初中数学教学中开展变式教学的实践分析

王乐乐

摘要：初中数学教学不应局限于课本知识和题海练习，在学生掌握基本的知识技能后，培养学生自主探索、举一反三的能力对于后续的学习发展有着重要意义.在初中数学教学中，变式教学是一种重要的教学方法.通过对问题的变式，揭示知识的发生过程与知识彼此之间的联系，以提高学生学习效率，引发学生自主思考，反思.本文中以三角尺的旋转变式为例，对变式教学在初中数学教学中的应用进行实例分析.

关键词：初中数学；变式教学；案例分析；教学效果

1 背景分析

初中数学题型众多，许多学生虽然做了很多题，但缺乏反思总结、拓展延伸的过程，题目稍微改变一下就不会.这样的学习不仅费时费力，长此以往还会打击学生的自信心和积极性.而在长期教学实践中，变式教学被广泛应用于数学教学之中.在教学时有设计地运用变式，能让学生从复杂的条件中找到问题的本质，融会贯通、化繁为简，有效提高学习效率，激发学生探究学习的积极性.变式教学可以是教师变式，也可以是学生变式.教学时应以实际学情为基础，结合学生知识水平，引发学生思考，引导学生发现并提出问题［1］.变式教学还应延伸到题目之外，即关注学生在思考总结、反思整理环节中能否运用变式思想进行拓展提升，才能更有效地提高教学效果.

笔者以三角尺的旋转变式为例，探讨变式教学模式在课堂教学中的有效运用，从一个基本图形出发，不断演变、延伸、探索新的问题，以此激发学生的学习兴趣，培养学生的探究创新精神，学会举一反三，建立更完善的知识体系.

2 变式教学的实践

变式教学形式多样，笔者选取以三角尺为载体的一类经典而多变的旋转变换题型进行教学设计.这类问题涉及三角形全等、相似等知识点，设计精巧，学生初见时常有畏惧情绪，因此笔者以学生熟悉的典型题为例，提炼基础题型中的关键思想，并逐步变式，层层递进，消除学生的畏难情绪.

原问题如图1所示，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，将一块直角三角尺的直角顶点放在AB的中点O处.三角尺绕点O旋转时，其两直角边分别交边AC，CB于点D，E.证明：OD=OE.

分析：O为等腰直角三角形斜边上的中点，连结OC.根据等腰三角形“三线合一”的性质，得OC=OB，∠DCO=∠EBO=45°；又因为同角的余角相等，可得∠DOC=∠EOB，从而三角形△ODC和△OEB全等，则可以得到OD=OE.

变式1将题目条件“其两直角边分别交边AC，CB于点D，E”，改为“其两直角边分别交射线AC，CB于点D，E”.如果也要求证OD=OE，则需要进行分类讨论.学生画出点D，E分别落在AC，CB延长线上的情况（如图3）后发现，解题的思想和方法是相同的.

改变题中等腰直角三角形ABC的形状，变式为一副三角尺旋转的问题.

变式2将一副三角尺按图4进行摆放.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°；D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△DEF绕点D按顺时针方向旋转角α（0°<α<60°），此时的等腰直角三角尺记为 △DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由.

分析：与原问题中等腰直角三角形的旋转相同，由同角的余角相等，可得∠PDM=∠CDN.因为△BCD为等边三角形，所以∠BCD=∠BDC=60°，∠ADE=30°.由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可得∠MPD=∠A+∠ADE=60°.因为∠PDM=∠CDN=α且∠MPD=∠NCD=60°，所以△MPD∽△NCD，故PMCN=PDCD=33.

在原题的基础上改变了三角尺的形状，但旋转变换中所用的三角形知识和解决问题的思想方法是一致的，通过变式让知识间产生联系，形成知识体系［2］.

变式3△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E为△ABC斜边BC的中点.

（1）如图5-1，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；

（2）如图5-2，将△DEF绕点E旋转，使得DE交BA的延长线于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的相似三角形外，再找出一对相似三角形，并证明你的结论.

分析：（1）因为∠DEC=∠B+∠BME，所以∠MEN+∠NEC=∠B+∠BME.又因为△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，所以∠B=∠MEN=45°.则∠NEC=∠BME，故△BEM∽△CNE.

（2）由（1）知△BEM∽△CNE，所以BMCE=MEEN.又因为CE=EB，所以BMEB=MEEN.而∠MBE=∠MEN=45°，故△BEM∽△ENM.

