挖掘本质 触类旁通 聚焦素养

阮金锋

【摘 要】  解三角形是高考考查的重点内容，常涉及两大题型：已知含边角的關系式，求角或边;与周长、面积有关的最值问题.本文以2020年新高考全国Ⅱ卷第17题为例，深入挖掘这两大题型的本质，进行编题尝试，解法探究，变式探究，触类旁通，以便归纳总结出此类问题的基本模型、一般策略方法，提升核心素养.

【关键词】  解三角形;最值;正（余）弦定理

1 问题提出

例1   △ABC中， sin  2A- sin  2B- sin  2C= sin B sin C.

（1）求A;

（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.  （2020年全国Ⅱ卷）

分析   试题以三角形为载体，涉及三角形的边、角、周长等元素或其相应的关系式，考查正 （余） 弦定理的边角转化关系、基本不等式、三角函数有关等知识.试题有两问，分别涉及两大问题，第（1）问：已知一个含边角的关系式，求角或边;第（2）问：已知一边一对角，求与周长有关的最值.这两大问题是高考常考题型，如何让学生很好地掌握，是教师所思考与关注的课题.为了解决以上问题，文章通过挖掘本质，对第一种题型进行编题尝试，对第二种题型进行解法探究、变式探究，触类旁通，以便归纳总结出此类问题的基本模型、一般策略方法，提升核心素养.

解   （1）由 sin 2 A- sin 2 B- sin 2 C= sin B sin C，

可得 a 2-b 2-c 2=bc，

于是  cos A= b 2+c 2-a 2 2bc =- 1 2 ，

因为 A∈（0，π），

所以 A= 2π 3 .

2 编题尝试

已知一个含边角的关系式，求边或角，是高考中最常考的一种题型，一般设计在第一问，难度不高，但有些同学因基础知识不过关导致丢分.解决这类问题，本质上主要根据正 （余） 弦定理，为了更好地让学生掌握，本文采取新的尝试，反其道而行之，进行编题尝试.

编题  已知△ABC的内角A，B，C及其对边a，b，c， ，求A.

（横线中填一个能推出A= 2π 3 的边角关系）

分析  A= 2π 3  a 2-b 2-c 2=bc，

sin 2 A- sin  2B= sin 2 C+ sin B sin C，

a -  3  2  = b  sin B  a sin B+  3  2 b=0，

……

A= 2π 3

（a-b）（ sin A+ sin B）=c（ sin C+ sin B）

……

A= 2π 3   sin  A- π 6  =1，

3  sin A- cos A=2 ……

3 解法探究

本题第（2）问研究解三角最值问题，本质上可归结于：已知一角一对边，求周长的最值 （即两边和的最值） .现对其几种常见解法进行探究.

解法1   由余弦定理得

a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2+bc=9，

即 （b+c） 2-bc=9.

因为 bc≤  b+c 2   2，

（当且仅当b=c时等号成立） ，

所以 9=（b+c） 2-bc

≥（b+c） 2-  b+c 2   2= 3 4 （b+c） 2，

即 b+c≤2 3 ，

（当且仅当b=c时等号成立） ，

故 △ABC周长的最大值为3+2 3 .

解法2   由（1）知 A= 2π 3 ，且a=3.

由正弦定理  a  sin A = b  sin B = c  sin C =2 3 ，

所以 b+c=2 3  sin B+2 3  sin C.

由A+B+C=π可知 B= π 3 -C，

则 0

所以 b+c =2 3  sin   π 3 -C +2 3  sin C

=2 3  sin   π 3 +C ，

易知当C= π 6 时，（b+c）   max  =2 3 ，

所以 △ABC周长的最大值为3+2 3 .

解法3   由 a  sin A =2R=2 3 ，得

该三角形外接圆半径为 3 ，作出该圆如图1所示.

由题意可知 BC=3，A= 2π 3 .

依题意得，当AC=AB时，△ABC周長的最大值为

3+2 3 .

4 变式探究

三角形有六个要素 （三个角、三条边） ，解三角的本质为：已知三个要素 （至少含有一条边） ，便可解三角形 （即求出其它的要素） .类似的，解三角最值问题也是以边、角为要素、研究周长、面积等的最值，其本质为：已知两个要素 （至少含有一条边） ，求最值.正如本题第二问可归结为：已知一角一对边，求周长的最值 （即两边和的最值） .按这一思维逻辑，挖掘其本质，为了探讨三角形最值问题，触类旁通，进行变式探究.

