初中二年级 第2试

一、选择题

1.化简代数式3+22+3-22的结果是（）

（A） 3.（B） 1+2.

（C） 2+2.（D） 22.

2.已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时，所得的余数是1，除以x-2时所得的余数是3，那么多项式ax3+bx2+cx+d除以（x-1）（x-2）时，所得的余式是（）

（A） 2x-1.（B） 2x+1.

（C） x+1.（D） x-1.

3.已知a<1且a-ba+b=a，那么（）

（A） ab<0.（B） ab>0.

（C） ab≤0.（D） a+b<0.

4.若|a|<|c|， b=a+c2， |b|<2|a|， S1=a-bc，S2=b-ca，S3=a-cb，则S1、 S2、 S3的大小关系是（）

（A） S1S2>S3.

（C） S1S3>S2.

5.若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）

（A） 直角三角形. （B） 等边三角形.

（C） 等腰三角形.（D） 等腰直角三角形.

6.若△ABC的三边长是a、b、c，且满足a4=b4+c4-b2c2，b4=c4+a4-a2c2，c4=a4+b4-a2b2，则△ABC是（）

（A） 钝角三角形. （B） 直角三角形.

（C） 等腰直角三角形.（D） 等边三角形.

7.平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（）

（A） n（n-1）.（B） n2-n+1.

（C） n2-n2.（D） n2-n+22.

图1

8.In Fig.1， let△ABC be an equilateral triangle， D and E be points on edges AB and AC respectively， F be intersection of segments BE and CD， and∠BFC=120°， then the magnitude relation between AD and CE is （）

（A） AD>CE.（B） AD

（C） AD=CE.（D） indefinite.

（英汉词典：equilateral 等边的;intersection 交点;magnitude 大小，量;indefinite 不确定的）

9.已知两个不同的质数p、q满足下列关系：p2-2001p+m=0， q2-2001q+m=0，m是适当的整数，那么p2+q2的数值是（）

（A） 4004006.（B） 3996005.

（C） 3996003.（D） 4004004.

10.小张上周工作a小时，每小时的工资为b元，本周他的工作时间比上周减少10%，而每小时的工资数额增加10%，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（）

（A） 增加1%.（B） 减少1%.

（C） 增加1.5%.（D） 减少1.5%.

二、填空题

11.化简：2+5-3230-62+43的结果是.

12.已知p、q为实数，且q>3，满足p2q+12p-12≤3p2+4pq-4q，那么p-2q-3的值等于.

13.无理数（1+2）4的整数部分是.

14.设a、b、c均为不小于3的实数，则a-2+b+1+|1-c-1|的最小值是.图2

15.如图2，直线AB∥CD， ∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是.

16.代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值是.

17.有大小两个杯子，大杯中盛满48升纯酒精，第一次倒出一小杯纯酒精后，用水加满大杯，第二次又倒出一小杯混合溶液，再用水加满大杯，这时大杯中还剩余27升纯酒精，那么小杯的容积是.

18.If p and q are unequal primes， m and n are unequal positive integers satisfying m2-pm+q=0 andn2-pn+q=0，then the value of p+q is.（英漢词典：prime 质数.）

图3

19.如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E分别在AB、AC上，且DE⊥AB，若DE将△ABC分成面积相等的两部分，那么线段CE与AE的长度的比是.

图4

20.如图4，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3， EF=4，那么线段AD与AB的比等于.

三、解答题

21.6个排球队参加小组循环赛，取前4名参加第二阶段比赛，每赛一场，胜队得一分，负队不得分，且没有平局，结果有3个队并列第一名，1个队得第四名，他们得到了小组出线权，请写出各队得分的情况，并说明理由.

22.从甲站到乙站共有800千米，开始400千米是平路，接着300千米是上坡路，余下的是下坡路，已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3∶4∶5.

（1） 若火车在平路上的速度是80千米/小时，那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站到甲站所用的时间多多少小时？

（2） 若要求火车来回所用的时间相同，那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在平路上的速度的比是多少？

图5

23.如图5，等边△ABC的边长a=25+123，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2， 若PC=5，求PA、PB的长.

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案DABACDDCBB

提示

1.设y=3+22+3-22，

y>0，

所以y2=3+22+23+22·

3-22+3-22

=6+29-8

=8.

所以y=22.

故选（D）.

2.设ax3+bx2+cx+d

=（x-1）（x-2）（ax+m）+px+q，

因为ax3+bx2+cx+d分别除以x-1，x-2时所得余数是1和3.

所以当x=1时，px+q=1，即p+q=1，

当x=2时，px+q=3，即2p+q=3，

解得p=2，q=-1.

所以ax3+bx2+cx+d除以（x-1）（x-2）时，所得余式是2x-1.

故选（A）.

3.因为a<1且a-ba+b=a，

所以0≤a<1，

若a=0，则a-b=0，即a=b=0与分母a+b≠0矛盾.

所以a≠0.

所以0

所以|a-b|<|a+b|，

两边平方，得

a2-2ab+b2

所以4ab>0，ab>0.