然而在教学中发现，对于（2）的解答，学生并不善于由中点条件将相等的边代换， 把对应边的比构造成另外两个三角形对应边的比.他们为证△BEM∽△ENM，更自然地想到已知∠MBE=∠MEN=45°，然后想办法证明∠BME=∠NME.

这种思路更贴近于学生实际的知识水平和思维方式，此时老师不妨从学生的实际想法出发，引导学生思考此变式与原问题间的联系，鼓励学生顺着思路继续探究.可构造一个45°的角与其对应，过E点作一直角， 如图6，构造出形如原问题的基本图形， 由原问题的结论可得△CNE≌△AM′E，NE=M′E.

因此不妨将△DEF绕点E逆时针旋转45°，得△D′EF′，D′E交AB于点M′，如图7所示.因为NE=M′E，∠NEM=∠M′EM，MN=MM′，所以△NEM≌△M′EM.由此得∠NME=∠BME，可证△ENM∽△BEM.

这种证法从较为复杂的图形结构中提炼出问题的本质特征，引导学生思考，进行恰当的旋转变换，符合学生的认知水平，同时让学生感受探索新的解题方法、拓展解题思路的成就感.通过变式体现了不同知识点的和谐统一，展示了数学思想，培养了学生的逻辑思维能力.

在这类特殊角的旋转问题解决后，仍可对学生提出变式思考，当变式3中∠DEF的度数改变时，相似的结论还成立吗？怎样改变条件，可使相似的结论依然成立？这样学生乐于思考，从教师进行变式教学到学生主动变式探索，经历思维提升的过程.

变式4△ABC中， ∠B=∠C=α（0°<α<90°），E为BC的中点，∠DEF=α，绕点E旋转.

（1）如图8，当∠DEF的两边分别交AB，AC于点M，N时，求证： △BEM∽△CNE；

（2）将∠DEF绕点E旋转到图9情形时，∠DEF的两边分别交BA的延长线、边AC于点M，N，△BEM与△CNE还相似吗？

（3）在（2）的基础上连接MN，△BEM与△ENM是否相似？请说明理由.

由于构造了与变式3相近的图形， 因此本题也可用变式3的证法解决.以此设计变式，层层递进，从特殊到一般，让学生经历变式思考的过程，自主完成从旧知识到新问题的构建，达到学习的目的.

3 总结与思考

变式教学设计要遵循目的性原则，常见的变式目的是让学生掌握核心概念，深入理解性质定理，学会应用拓展.教师要根据实际情况有针对性地组织变式教学［3］.变式教学不仅仅是体现教师教学的设计和理念，还要充分发挥学生的主观能动性，将教师主导与学生主体相结合.不同的学生对题目有不一样的理解和求解方式，在变式时鼓励学生积极探索，互相补充，这种思维的碰撞能够给变式教学带来意外的收获.变式教学是为更好地提升学生学习效率而服务的，不能给学生造成为变而变、无效刷题的负担.因此变式的设计不能仅是题目形式上的变化，更应从深层次挖掘它的教学意义，真正帮助学生提升数学素养.

在实际开展变式教学的过程中，不仅是教师设计创新变式，还应给学生留有主动思考、自主探索变式的空间和时间，让学生提出符合实际学情的问题.教师在引导学生的过程中，应有意识地回归基本图形或核心知识点，解释问题内在的联系，运用学生已经掌握的问题表征策略解决问题.同时注重导入情境的变式，设置一定梯度，使学生的思维可以逐步前进，让学生体验变式学习的乐趣.

在变式教学的实践中，也难免会存在一些困难和矛盾.如果平衡不好学生自主学习和教师必要指导间的关系，那么变式教学就会变成教师的“展示秀”，反而增加了学生的学习负担.课堂应以学生为本，变式教学设计的本身目的是为了使教学效果更加理想.变式教学的过程中，教师要尊重学生的认知水平和心理特点，注重培养学生的反思意识，引导学生逐渐学会自主变式拓展，提升数学素养.

参考文献：

[1]郑毓信.关于“以学为中心”的若干思考[J].中学数学月刊，2014（1）：1-4.

[2]吕进智.巧用变式，有效延展——初中数学变式教学策略研究[J].数学教学通讯，2017（17）：40-41.

[3]孙寿春.变式教学在初中数学教学中的应用研究[J].数学教学通讯，2019（5）：70-72.Z