变式1 已知一角一邻边，求最值 （范围）

例2   △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a sin  A+C 2 =b sin A.

（1）求B;

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.  （2019年全国Ⅲ卷）

解  （1）由正弦定理得

sin A sin  A+C 2 = sin B sin A.

因为 A∈（0，π）， sin A≠0，

所以  sin  A+C 2 = sin B.

在△ABC中，A+B+C=π，

所以  sin  A+C 2 = cos  B 2 ，

故  cos  B 2 = sin B，

即  cos  B 2 =2 sin  B 2  cos  B 2 .

因为  cos  B 2 ≠0，

所以  sin  B 2 = 1 2 ，B= π 3 .

（2）  解法1   由余弦定理b 2=a 2-a+1， ①

又 △ABC是锐角三角形，

所以  cos A= b 2+1-a 2 2b >0，

即 b 2-a 2+1>0.  ②

同理  cos C>0，

得 a 2+b 2-1>0.  ③

联立①②③解得  1 2 

根据三角形面积公式

S  △ABC = 1 2 ac sin B=  3 a 4 ，

故求得三角形面积范围为   3  8 

解法2   由于△ABC是锐角三角形，

由（1）知 B= π 3 ，A+B+C=π，

即 A+C= 2π 3 ，

所以  0

解得  π 6 

根据正弦定理 a  sin A = c  sin C ，c=1，

由三角形面积公式有

S  △ABC  = 1 2 ac sin B= 1 2 c 2· a c · sin B

= 1 2 c 2·  sin A  sin C · sin B

=  3  4 ·  sin   2π 3 -C   sin C

= 3 8 · 1  tan C +  3  8 ，

又因為  π 6 

即  tan C>  3  3 ，

所以   3  8 < 3 8 · 1  tan C +  3  8 <  3  2 ，

故   3  8 

解法3   如图2，依题意得，在 Rt △ABC 1中，

AC 2⊥BC 1，AB=1，

B= π 3 ，BC 2= 1 2 ，BC 1=2.

要使△ABC为锐角三角形，三角形中的点C只能在C 1，C 2之间运动 （不包括这两点） ，

所以  1 2 

又 S  △ABC = 1 2 ·1·a· sin  π 3 ，

所以   3  8 

变式2 已知两边，求最值 （范围）

例3   已知锐角△ABC的内角A，B，C及其对边a，b，c，若a=1，b=2.求△ABC的面积的取值范围.

解法1   由正弦定理 a  sin A = b  sin B ，得

1  sin A = 2  sin B ，

所以  sin B=2 sin A.

因为 △ABC为锐角三角形，

所以 0

因为 0< sin B= 1 2  sin A< 1 2 ，

所以 0

于是 C=π-A-B>π- π 6 - π 2 = π 3 ，

所以  π 3 

从而 S  △ABC = 1 2 ab sin C= sin C∈   3  2 ，1 .

解法2   由余弦定理得

c 2=a 2+b 2-2ab cos C=5-4 cos C，  ①

又因為 △ABC为锐角三角形，

所以 5>c 2，且1+c 2>4，  ②

由①②得 0< cos C< 1 2 ，

即  π 3 

所以 S  △ABC = 1 2 ab sin C= sin C∈   3  2 ，1 .

变式3 已知两要素 （其他） ，求最值 （范围）

例4   在△ABC中，∠ABC= π 3 ，若D为边AC的中点，且BD=1，求△ABC面积的最大值.

解  因为BD为边AC的中线，

所以  BD  = 1 2 （ BA  + BC  ），

则  BD   2= 1 4 （ BA  + BC  ） 2

= 1 4 （c 2+a 2+2ac cos B）=1，

由基本不等式，得 4=c 2+a 2+ac≥3ac，

所以 ac≤ 4 3 ，当且仅当a=c时，等号成立.

因此 S  △ABC = 1 2 ac sin B=  3  4 ac≤  3  3 ，

故 △ABC面积的最大值为  3  3 ，

当且仅当a=c时，等号成立.

解三角形中的最值问题既用到三角函数知识，又有不等式的内容，可谓是函数、三角、不等式、向量的交汇点. 常用到三角形正弦定理、余弦定理、内角和定理、面积公式、三角形中不等关系、三角函数的图象和性质、三角恒等变形、基本不等式等.

通常解决三角形中的最值问题有两种方法： 一是化边为角，利用三角函数的有界性求解; 二是化角为边，利用均值不等式求解.