对角线互相垂直的四边形的两个性质

王浩山东省临沂市平邑县保太中学教师。曾在《数理天地》、《数学大世界》、《初中数学教与学》、《数学学习与研究》、《时代数学学习》、《沂蒙教育》、《数学周报》、《数学专页》、《数学天地》、《中学生》等报刊发表文章70余篇。

对角线互相垂直的四边形有什么性质呢？我们结合两个典型例题得出结论并加以证明，进而灵活应用，旨在提升我们的解题能力和灵活运用的能力.

1 对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半

例1 阅读材料：

图1

如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P，求证：S四边形ABCD=12AC·BD.

证明 因为AC⊥BD，

所以S△ACD=12AC·PD，S△ABC=12AC·BP，

所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC

=12AC·PD+12AC·BP

=12AC（PD+PB）

=12AC·BD .

解答问题：

（1）上述证明得到的性质可叙述为;

（2）已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BD，对角线AC⊥BD，且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积;

（3）如图3，用一块面积为800cm的四边形纸做风筝，并用两根长度相等的竹条作对角线固定风筝，对角线刚好互相垂直，问竹条的长是多少？

图2图3

解 （1）对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半.

图4

（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以 AC=BD=DE，

因为AC⊥BD，

所以∠BCA+∠CBD=90°，

因为DE∥AC，

所以∠BCA=∠BED，

所以∠BED+∠CBD=90°，

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知

EF=FB=FD=12×（3+7）=5，

根据勾股定理，得 ED=52，

所以S=S△EBD=12DE·BD

=12×52×52

=25平方厘米.

（3）因为BD=AC，

BD⊥AC，

所以S=12AC·BD=12AC2=800，

可得AC=DB=40（厘米），

故竹条的长是40厘米.

2 对角线互相垂直的四边形的两组对边的平方和相等

例2

如图5，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

图5

（1）概念理解：如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由;

（2）性质探究：如图5，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，试证明：AB2+CD2=AD2+BC2;

图6图7

（3）解决问题：如图7，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长.

解 （1）四边形ABCD是垂美四边形.

理由如下：因为AB=AD，所以点A在线段BD的垂直平分线上，同理得点C在线段BD的垂直平分线上，所以直线CA是线段BD的垂直平分线，所以AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形.

（2）因为AC⊥BD，所以

∠AOB=∠AOD=∠COB=∠DOC=90°，

根据勾股定理，得

AB2+CD2=OA2+OD2+OB2+OC2，

AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，

所以AB2+CD2=AD2+BC2.

（3）连接EB，GC，在正方形ACFG和正方形ABDE中，

∠BAE=∠GAC=90°，

所以∠BAE+CAB=∠GAC+∠CAB，

即∠EAC=∠BAG.

在△EAC和△BAC中，

EA=BA，∠EAC=∠BAG，CA=GA，

所以△EAC≌△BAG，

所以∠CEA=∠GBA，

又因為∠EMA+∠CEA=90°，

∠EMA=∠BMN，

所以∠BMN+∠GBA=90°，

即EC⊥BG，

所以四边形CGEB是垂美四边形，

通过（2）可以得到

BC2+GE2=EB2+GC2，

因为AC=4，AB=5，

所以CB=AB2-AC2=3，

GC=42，EB=52，

代入数据得

32+GE2=（52）2+（42）2，

求得GE=73.

练习

图8

1.如图8，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”.小明说：“半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”.他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论.

图9

2.对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，现有如图9所示的垂美四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=.

3.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

（1）下面四边形是垂等四边形的是;（填序号）

①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.

图10

（2）图形判定：如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，且∠DBC=45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形;

图11

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：在图11中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=60°，求⊙O的半径.

答案

1.正确.2.20.

3.（1）④;（2）略;（3）4.