赏析新情景数列问题

摘要：数列是高中数学中的重要内容，其不仅是特殊函数，而且还与高中数学有着密切关联，且是近些年高考命题中的热点，在高考中占据着重要比重.特别是新情景下的数列运用问题，其充分反映出新情景下阅读与应用信息进行问题解决的能力，以促使学生实现高效解题.

关键词：新情景；高中数学；数列问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0074-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：张子芳（1983.3-），男，甘肃省民乐人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

本文侧重赏析以下四类新情景数列问题的解析，旨在帮助同学们明确此类问题的求解策略，进一步巩固所学数列知识在解题中的灵活应用，进而提高分析、解决问题的实际能力.

1 “周期”型数列问题

在数列问题中，当正整数n较大时，要计算an或Sn，一般是利用等差或等比数列的通项公式、求和公式求解；若数列不是等差或等比数列，则往往需要优先考虑数列的周期性.

例1在数列an中，已知a1=2，a2=3，当n≥2时，an+1是an·an-1的个位数，则a2022=.

解析根据题设得a1=2，a2=3，a3=6，a4=8，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，a11=8，a12=4，a13=2，a14=8，….

所以据此可知数列an中的各项从第3项起，会反复出现数字6，8，8，4，2，8，即具有周期性（以6为周期）.

又注意到2022=2+336×6+4，

故易知所求a2022=4.

评注通过罗列数列的前几项，可归纳获得该数列的周期性，这是本题求解的关键所在.

2 “分段”型数列问题

若所给原数列递推式是分段函数的形式，则有意识地去探求新数列的相鄰两项之间的紧密联系，往往会发现隐藏在其中的规律、特点，从而便于迅速找到解题思路.

例2（1）设数列{an}的首项a1=12，且an+1=an-12，n为偶数，an+14，n为奇数，记bn=a2n-1-14（n∈N*），试求数列{bn}的通项公式；

（2）设数列an的首项a1=1，且an+1=12an+n，n为奇数，an-2n，n为偶数.记bn=a2n-2（n∈N*），试求数列bn的前n项和Sn.

解析（1）由题设得bn+1=a2n+1-14=（a2n-12）-14=a2n-34=（a2n-1+14）-34=a2n-1-12=（a2n-1-14）-14=bn-14.

所以bn+1-bn=-14（常数）.

于是，由等差数列的定义得数列{bn}是等差数列，且b1=a1-14=12-14=14，公差为-14.

故所求bn=14+（n-1）×（-14）=2-n4.

（2）根据题设，得

bn+1=a2n+2-2

=（12a2n+1+2n+1）-2

=12a2n+1+2n-1

=12a2n-2×2n+2n-1

=12a2n-1

=12a2n-2

=12bn.

由b1=a2-2

=（12a1+1）-2

=（12×1+1）-2

=-12≠0，

易知bn≠0.

所以可得bn+1bn=12（非零常数）.

于是，根据等比数列的定义可知数列bn是等比数列，且首项b1=-12，公比为12.

故根据等比数列的通项公式可得所求bn=

-12×（12）n-1=-12n，根据等比数列的求和公式可得所求

Sn=-12［1-（12）n］1-12=12n-1.

评注（1）本题出发点是灵活运用所给数列{an}的分段递推式，考虑数列{bn}中相邻两项之间的关系式，并由此作进一步的思考；

（2）第（1）问整个求解的关键是获得数列bn为等差数列，同时要注意a2n+1=an-12的根本原因是2n+1中的2n是偶数，a2n=a2n-1+14的根本原因是2n=（2n-1）+1，且2n-1

是奇数；（3）第（2）问整个求解的关键是得到数列

{bn}为等比数列，同时要注意

a2n+2=12a2n+1+2n+1的根本原因是2n+2=（2n+1）+1，且2n+1是奇数，a2n+1=a2n-2×2n的根本原因是2n+1中的2n是偶数.

