数学符号教学：基于原理，发挥价值

摘要：数学符号教学，应以“认知的历史发生原理”为指导。同时，要充分发挥数学符号的教学价值：在新符号引入的过程中增强数学创造意识，在数学符号创设的完整过程中发展数学审美能力，在体悟数学符号的思维功能时感悟数学思想方法，在把握数学符号的意义、内涵时深度理解数学知识，在数学符号演变的过程中感受数学文化。

关键词：数学符号;“认知的历史发生原理”;教学价值;数学语言;数学思维

数学符号是数学的特殊文字，是表明数学的概念、运算、关系和推理的数学语言，它使得数学思维过程准确、概括、简明，从而更容易揭示数学对象的本质。数学符号作为数学学科至关重要的内容，在数学教学中也具有很重要的价值。但是，从实际情况来看，数学符号的学习基本上是接受性、被动性的，引入符号的决定权在教师，用什么符号表示也由教师确定，教学方式就是“记忆（教师给出，学生记忆）+注意（教师说明几个注意点）”。这样的方式导致蕴含于数学符号中的教学价值无法发挥，学生对数学符号语言的理解、运用能力比较薄弱。这可以由考试中学生在运用新符号表述的问题上表现不佳得到佐证。

本文从数学符号的类别与来源出发，重点谈一谈笔者对数学符号教学的一些思考。

一、数学符号的类别与来源

了解数学符号的基本知识，有助于在教学中引导学生进行数学对象的符号创设或选择。

从作用上，数学符號可以分为以下四类：

一是元素符号：表示数或几何图形的符号。如：表示数字的符号，如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;表示数的字母，如a、b、c、x、y、z;表示特定常数的字母，如e、i、π;表示三角形边的字母，如a、b、c;表示三角形角的字母，如A、B、C;表示图形类型的符号，如∠、△、⊙。

二是关系符号：表示数、式、形等数学对象之间关系的符号，如=、>、<、≥、≤、≈、∽、≌、、∈、。

三是运算符号：表示按照某种规定进行运算的符号，如+、-、×、÷、·、、∑、sin、cos、log、lim、∫，以及行列式符号、矩阵符号。

四是辅助符号。为了便于表达和运算，数学中还引进了一些符号，用于表示某些特定的式子或某种特定的意义。如：Δ（一元二次方程根的判别式）、n！、Anm、max、min;括号（）、[]、{};三角形全等的条件“SSS”“SAS”“ASA”;随机事件的概率P（A），随机变量的期望E（X）、方差D（X）;样本的均值x、方差s2等。

数学符号也可以按照数学学科领域来划分。各个领域中都要运用一系列专门的符号，如数理逻辑中等。

数学符号的创设或选择没有固定的规则，但也有某些规律。数学符号的来源主要有以下五类：

第一类：用英文、拉丁文单词的第一个字母或前几个字母，如表示概率的“P”即英文单词“probability”（概率）的第一个字母，正弦函数“sin”即英文单词“sinusoidal”（正弦曲线）的前三个字母。有时，还会用第一个字母的变形，如相似符号“∽”是英文单词“similar”（相似）第一个字母s的平躺写法，积分符号“∫”是拉丁文单词“summa”（和）第一个字母s的拉长写法。

第二类：从直观形象上让人望形生意，如∠、⊥等。

第三类：从结构、形状上隐喻含义，如=、<、>等。

第四类：从相关的符号演变而来，如“×”由“+”斜写而得。

第五类：由名人约定，如积分符号、阶乘符号、∵、∴等。

不少数学符号蕴含了数学家们的奇异思想，如根号、积分符号等，都有着各自美丽的故事。

二、用“认知的历史发生原理”指导数学符号教学

数学教学需要考察两个层面的问题：一是学习内容，即数学知识的本质以及历史发展过程;二是学习主体，即学生的数学认知规律以及认知发展过程。根据“认知的历史发生原理”，个体的数学认知发展过程与对应的数学知识的历史发展过程相一致，这两个方面具有内在的逻辑关联性（在认知逻辑上）。这一原理对符号教学有一定的指导意义。

