第12届(2010年) “希望杯”全国数学邀请赛试题初中二年级 第1试

一、选择题

1. 设x=2001-2000，y=2000-1999， 则x，y的大小关系是（）

（A） x>y.（B） x=y.

（C） x

2. 代数式x+x-1+x-2的最小值是（）

（A） 0.（B） 1+2.

（C） 1.（D） 不存在的.

3.设b≠c，且满足（3+1）（a-b）+2（b-c）=a-c，则a-bb-c的值（）

（A） 大于零.（B） 等于零.

（C） 小于零.（D） 的正负号不确定.

4.设y=x4-4x3+8x2-8x+5，其中x为任意实数，则y的取值范围是（）

（A） 一切实数.

（B） 一切正实数.

（C） 一切大于或等于5的实数.

（D） 一切大于或等于2的实数.

5.已知点D在线段EF上，下列四个等式：

① DE=2DF，

② DE=13EF，

③ EF=2DF，

④DF=12DE，

其中能表示：点D是线段EF的一个三等分点的表达式是（）

（A） ①②③.（B） ②③④.

（C） ①②④.（D） ①③④.

6.已知△ABC中，∠B=60°， ∠C>∠A，且（∠C）2=（∠A）2+（∠B）2， 則△ABC的形状是（）

（A） 锐角三角形.

（B） 直角三角形.

（C） 钝角三角形.

（D） 直角或钝角三角形.

7.凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是（）

（A） 4.（B） 5.

（C） 6.（D） 7.

图1

8.如图1，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a， AF=b， 若SEFGH=23，则|b-a|等于（）

（A） 22. （B） 23.

（C） 32.（D） 33.

9.某工厂生产的灯泡中有15是次品，实际检查时，只发现其中的45被剔除，另有120的正品也被误以为是次品而剔除，其余的灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率是（）

（A） 4%.（B） 5%.

（C） 6.25%.（D） 7.25%.

10.在正常情况下，一个司机每天驾车行驶t小时，且平均速度为v千米/小时，若他一天内多行驶1小时，平均速度比平时快5千米/小时，则比平时多行驶70千米，若他一天内少行驶1小时，平均速度比平时慢5千米/小时，他将比平时少行驶（）

（A） 60千米.（B） 70千米.

（C） 75千米.（D） 80千米.

二、A组填空题

11.计算：2001×20002000-2000×20012001=.

12.已知关于x的不等式2m+x3≤4mx-12的解是x≥34，那么m的值是.

13.Root of the equation x3+x15+x35+x63=2 is.

（英汉小字典：root根; equation方程.）

14.已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，那么a+b的值是.

15.若三角形的三个外角的比是2∶3∶4，则它的三个内角的比是.

16.若∠A的补角的余角大于30°，12∠B的余角的补角小于150°，那么∠A与∠B的大小关系是.

17.如图2，△ABC中，∠A=30°，CD是∠BCA的平分线，ED是∠CDA的平分线，EF是∠DEA的平分线，DF=FE，那么∠B的大小是.

图2图3

18.如图3，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是.

19.已知x， y， z为实数，且满足x+2y-z=6，x-y+2z=3， 那么x2+y2+z2的最小值是.

20.已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，那么n=.

三、B组填空题

21.设A=|2x+1|-|1-2x|，则当x<-12时，A=;当x>12时，A=.

22.Suppose both a and b are integer. As （a-2b）（8-a）=1， then a+b=or.（英汉小字典：integer整数.）

图4

23.如图4，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1， ∠B2， ∠B3， ∠B4， ∠B5，它们的和等于;若延长凸n边形（n≥5）的各边相交，则得到的n个角的和等于.

24.我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称.干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.在纪年时，同时分别从甲子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去.已知公元2001年是辛巳年，那么公元1999年是年，上一个辛巳年是公元年.

25.若ab=bc=cd=da，则a-b+c-da+b-c+d的值是或.

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案CBCDCABDBA

提示

1.x=2001-2000=12001+2000，

y=2000-1999=12000+1999，

因为 2001+2000>2000+1999，

所以x

选（C）.

2.要使代数式x+x-1+x-2有意义，需满足条件：

x≥0

x-1[]≥[]0

x-2≥0，

所以x≥2.

当x≥2时，

x+x-1+x-2

≥2+2-1+2-2

=2+1.

即x=2时，原代数式取得最小值2+1.

选（B）.

3.因为（3+1）（a-b）+2（b-c）

=a-c，

所以（3+1）（a-b）+2（b-c）-

（a-b）-（b-c）=0，

所以3（a-b）+（2-1）（b-c）=0，

即3（a-b）=（1-2）（b-c）.

