垂线在角平分线中的应用

张兴筑中学高级教师，市、县优秀教师，多年来潜心研究教法和学法，有20多篇论文在《数理天地》、《中小学数学》、《湖北教育》、《教学与管理》等杂志上发表。

性质 垂直于角平分线的直线截角的两边，所截得的三角形是等腰三角形.

图1

已知：如图1，OP是∠MON的平分线，AB⊥OP，交ON于点A，交OM于点B，垂足为点C.求证：OB=OA.

证明 因为 OP平分∠MON，

所以∠BOC=∠AOC.

因为AB⊥OP，

所以∠OCB=∠OCA=90°.

在△BOC和△AOC中，

∠BOC=∠AOC，OC=OC，∠OCB=∠OCA，

所以△BOC≌△AOC.

于是OB=OA.

应用

例1 图2

如图2，已知AD是△ABC外角的平分线，CD⊥AD，垂足为点D，点E是BC的中点，连接DE.

求证：DE=12（AB+AC）.

证明 如图2，延长CD，交BA的延长线于點F.

因为AD平分∠CAF，

CD⊥AD，

由性质可得

AC=AF.

所以CD=DF.

因为CE=EB，

所以DE=12BF.

因为BF=AB+AF，

所以DE=12（AB+AC）.

图3

例2 如图3，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BD，交BD的延长线于点E. 求证：BD=2AE.

证明 如图3，延长AE和BC交于点F.

因为BD平分∠ABC，

AE⊥BD，

由性质可得AB=FB.

所以AF=2AE.

因为AE⊥BD，

所以∠F+∠CBD=90°.

因为∠ACB=90°，

所以∠BDC+∠CBD=90°.

于是∠F=∠BDC.

在△ACF和△BCD中，

∠F=∠BDC，∠ACF=∠BCD，AC=BC，

所以△ACF≌△BCD.

可得AF=BD.

所以BD=2AE.

图4

例3 如图4，已知△ABC的周长为19，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，且AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为点D和点E. 连接DE， 若BC=7，求DE的长.

解 如图4，延长AE和AD，与BC分别交于点M和点N.

因为BD平分∠ABC，

AD⊥BD，

CE平分∠ACB，

AE⊥CE，

由性质可得AB=BN，AC=CM.

所以点D，E分别为AN，AM的中点.

于是DE=12MN.

因为△ABC的周长为19，BC=7，

所以AB+AC=12.

从而BN+CM=12.

因为BN=MN+BM，

BM+CM=BC=7，

所以MN=5.

因此DE=52.

注 由以上三例可以看出，解决这类问题的关键，是作角平分线的垂线，使它与角的两边相交，这样才能应用性质，同时也为解题者提供了添加辅助线的方法.

练习

1.如图5，已知AO是△ABC的角平分线，BD⊥AO交AO的延长线于点D，DE∥AC交BC于点E，连接AE，CD.若AB=3AC，求证四边形ACDE是平行四边形.

图5图6

2.如图6，已知在△ABC中，点E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D. 求证：BC-AC=2DE.