例说中考中的翻折问题

江建华中学数学高级教师， 中国数学奥林匹克贰级教练员，湖北省中学数学省级骨干教师，黄石市中学数学学科带头人，发表多篇论文，曾主编《初三几何完全解读》等著作。

翻折问题既是中考命题的热点问题，也是学生解题的难点问题，翻折问题实质上是图形的轴对称变换，解题时可以利用轴对称图形的性质，结合全等的判定与性质、相似的判定与性质、圆的性质、勾股定理和三角函数等知识进行求解.

1 三角形中的翻折

例1 图1

如图1，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为.

（A）259.（B）258.

（C）157.（D）207.

图2

解 如图2，过点D作DH⊥BC于点H，

因为∠ACB=90°，

所以AB=BC2+AC2

=32+42

=5，

因为将△ADE沿DE翻折得△DEF，

所以AD=DF，∠A=∠DFE，

又因为FD平分∠EFB，

所以∠DFE=∠DFH，

所以∠DFH=∠A，

所以sin∠DFH=sin∠A=BCAB=35，

又因为sin∠DFH=DHDF，

所以DHDF=35，

设DH=3x，则有

DF=AD=5x，

所以BD=5-5x，

因为DH∥AC，

所以△BDH∽△BAC，

所以BDAB=DHAC，

所以5-5x5=3x4，

所以x=47，

所以AD=5x=207.

故选（D）.

2 矩形中的翻折

例2 图3

如图3所示，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，点E，F分别是矩形的边AD，BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF，BG，BE，EF与BG交于点N.则下列结论成立的是（）.

①BN=AB;

②当点G与点D重合时，EF=352;

③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72;

④当CF=52时，S△MEG=3134.

（A）①②. （B）③④.

（C）②③.（D）②④.

图4

解 ①如图4，因为

∠A=90°，

AB=3，

AD=BC=6，

所以BD=AB2+AD2

=32+62

=35，

所以3

由BN=12BG，可知BN的值是变化的，而AB=3是定值，

所以BN与AB不一定相等，故①错误;

②如图4，当D，G重合时，因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，

所以∠DEF=∠EFB，

由翻折的性质可知

FB=FG，∠EFB=∠EFG，

所以∠GEF=∠EFG，

所以GE=GF=BF，

因为GE∥BF，

所以四边形BEGF是平行四边形，

因为FB=FG，

所以四边形BEGF是菱形，

所以BE=EG，

设BE=x，则有DE=x，

AE=AD-DE=6-x，

因为AB2+AE2=BE2，

所以32+（6-x）2=x2，

所以x=154，

即DE=154，

因为S菱形BEDF=DE·AB=12·BD·EF，

所以EF=2DE×ABBD=2×3×15435=352，

故②正确;图5

③当点A，E重合时，如图5，△GNF的面积最小，

最小值=14S正方形ABFG

=14×32=94，

当D，G重合时，如图4，△GNF的面积最大，

最大值=14S菱形BFGE=14×154×3=4516，

所以94≤S△GNF≤4516，

故③错误;

④如图3中，当CF=52时，

BF=BE=BC-CF=6-52=72，

GM=AB=3，

所以AE=EM=BE2-AB2

=722-32=132，

所以S△MEG=12·ME·GM

=12×132×3

=3134.

故④正确.

故选（D）.

3 圆弧的翻折

例3 图6

如图6，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D，再将BD沿AB翻折交BC于点E，若BE=DE，设∠ABC=α，则α所在的范围是（）

（A）21.9°<α<22.3°.

（B）22.3°<α<22.7°.

（C）22.7°<α<23.1°.

（D）23.1°<α<23.5°.

解 如图7，连接AC，CD，DE.

設BDC所在的圆为⊙O1，BED所在的圆为⊙O2，

因为ED=EB，

所以ED=EB，

所以∠EDB=∠EBD=α，

由BC沿BC翻折交AB于点D，BD沿AB翻折交BC于点可知：BDC所在的圆⊙O1，BED所在的圆⊙O2与⊙O是三个等圆，在这三个等圆中，同一个圆周角∠ABC所对的三条弧分别为CD，DE，AC，

所以AC=CD=DE，

所以AC=CD=DE，

所以∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠EBD=2α，

所以∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α，

因为AB是⊙O的直径，

所以∠ACB=90°，

所以∠CAB+∠ABC=90°，

所以3α+α=90°，

所以α=22.5°，

由题设选择项可知（B）符合要求，

故选（B）.