同时还要适当地抽象开阔，从而既适应这一时期的能力发展水平，又能促进他们的思维向更高一阶段的发展.

1 类比中引入，让引入抽象更连贯流畅

课堂引入是课堂正式教学的启动，教师有意识、有目的地引导学生进入新的学习状态的教学组织行为，通常在课堂引入中会运用情境，在情境中抽离出研究对象，本堂课从有理数的研究路径引入，通过类比让引入抽象过程更连贯流畅.

师 导语：前面两章我们学习了有理数以及有理数的运算.那么对于有理数我们学习了哪些内容？经历了怎样的一条知识路线呢？

（1）呈现第一章的学习目录

（2）对于有理数，我们是通过定义、分类、表达和性质四个部分依次展开学习的.

（3）本堂课，我们将从有理数的分類着手，继续进一步学习.

（4）根据不同的数的类型，有理数可以分为哪两类？（生：整数和分数）

（5）根据不同的小数类型，分数又可以分为哪两类？（生：有限小数、无限循环小数）

（6）如果我们把整数看作有限小数，譬如4我们可以看作4.0，那么有理数就可以视为有限小数和无限循环小数的总集.

（7）将视线聚焦“有理数：有限小数或无限循环小数，”

思考：我们还学过不是这两类的小数吗？请你举例说一说，并说明为什么.（生：π，π是无限不循环小数）

（8）那么除了π以外，还有没有其它的数不属于这两类小数？

学生第一章已经学习了有理数，大致知道了有理数的研究路径，教师由有理数的研究路径提出，有助于学生通过类比整体来研究无理数，帮助学生理清一条研究数的基本路径，学会学习数的方法.这样设计的意图主要着眼于学生的最近发展区，把新知识与旧知识联系起来学习，让旧知为新知做好铺垫作用，让学生学起来更加容易接受这个知识点.

2 过程中微探，让抽象本质更理解透彻

《义务教育数学课程标准（2011版）》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”，我们要在数学教学中找准知识的生长点，在探究过程中“退”到知识的源点，在学习的动态过程中往前“进一步，在这个过程中抓本质、诱反思、促理解，探寻所学知识的数学本质[2].

（1）√2和兀一样是一个抽象的数学符号，数值不明.

（2）从√2是2的算术平方根，你想到了什么？开方运算的逆运算是什么？（生：平方）板书：（√2）2=2

（3）有某个整数的平方是2吗？（生：没有）

（4）说明√2不是整数，那么√2在哪两个整数之间呢？为什么？

（生：√2在1和2之间，所以12<（√2）2<22因为1<√2<2）

（5）上述过程说明√2的整数位是多少？（生：1）

（6）那么我们可以用这种方法确定它的十分位吗？

启发：①猜测一下√2的十分位？（例如：1.5）

②比较√2与1.5的大小.

范例（板书）：所以1. 42<（√2）2<1. 52

因为1.4<√2<1.5，它的前两位为1.4

（7）尝试研究√2的百分位？

根据上一节课，得知平方与开平方是互逆运算，学生通过估一估、猜一猜、算一算.用“逼近法”去尝试、感受“√2”小数点后前几个具体每位上的数值，从“数”本身的角度出发，让学生去体会开不尽情况，为得出无限不循环小数为无理数这一概念做好铺垫.Excel中公式的设置，让学生不断进行尝试探究，有了一定的经验后，能够自主地得到“√2”的百分位，千分位，甚至更多的位数.

3 发展中切入，让概念抽象更自然深刻

新知探索是学生的求知阶段，是课堂教学的主环节.在这个过程中，教师的主要作用是利用有效的提问来启发学生的思路和方法，引导学生大胆猜想;而数学知识和技能的得到需要学生从形象思维到抽象思维，从直觉思维到逻辑思维的合理过渡，从而在发展过程中获得新的知识，

堂课以“小数”为切入口，自然顺畅地通过小数数域的“封闭”着手，得出无理数和实数的相关概念.基于有理数研究的基本路径，学生通过活动进一步理解和拓宽对无限不循环小数的认识，从第一次抽象获得研究对象到二次抽象得到研究的数学表征，深刻理解无理数的含义和分类，最终得出实数的概念.

