利用函数的性质求参数的取值范围

摘要：函数和不等式是历年高考的重点和难点，本文介绍了在不等式恒成立或方程的问题中含参数问题的几种求参数取值范围的方法.

关键词：函数的性质；参数的取值范围；不等式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0050-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：田素伟，高级教师，从事高中数学教学研究.

函数和不等式是历年高考的重点和难点，近年来，数学高考中出现了一些重视基础、考查能力的新型试题，特别是在不等式恒成立或方程的问题中含参数的问题更是精彩纷呈，如何求这类问题中参数的取值范围？下面就常见的几种题型分别举例说明.

1 构造函数求参数的取值范围

例1如果x∈2，3时，不等式2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1恒成立，求实数a的取值范围.

解析由2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1，可得

2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1.

构造函数f（x）=2021x-2022-x，

由此可知f（x）=2021x-2022-x在（-，+）是增函数.

所以f（x+a）=2021x+a-2022-x-a，

f（ax2+1）=2021ax2+1-2022-ax2-1.

由2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1可得

f（x+a）≥f（ax2+1）.

所以x+a≥ax2+1.

所以原题可化为：当x∈2，3时，不等式x+a≥ax2+1恒成立，求实数a的取值范围.

当x∈2，3时，不等式ax2-x+1-a≤0恒成立，只需a≤x-1x2-1成立.

只需a≤1x+1成立.

只需a≤1x+1min即可.

又函數y=1x+1在x∈2，3上单调递减，

所以当x=3时，ymin=14.

所以a≤14.

所以实数a的取值范围是a≤14.

2 双变量问题先确定主变量求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2021+x，x∈R，若当θ∈0，π2时，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，求m的取值范围.

分析本题中有两个变量m和θ，题目中含有符号f，如何去掉f，利用函数的单调性即可.

解析由f（x）=x2021+x，显然f（x）为奇函数，且单调递增.

因为f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，

所以f（msinθ）>f（m-1）恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

由于θ∈0，π2，则sinθ∈0，1 ，

设t=sinθ，t∈0，1，

所以msinθ>m-1，

可化为mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

这里有两个变量m和t，因为t的取值范围已经确定，所以确定以t为主变量，把不等式转化为关于t的函数，设f（t）=mt-m+1，

（1）当m=0时，此时f（t）=1>0符合题意;

（2）当m≠0时，函数f（t）=mt-m+1是关于t的一次函数，

所以f（0）=-m+1>0，f（1）=m-m+1>0.

解得m<1且m≠0.

由（1）（2）可知：实数m的取值范围是（-，1）.

评析本题利用函数的性质转化为关于两个变量m和t的不等式，因为t的取值范围已经确定，所以确定以t为主变量，把不等式转化为关于t的函数，一般情况下含两个变量m和t的不等式，如果其中一个变量的取值范围能确定，那么就以这个变量为主变量，另外一个变量作为参数.

3 在任意和存在性问题中求参数的取值范围

例3已知函数f（x）=x+9x，g（x）=2x+m，若对任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围.

解析若对任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）≤g（x2）.

等价于若对任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）max≤g（x2）max.由函数f（x）=x+9x的图象可知，在x∈1，2上函数f（x）单调递减（证明略）

所以函数f（x）max=f（1）=10.

因为g（x）=2x+m在区间2，3上单调递增，

所以g（x）max=23+m=8+m.

所以10≤8+m.

所以m≥2.

例4已知f（x）=x2，g（x）=（12）x-m，若对任意x1∈［-1，3］，存在x2∈［0，2］，f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围.

解析因为对x1∈［-1，3］，x2∈［0，2］，f（x1）≥g（x2），

所以只需f（x）min≥g（x）min即可.

因为f（x）=x2，g（x）=（12）x-m，

所以f（x）min=f0=0，g（x）min=g2=14-m.

由0≥14-m，解得m≥14.

所以实数m的取值范围m≥14.

4 利用数形结合求参数的取值范围

例5已知函数f（x）=-x2-2x，x≥0，log2x，x<0，若方程［f（x）］2+bf（x）+c=0恰有7个不相同的实数解，求实数b的取值范围.

分析首先通过函数图象变换作出f（x）的图象（如图1），因为关于f（x）的一元二次方程［f（x）］2+bf（x）+c=0最多只能解出2个f（x），若方程要恰有七个不相同的实数解，设［f（x）］2+bf（x）+c=0的两个根分别是f1（x），f2（x），所以两个函数值f1（x），f2（x）共对应7个不同的x，假设函数值f1（x）对应3个不同的x，f2（x）函数值共对应4个不同的x，

设t=f（x），所以函数y=t与y=f1（x）图象的交点是3个，函数y=t和y=f2（x）的图象的交点是4个，由图象可知t=1或t=0时，即f1（x）=1，函数y=t与y=f1（x）图象的交点是3个，由图象可知0

所以f1（x）=1或0，0

解析首先通过函数图象变换作出f（x）的图象（如图1）.

因为关于f（x）的方程［f（x）］2+bf（x）+c=0最多只能解出2个f（x），若方程要恰有七个不相同的实数解，设［f（x）］2+bf（x）+c=0的两个根分别是f1（x），f2（x），

（1）设当f1（x）=1，0

方程的两个根分别是t1，t2，

所以t1=1，t2∈（0，1）.

所以由根与系数的关系可得t1+t2=-b.

所以t2=-t1-b，即t2=-1-b∈（0，1）.

所以0<-1-b<1.

所以-2

（2）设当f1（x）=0，0

因为［f（x）］2+bf（x）+c=0，所以t2+bt+c=0.

方程的两个根分别是t1，t2，所以t1=0，t2∈（0，1）.

所以由根与系数的关系可得t1+t2=-b.

所以t2=-b.

所以0<-b<1，即-1

所以实数b的取值范围是-2

5 利用函数的奇偶性求参数的取值范围

例6已知函数f（x）=log3（x+x2+1）-23x+1，若f2a-1+fa2-2≤-2，求实数a的取值范围.

分析根据条件先分析fx+f-x的结果，由此确定出gx=fx+1的奇偶性和单调性，再将问题转化为“已知g2a-1≤g2-a2，求解a的取值范围”，根据单调性列出关于a的不等式并求解出结果.

解析由题可知x∈R且

f-x=log3-x+x2+1-23-x+1，

所以fx+f-x=log3x+x2+1-23x+1+log3-x+x2+1-23-x+1

=log3-x2+x2+1-23x+1-2·3x3x+1=-2.

所以fx+1=-f-x+1.

设gx=fx+1，所以g-x=f-x+1.

即g-x=-gx.

又函数gx的定义域为R关于原点对称，

所以gx是奇函数.

由函数的性质可知：

y=log3x+x2+1与y=-23x+1在0，+上单调递增，

所以fx在0，+上单调递增.

即gx在0，+上也单调递增且g0=0.

又因为gx为奇函数，

所以gx在R上单调递增.

不等式f2a-1+fa2-2≤-2

f2a-1+1≤-fa2-2+1，

所以g2a-1≤-ga2-2=g2-a2.

所以2a-1≤2-a2.

解得-3≤a≤1.

参考文献：

［1］ 许万成.破解含参不等式恒成立问题的常见策略［J］.数理化解题研究，2021（25）：25-26.