故选（B）.

4.因为b=a+c2，

所以S1=a-bc=a-[SX（]a+c[]2[SX）]c=a-c2c，

S2=b-ca=[SX（]a+c[]2[SX）]-ca=a-c2a，

因为|a|<|c|，

所以S1

又|b|<2|a|，

所以S3=a-cb>a-c2a=S2，

所以S1

故选（A）.

图6

5.如图6，△ABC中，外角∠ACD的平分线CE∥AB.

所以∠ACE=∠CAB，

∠ECD=∠ABC.

因为∠ACE=∠ECD，

所以∠CAB=∠ABC，

所以AC=BC，

所以△ABC是等腰三角形.

故选（C）.

6.在△ABC中，a4=b4+c4-b2c2，且

b4=c4+a4-a2c2，c4=a4+b4-a2b2，

三式相加得a4+b4+c4

=2a4+2b4+2c4-b2c2-a2b2-a2c2，

所以a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2=0.

所以2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=0.

所以（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2=0.

所以a2=b2=c2，

即a=b=c，

所以△ABC为等边三角形.

故选（D）.

7.平面内n条直线两两相交，最少有一个交点，而n条直线都经过一个定点有b=1.

若每两条直线相交，交点均不重合，可以有n（n-1）2个交点，即a=n（n-1）2.

所以a+b=n（n-1）2+1=n2-n+22.

故选（D）.

8.在△BFC中，∠BFC=120°，

所以∠FBC+∠FCB=60°，

又△ABC是等边三角形，

所以AC=BC，∠ACB=60°，

所以∠ACD=∠CBE，

在△ACD和△CBE中，

∠ACD=∠CBE，AC=BC，∠DAC=∠ECB，

所以△ACD≌△CBE，

所以AD=CE.

故选（C）.

9.由题意得p≠q，且p、q互为质数.

又p、q是二次方程x2-2001x+m=0的根，

由韋达定律得

p+q=2001，

因为p、q均为质数且p、q中有一个是奇数，另一个是偶数.

所以p、q中有一个为2，

不妨设p=2，则q=1999.

所以p2+q2=4+19992=3996005.

故选（B）.

10.小张上周的工资总额为ab元，他本周的工作时间为a（1-10%）小时，每小时工资金额为b（1+10%）.

所以a（1-10%）·b（1+10%）=0.99ab.

所以本周工资与上周工资相比，减少1%.

故选（B）.

二、填空题

题号1112131415

答案6120332+240°

题号1617181920

答案1312升56-222524

提示：

11. 2+5-3230-62+43 =2+5-3230-18+12

=2+5-3265+2-3

=126=612.

12.因为p2q+12p-12≤3p2+4pq-4q，

所以p2（q-3）+4p（3-q）-4（3-q）≤0，

所以（q-3）（p2-4p+4）≤0，

即（q-3）（p-2）2≤0，

因为q>3，

所以q-3>0，

所以（p-2）2≤0，

又（p-2）2≥0，

所以p=2.

所以p-2q-3=0.

13.1+24=（1+2）22

=（3+22）2，

又 （3+22）2+（3-22）2

=9+122+8+9-122+8

=34.

且0<3-22<1，

0<（3-22）2<1，

所以（1+2）4的整數部分是33.

14.因为a≥3，

所以a-2≥1，a-2≥1，

又b≥3，

所以b+1≥4，b+1≥2.

因为c≥3，

所以c-1≥2，c-1≥2，

所以1-c-1=c-1-1≥2-1，

所以a-2+b+1+1-c-1

≥1+2+2-1=2+2，

所以a-2+[KF（]b+1[KF）]+1-c-1的最小值是2+2.

图7

15.如图7，过G作RG∥AB，过点H作ST∥CD，交MN于T.

因为AB∥RG，

所以∠FGR=∠EFA

=30°，

因为RG∥SH，

所以∠SHG=180°-∠HGR

=180°-（90°-30°）

=120°.

因为HT∥CD，

所以∠HTN=∠CNP=50°.

又∠HTN是△HTM的外角，

所以 ∠MHT=∠HTN-∠HMT

=50°-30°

=20°.

∠GHM=∠GHT-∠MHT

=60°-20°=40°.

图8

16.如图8，作线段AB=12，在AB上取AC=x，则BC=12-x，以AC为长，2为宽作长方形ACDE，则

CE=x2+4.

在AB的另一侧作长方形BCGF，使BF=3则

CF=（12-x）2+9.

所以 x2+4+（12-x）2+9=EC+CF.

由图可知，当E、C、F不在一条直线上时，

EC+CF>EF.

当E、C、F三点在同一直线上时，

EC+CF=EF=122+52=13.

所以x2+4+（12-x）2+9的最小值是13.

17.设小杯的容积是x升，第一次倒出一小杯后，大杯中剩余纯酒精为（48-x）升，加满水后，此时酒精浓度为48-x48;第二次倒出一小杯后，大杯中剩余的纯酒精为

（48-x）·48-x48（升）.