3 “新运算”型数列问题

数列问题中，如果题目给出了“新运算”，那么需要我们先认真阅读，准确理解、认识“新运算”的特点；然后再结合相关数列知识加以灵活分析、求解.

例3定义运算符号“∏”，这个符号表示若干个数相乘.

例如：可将1×2×3×…×n（n∈N*）记作：∏ni=1i（n∈N*）.

设Qn=∏ni=1ai，其中ai为数列an中的第i项.（1）若an=2n-1，则Q4=；

（2）若Qn=n2（n∈N*），则an=.

解析（1）因为an=2n-1，

所以Q4=∏4i=1ai

=a1a2a3a4

=1×3×5×7=105.

（2）因为Qn=∏ni=1ai=n2（n∈N*），

所以a1a2…an=n2n∈N*.①

于是，可知a1a2…an-1=n-12n≥2.②

从而，当n≥2时，由①÷②可得

an=（nn-1）2.

又当n=1时，an=a1=Q1=1，显然不满足上式成立.

故所求an=1，n=1，（nn-1）2，n≥2.

评注由①②两式求an时，必须要注意成立的前提条件是n≥2，否则极易出错.

4 “新定义”型数列问题数列问题中，如果题目给出了“新定义”，那么需要我们先认真学习，彻底搞清“新定义”是如何描述的；然后再结合相关数列知识加以灵活分析、求解.

例4对任意x∈R，设［x］表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=［x］叫做高斯函数（又称“取整函数”）.

（1）若an=f（n3），n∈N*，Sn是数列an的前n项和，求S30；

（2）若bn=f（log2n），n∈N*，Tn是数列bn的前n项和，求T1024.

解析（1）通过观察前n项，得

an=f（n3）=［n3］=0，1≤n<3，1，3≤n<6，2，6≤n<9，…………9，27≤n<30，10，n=30.

所以S30=0×3-1+1×6-3+2×9-6+…+9×30-27+10

=31+2+…+9+10=145.

（2）通過观察前n项，得

bn=flog2n=log2n

=0，1≤n<2，1，2≤n<22，2，22≤n<23，…………9，29≤n<210，10，n=210.

所以T1024=0×2-1+1×22-2+2×23-22+…+9×210-29+10

=1×22+2×23+…+8×29+9×210

-（1×2+2×22+3×23+…+9×29）+10

=-1×2+（1×22-2×22）+（2×23-3×23）+…+（8×29-9×29）+9×210+10

=-2+22+23+…+29+9×210+10

=-2-29×21-2+9×210+10=8204.

评注本题先将数列通项写成关于“n”的分段函数的形式，这样有利于帮助我们顺利探求规律、简洁求和.此外，要注意准确写出数列通项公式中各段“n”的取值范围.

总之，上述归类举例解析，不仅拓宽了我们的解题思维视野，增长了见识，而且可帮助我们积累一些求解数列新情景问题的经验，同时强化了相关数学知识、思想方法在解题中的灵活、综合运用能力.

一般来讲，处理新情景数列问题需要过好三关：第一关，“心理关”，需要在心理上克服畏惧、胆怯等心理活动，必须具有积极的挑战、探究、钻研精神；第二关，“阅读理解关”，通过认真阅读、思考，有利于审清题意，知道题设条件是什么，明确目标问题是什么；第三关，“运用关”，能够将所学数列知识与其他相关知识在解题中加以灵活运用，从而顺利解决目标问题.

参考文献：

［1］王夕丽.例谈数列新情境习题的教学[J].高中数理化，2020（12）：3.

[2] 冯克永.新定义数列问题赏析[J].青苹果，2014（Z1）：28-32.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 胡银伟.数列中的“新定义”问题［J］.中学生数理化，2021（11）：40-42.

［5］ 石鑫.对一类新定义型数列试题的分析——以近几年江苏高考试题为例［J］.数学教学，2018（05）：46-48+50.

［6］ 季昌英.高考数学新情境题型解答思路探究［J］.高中数理化，2020（06）：16.