4 练习中联系，让抽象巩固更具体丰实

知识可以讲清楚，但抽象能力和运用能力必须通过训练来巩同提升，这样一来练习设计这一环节尤为重要，必须突出有效性.有效的课堂练习不仅可以检查学生学习效果和教师的教学效果，而且还能为教师提供教学反馈，从而修改教学方案，提高课堂教学效益.

5 操作中内化，让思维抽象更直观生动

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微.”数形结合是数学中重要的思想方法之一，是通过数和形两者之间的关系来解决数学问题的方法思想.数形结合思想的本质是几何图形的性质反应了数量关系;数量关系决定了几何图形的性质[3].

类比有理数的知识框架，我们刚才完成了无理数的定义和两种不同标准下的分类，接下来是表达，那么能否将√2表示在数轴上呢？

（1）从数的角度，我们怎样在数轴上表示√2，板演.

（2）从数的角度，只能在数轴上近似地表达√2，要想精确地表示，我们得从形的角度？

（3）考虑到√2在原点√2个单位处，我们需要找到一条长为√2个单位长度的线段.

（4）指向（√2）2=2，刚才我们通过平方，将√2的数值明确化，将线段的长度平方，你想到了什么？

（5）指向12<（√2）2<22 ，12你联想到怎样的正方形？22呢？（√2）2呢？（生：边长为1面积为1的正方形;边长为2面积为4的正方形;边长为√2面积为2的正方形.）

（6）四人小组，给大家一个面积为4平方单位的正方形：①折一个面积为1平方单位的正方形;②展開，折一个面积为2个平方单位的正方形，

板书：画一个边长为2个单位长度的正方形（找一个正确的学生说折法，画他的折痕，得到面积为2的阴影正方形，它的边长为√2）结合数轴、图形和圆规把√2精确地表示在数轴上，

在数轴上表示，对于七年级的学生而言将有理数在数轴上表示难度不大，但要怎么将无理数表示在数轴上呢？我们用了两种形式，一种是√2的近似值，一种是√2的准确值.通过之前的逼近法，学生已经知道√2≈1.4，在数轴上大致的表示出来，但√2的准确值怎么表示？通过折纸活动，让学生自主探究单位长度为1时，√2有多长，再将之拓展到同一个单位长度的数轴上.利用有理数研究基本路径图过渡到实数在数轴上的表达，借助数轴对无理数进行研究，从形的角度，再一次体会无理数.

这个环节，设计了一个小组活动——“折纸活动”改编自书本“合作学习”，我们变“同定图形”为“折纸活动”，能够更好激发学生的学习兴趣，化被动学习为主动学习，活动设计倾向于用形来说明数，从一维的线段长到二维的图形面积，在折纸过程中，并不是一开始就让学生折面积为2的正方形，一则是因为让学生直接折面积为2的正方形难度有点大，折出面积为1的正方形有助于得到“折痕”，为折出面积为2的正方形做准备;二则为了得到√2是边长为1的正方形的对角线长，为数轴上表示√2作铺垫.

学东西的最好途径是亲自发现它，本节课的教学设计中注重学生的认知水平和亲身感受出发，通过教师与学生“自主十合作”的方式，从有理数的研究路径出发，通过类比归纳得出研究无理数（实数）的研究路径，抽象得到无理数（实数）概念，在练习巩同与动手操作中加深对实数概念的理解.

类比能充分调动学生的主观能动性，促进知识的迁移，达到活跃思维，丰富想象力，有益于培养学生的认知力和抽象能力.在教学活动中，适时调整学生对无理数（实数）的片面认识，并通过练习及时检测学生对于实数的掌握，为学生提供及时适当的反馈，在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的教学内容和学习任务.

参考文献：

[1]让“数学抽象”核心素养在学生心里生根发芽——以数学概念教学为例[J].窦彩云.学周刊.2018（09）

[2]浅谈如何让学生体验数学知识的产生[J].翁慧芳.中学课程辅导（江苏教师）.2014（19）

[3]在中学数学教学中如何培养学生的核心素养[D].刘轶，辽宁师范大学2018