例如，用字母表示数在数学符号史上是一个重要事件，并且随着数学的发展，其意义、观念也在发展和进化。用字母表示数的学习，也大致需要经历这样的过程。

大约在公元3世纪，丢番图就开始用字母表示数，他用“”表示待定数，这里字母表示的数本质上是确定的。到了16世纪，韦达创立了符号体系，他用母音字母表示未知量，用子音字母表示已知量。后来，笛卡儿将其调整为用a、b、c等表示已知量，用x、y、z等表示未知量。从这时起，字母可以表示“任意”数，这就使得用a+b=b+a表示加法交换律成为可能，进而，数学就从算术时代进入代数时代。此外，韦达将一元二次方程的两个根分别用符号x1、x2表示。这不仅扩大了字母表示数的范围，丰富了表示方式，也使字母表示的数的类别得到了区分，条理得到了梳理。而双下标、多下标的使用，将符号观念从一维空间拓展到了二维、多维空间，使人类数学观得到了进一步提升。这些素材在中小学数学教材中大量存在，厘清它们之间的关系，对数学教学如何根据历史过程设计学习过程是十分有益的。

又如，数的概念及其符号表示是学生在小学刚入学甚至在幼儿园就开始学习的最基础的数学知识，它与人类文明相伴而生。下面，笔者重点以这一内容为例，谈谈如何根据历史过程设计教学。

据了解，在幼儿园，教师就开始教小朋友认识阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，教学方式大多为“象形儿歌”：“1”像小棒，“2”像小鸭子……这种教学，是识字教学，不是有意义的记数教学。面对幼儿，可以进行有意义的记数教学吗？回顾人类建立数的概念、建构数字的历史过程，在初始阶段，我们的祖先与现在的幼儿的认知水平基本相当（由于文化因素的影响，现在的幼儿可能比当初我们的先祖的认知基础还要好一些）。因此，相应的历史过程可以成为最好的启发方式。基于幼儿的认知水平，通过游戏的形式再现数的概念及其符号表示的历史过程，促进幼儿建构数的概念，通过“象形”语言逐步抽象出数字符号，应该是可能的，至少是可以做适当的尝试的。

下面，是笔者设计的教学简案：

【课题1】 手指记数

学习目标：认识数;用图形（线条）表示数，初步符号化（图形符号）。

师（出示一个苹果的实物或图片）这里有一个苹果，一个苹果如何用手指表示？怎样将这种表示方法画出来？一个苹果对应一个什么？

师（出示两个苹果的实物或图片）我们将现在的苹果个数说成“两”或“二”，如何用手指表示？怎样将这种表示方法画出来？一个苹果对应一个什么？

【课题2】 结绳记数

学习目标：巩固对数的认识;继续用图形（线条或点）表示数，初步符号化（图形符号）。

师古时候，一个牧羊人是怎样知道晚上回到山洞的羊的个数与早上出去的羊的个数相同的呢？出去时，每出一只羊，就在绳子上打一个结;回来时，每进一只羊，就数一个结。

师一只羊，在绳上打一个结，怎样在纸上用图形来表示呢？两只羊呢？三只羊呢？……一只羊对应一个什么？

学生可以画一条、两条、三条……线，也可以画一个、两个、三个……点。展示学生的成果，让他们表述自己的图的意思（将数的概念与表征融合起来教学）。

【课题3】 算筹记数

学习目标：从线条表示到算筹表示，符号化水平适当提高。

给每个学生发一套算筹。以手指記数的图形表示为基础，介绍算筹（只介绍最简单的记数，最多10以内）。

先让学生设法用算筹分别表示数字1、2、3、4，并将自己用算筹摆的数画到纸上。

再让学生用算筹表示5、6……在肯定他们想法的基础上，介绍我国古代是怎样用算筹表示5、6……的。

【课题4】 算盘记数

学习目标：从点表示到算珠表示，进一步增强感性认识。

给每个学生发一个小算盘。以结绳（点）记数为基础，介绍中国传统计算工具算盘（只介绍10以内的数的表示方法）。从1、2、3这几个最简单的数开始，让学生用算盘表示。

【课题5】 古罗马数字

学习目标：用较接近图形表示、实物表示的符号形式进行符号化。

在学生对数的概念有了足够认识的基础上，以用手指表示数的图、算筹表示数的图等介绍古罗马数字1、2、3的表示方法;重点介绍5的表示法“Ⅴ”，先用一只手的记号表示5（整体观），再将手的图简化为“Ⅴ”;再介绍6、7、8的表示方法;最后介绍10及4、9的表示方法。

如果有学生建议用“横”表示“1”，也可以顺便介绍汉语中的数字一、二、三等。

【课题6】 阿拉伯数字

学习目标：在对数的概念有了一定认识和对用符号表示数有了较多感性认知的基础上，介绍最常用的数字表示法——阿拉伯数字。

首先说明人们总是希望符号越简单、越方便书写越好，然后介绍阿拉伯数字：逐一介绍，先看后写，与古罗马数字一一对照，并配以相应的儿歌，让学生反复练习。

这里需要指出的是，笔者没有教过幼儿和小学生，上述教学简案是否可行，有待实践检验。但是，如何从尽可能低的年龄开始，让学生经历人类知识起源与发展的过程，是值得研究的课题。