所以（48-x）·48-x48=27，

所以（48-x）2=1296，

所以48-x=36，x=12（升），

所以小杯的容积是12升.

18.因为m≠n且m，n是二次方程x2-px+q=0的根.

所以m+n=p， mn=q，

又q为质数，m、n为正整数，

所以m、n中必有一个数为1.

不妨设m=1，则1+n=p， n=q，

所以p=q+1，

又p、q均为质数，

所以q=2， p=3.

所以p+q=5.

图9

19.如图9，设BC=a，则

AB=2a，AC=3a，

S△ABC=12·a·3a=32a2.

在Rt△ADE中，∠A=30°.

设AE=x，则

DE=12x，AD=32x，

S△ADE=12×12x×32x=38x2，

因为S△ADE=12S△ABC，

所以34x2=32a2，

所以x=2a，

因为AC=3a，AE=2a，

所以CE=（3-2）a，

所以CEAE=3-22=6-22.

图10

20.如图10，将△AEH折起与△MEH重合.

所以AE=EM，

同理，将△BEF折起与△MEF重合.

所以BE=EM，

所以AE=BE，

E是AB的中点.

同理可得G是CD的中点，连结EG，

EG=[HT7][KG-1*3]∥[JX*2/3][HT]AD.

又EG是矩形EFGH的一条对角线.

所以EG=HF，AD=HF.

在矩形EFGH中，EH=3，EF=4，

所以HF=5.

所以AD=5.

又在Rt△EFH中，

S△EFH=12·EM·HF=12EH·EF.

所以EM=EH·EFHF=125.

又E是AB中点，

所以AB=2AE=2EM=245.

所以ADAB=5245=2524.

三、解答题

21.设各队得分分别是x， x， x， y， z， w，且

x>y>z≥w≥0.

因为6个队之间共比赛6×52=15场，

所以3x+y+z+w=15.

首先，最后两名之间也有一场比赛，

所以z与w不可能都得0，

因而z≥1， y≥2，

即y+z+w≥3.

当y+z+w=3时，3x=15-3=12，

所以x=4， y=2， z=1， w=0.

当y+z+w>3时，y+z+w=15-3x，

則y+z+w可以被3整除，

因此y+z+w≥6，

所以3x≤9，x≤3.

因为x>y，

所以y≤2，

此时y+z+w<2+2+2=6与y+z+w≥6矛盾，

所以当y+z+w>3时无解，

因此6个队得分分别是4， 4， 4， 2， 1， 0.

22.（1） 甲乙两地之间的距离是800千米，开始400千米是平路，接着300千米是上坡路，所

以下

坡路是100千米，火车在平路上的速度是80千米/小时，所以火车在上坡路上的速度是60千

米/小时，在下坡路上的速度是100千米/小时.所以，火车从甲地到乙地用的时间为

40080+30060+100100=11（小时），

火车从乙地到甲地用的时间为

40080+300100+10060=923（小时），

所以从甲地到乙地用的时间比从乙地到甲地用的时间多43（小时）.

（2） 设火车从甲地到乙地在平路上的速度是4V1千米/小时，则它在上坡路上的速度是3V1千米/小时，在下坡路上的速度是5V1千米/小时，则火车从甲地到乙地用的时间为

4004V1+3003V1+1005V1=220V1小时.

同样，设火车从乙地到甲地在平路上的速度是4V2千米/小时，则它在上坡路上的速度是3V2千米/小时，在下坡路上的速度是5V2千米/小时，则火车从乙地到甲地用的时间为

4004V2+3005V2+1003V2=5803V2小时.

依题意有220V1=5803V2，

所以V1V2=3329.

图11

23.设△ABC、△PAB、△PBC、△PAC的面积分别是S、S1、S2、S3，线段PA、PB、PC的长分别是x、y、z，如图11，把△APC绕点A顺时针旋转60°，得△AP′B，连结PP′，

则△APP′是等边三角形且边长AP=x.

因为PC2=PA2+PB2，

即z2=x2+y2，

又P′B=PC=z，

PP′=x，

所以在△PP′B中，满足

P′B2=PP′2+PB2，

即△PP′B是直角三角形.

于是S四边形APBP′=S1+S3

=S△P′AP+S△P′PB，

即S1+S3=34x2+12xy①

将△APB绕B顺时针旋转60°，将△APC绕C逆时针转60°，可分别得

S1+S2=34y2+12xy②

S3+S2=34z2+12xy③

①+②+③得

S=S1+S2+S3

=1234（x2+y2+z2）+32xy

=34z2+34xy.

又S=34a2，

所以34a2=34z2+34xy，

即3xy=a2-z2④

又由已知和④得

x2+y2=25，3xy=（25+123）2-25.

所以x2+y2=25，xy=12⑤⑥

因为x>0， y>0，

解方程组得x=4，y=3;或x=3，y=4.

所以PA=4， PB=3，

或PA=3， PB=4.