因为b≠c，b-c≠0.

所以a-b[]b-c[SX）]=[SX（]1-[KF（]2[KF）][][KF（]3[KF）][SX）]<0.

选（C）.

4.y=x4-4x3+8x2-8x+5

=x4+4x2+4-4x3+4x2-8x+1

=（x2+2）2-4x（x2+2）+（2x）2+1

=[（x2+2）-2x]2+1

=[（x-1）2+1]2+1，

因为（x-1）2≥0，

所以（x-1）2+1≥1.

所以当x=1时，y取得最小值2，即y的取值范围是一切大于等于2的实数.

选（D）.

5.点D在线段EF上.

①若DE=2DF，则D是线段EF的一个三等分点.所以①正确.

②若DE=13EF，同样点D是线段EF的一个三等分点.

所以②正确.

④若DF=12DE，点D也是线段EF的一个三等分点.

所以④正确.

综上可知①、②、④正确.

故选（C）.

6.△ABC中，∠B=60°，∠C>∠A，

设∠C=60°+x，则∠A=60°-x.

因为（∠C）2=（∠A）2+（∠B）2

所以 （∠B）2=（∠C）2-（∠A）2

=（∠C+∠A）（∠C-∠A），

所以3600=120×2x，

所以x=15°.

所以∠C=75°，∠A=45°.

故△ABC是锐角三角形.

故选（A）.

图5

7.因为凸n边形的外角和为360°，所以在外角中最多有3个角为钝角，即内角中最多有3个不是钝角，再加上2个内角为钝角.

所以n≤5.

由图5知，可以作出n=5的多边形符合条件，

故选（B）.

图6

8.如图6，△AEF为直角三角形.

所以EF2=AE2+AF2.

又△AEF≌△DHE，

所以AF=DE，

所以a+b=1， a2+b2=23，①②

①2-②，得2ab=13，③

②-③，得（a-b）2=13，

所以|a-b|=33.

故選（D）.

9.设工厂的总产量为M，则次品为15M;正品为45M;检查时，被剔除的次品数为

15M×45=425M，

被剔除的正品数为

45M×120=125M.

所以出售的产品中次品数为

15M-425M=125M.

而出售产品的总量为

125M+45M-125M=45M.

所以该工厂出售的灯泡中次品所占的百分率为

125M45M×100%=5%.

故选（B）.

10.由题意知

（t+1）（v+5）-vt=70，

即5t+v+5=70，

所以5t+v=65，

若每天少行驶1小时，且速度比平时慢5千米/小时，则

vt-（t-1）（v-5）

=vt-vt+5t+v-5

=60（千米）.

故选（A）.

二、A组填空题

题号1112131415

答案091092315∶3∶1

题号1617181920

答案∠A>∠B50°233143

提示

11.设a=2000，则

原式=（a+1）·（10000a+a）-

a[10000（a+1）+a+1]

=10001·a·（a+1）-10001·a·（a+1）

=0.

12.原不等式可化为

4m+2x≤12mx-3，

所以（12m-2）x≥4m+3，①

又因为原不等式的解为x≥34，

即4x≥3，②

比较①、②有

412m-2=34m+3，

解得m=910.

13.因为13=11×3=12×1-13，

115=13×5=12×13-15，

135=15×7=12×15-17，

163=17×9=12×17-19.

所以原方程化为

121-13x+1213-15x+1215-17x+1217-19x=2.

所以121-19x=2.

解得x=92.

14.因为x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，

所以 x4+ax2+b

=（x2+2x+5）·（x2+mx+n）

=x4+（2+m）x3+（2m+n+5）x2

+（5m+2n）x+5n，

比较对应各项系数知

2+m=0，2m+n+5=a，5m+2n=0，5n=b，

解得m=-2，n=5.

所以a=2m+n+5=6，

b=5n=25，

所以a+b=31.

15.设三角形的三个外角分别为2k、3k、4k.

因为三角形的外角和为360°，

所以三个外角分别为80°、120°、160°.

相应的三个内角分别为100°、60°、20°.

所以三个内角之比为5∶3∶1.

16.由已知得

90°-（180°-∠A）>30°，

所以∠A>120°.

又180°-90°-12∠B<150°.

所以12∠B<60°，

即∠B<120°，

所以∠A>∠B.

图7

17.如图7，在△DEF中，DF=EF，

所以∠FDE=∠FED，

即∠4=∠5.

又CD、DE、EF分别是∠BCA，∠ADC，∠AED的平分线，

所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.

所以∠5=∠3.

所以EF∥CD

（内错角相等，两直线平行）.

所以∠6=∠2，

即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.

又∠1=∠3，

所以BC∥DE.

所以∠B=∠4=∠1.

所以∠ACB=2∠B.

在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°.

所以30°+3∠B=180°.

所以∠B=50°.

图8

18.如图8，取AD的中点F，连接PF、CF.

因为ABCD是菱形，

所以AD=DC，

∠1=∠2.

在△DEP和△DFP中，

DE=DF，∠1=∠2，DP=DP，

所以△DEP≌△DFP，

PE=PF.

又PE+PC=1，

所以PF+PC=1.

当P点在BD上运动时，只有当F、P、C三点共线时，PF+PC的值最小.

即PF+PC≥FC，

所以FC≤1，

在△FDC中，∠CDF=60°，

DF=12DC.

所以△FDC是直角三角形，

∠CFD=90°.

設AB=CD=x，则

DF=12x，

FC=CD2-DF2=32x.

所以32x≤1，x≤233.

所以AB≤233，

即AB的最大值为233.

19.已知x+2y-z=6，x-y+2z=3，①②

①-②得3y=3z+3，

即y=z+1.③

③代入①得 x+2（z+1）-z=6，

即x=4-z.

所以x2+y2+z2

=（4-z）2+（z+1）2+z2

=16-8z+z2+z2+2z+1+z2

=3（z-1）2+14

≥14.

当z=1，y=2，x=3时，x2+y2+z2取得最小值14.

20.因为 n4-16n2+100

=n4+20n2+100-36n2

=（n2+10）2-36n2

=（n2+6n+10）（n2-6n+10），

因为n4-16n2+100为质数且n是正整数，

又n2+6n+10≠1，

所以n2-6n+10=1，

即（n-3）2=0，

所以n=3.

三、B组填空题

题号2122232425

答案-2;210;14180°;（n-4）180°己卯;19410;-2

提示

21.当x<-12时，

2x+1<0， 1-2x>0，

所以A=|2x+1|-|1-2x|

=-（2x+1）-（1-2x）

=-2.

当x>12时，2x+1>0， 1-2x<0.

所以A=|2x+1|-|1-2x|

=2x+1-（2x-1）

=2.

22.因为a，b均为整数，

所以a-2b，8-a为整数，

又（a-2b）·（8-a）=1，

所以a-2b=1，8-a=1，或a-2b=-1，8-a=-1.

解得a=7，b=3，或a=9，b=5.

所以a+b=10，或a+b=14.

图9

23.（1）因为∠B1A1A2是△A1B2B4的外角（如图9）.

所以 ∠B1A1A2

=∠B2+∠B4，

又∠B1A2A1是△A2B3B5的外角，

所以∠B1A2A1=∠B3+∠B5，

所以 ∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5

=∠B1+∠B1A1A2+∠B1A2A1

=180°.

当多边形为n边形时（n≥5），顺次连接B1B2，B2B3，…，BnB1.则多边形B1B2…Bn为n边形，它的内角和为（n-2）·180°.

∠B1A2B2+∠B2A3B3+…+∠BnA1B1

=（n-2）·180°.

又n个小三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…，△BnA1B1的内角均为180°，一共是n·180°，即∠B1+∠B2+…+∠Bn等于n边形内角和減去n个小三角形的内角和，再加上

n边形A1A2…An的内角和.

所以∠B1+∠B2+…+∠Bn

=（n-2）·180°-n·180°+（n-2）·180°

=（n-4）180°.

（2）如图9，在△B1A1A2中，

∠B1+∠B1A1A2+∠B1A2A1=180°，

其中∠B1A1A2与∠B1A2A1都是多边形A1A2…An的外角.

将这n个小三角形△B1A1A2、△B2A2A3，…，△BnAnA1的内角全部加起来，得

n·180°=∠B1+∠B2+…+∠Bn-2·（n边形外角和）

所以 ∠B1+∠B2+…+∠Bn=（n-4）180°.

当n=5时，

∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°.

24.己卯;1941.

25.设ab=bc=cd=da=k，

所以d=a·k，c=d·k=a·k2，

b=c·k=a·k3，a=b·k=a·k4.

所以k4=1，

即k=±1.

当k=1时，a=b=c=d.

a-b+c-da+b-c+d=0.

当k=-1时，a=-b=c=-d，

a-b+c-da+b-c+d=-2.