三、充分发挥数学符号的教学价值

数学符号的产生缘于相应的数学对象的抽象、概括过程中的自然需求，是相应的数学对象的本质特征、内涵的语言与图形（字符）表征。好的符号应该能够将过程与本质浓缩其中，在符合数学审美要求的前提下，做到望“符”生义。因此，数学符号在数学教学中有着非常重要的价值。

（一）在新符号引入的过程中增强数学创造意识

新的数学符号的引入伴随着新的数学对象的确定，也就创造了新的数学知识。因此，帮助学生理解新符号引入的必要性、合理性，便可以激发学生“创造”新知识的动力，发展学生的数学创造意识。

例如，教学反正弦函数的概念时，如果只是由y=sin x在-π/2，π/2上存在反函数，就规定“其反函数叫作反正弦函数，记为x=arcsin y……”，那么学生毫无心理准备，对“arcsin”这一符号的出现感到很突然，对其含意的理解也就不会很透彻，更没有任何数学创造的需求或冲动。笔者在教学中是这样处理的：

师函数y=x2是否有反函数？能否缩小其定义域，使其有反函数呢？

由图像，学生容易发现：在（-∞，0]或[0，+∞）上，函数y=x2有反函数。

师函数y=sin x有反函数吗？在怎样的区间上有反函数呢？

引导学生选取主值区间，并感受为什么要选取这一区间。

师正弦函数y=sin x在-π/2，π/2上的反函数叫作反正弦函数。

师若记反正弦函数为f-1（x），则其定义域是什么？值域呢？

根据定义，学生容易发现：反正弦函数的定义域就是上述正弦函数的值域，值域就是上述正弦函数的定义域。

师f-1（1）的值是多少？ f-1（-1）呢？f-1（0）呢？ f-112呢？ f-1-12呢？ f-132呢？f-1-32呢？

学生能直接写出以上函数值。

师f-113呢？

学生写不出这个函数值了。

师那么它存在吗？它的意义是什么呢？

学生可通过与原函数的对应关系加以理解：在-π/2，π/2上使正弦值等于13的角。

师既然存在，而且不是可以直接写出来的角，怎样表示呢？

学生认为，需要引进新的符号。教师引入符号arcsin13，再用这个符号表示上述各式arcsin 1=π/2，arcsin 0=0，arcsin12=π/6……，让学生逐步理解这个符号。最后，让学生用求反函数的一般方法求反正弦函数的解析式：正弦函数y=sin xx∈-π/2，π/2→x=arcsin y→y=arcsin x。

这个过程是创造一类新函数的过程，是完善三角函数知识体系的过程，也是进行新知识建构的过程。数学中的很多内容都可以这样处理，如对数、复数符号的引入等。

（二）在数学符号创设的完整过程中发展数学审美能力

数学符号的创设或选择需要符合一定的规则要求，并且是在符号意识下产生相应的需求而进行的创造性思维活动。暴露数学思维过程包括暴露创设数学符号的思维过程，也就是符号化的思维过程：为什么要符号化（怎么想到用符号进行表示的）？如何符号化（选择怎样的符号）？在这一过程中，教师可以引导学生感受数学美，发展数学审美能力。

例如，在推导椭圆的标准方程时，化简到最后都会得到这样一个方程：x2a2 +y2a2-c2 =1。对此，通常的教学处理是：引进新的符号b，使b2=a2-c2。但是，如果不回答“为什么”“如何”这两个问题，思维过程就暴露得不充分。从数学审美看，引入b使方程结构更简洁、更优美;从数学本质看，引入的b有具体的几何意义。

事实上，对于具体的a、c（即确定的椭圆）而言，方程中y2项的分母其实是确定的，方程结构也是简洁的（因为a2-c2就是一个确定的数）。这便让我们难以想到需要引进新的参数，甚至难以提出“为什么分母都要写成平方形式？”这一问题（只有在考察一般情形时，才会出现a2）。而对于一些有整体观的学生而言，他们也知道y2项的分母是一个具体的数，好像引进一个新的符号也就是个形式而已，没有什么实际意义。

对此，可以从两个方面启发、引导学生：一方面，对于椭圆方程的一般结构而言，将分母结构统一、分子与分母的形式统一是数学审美的需要;另一方面，从椭圆图形上看，x2项的分母的几何意义是什么？类比于此，y2项的分母的几何意义应该是什么？你能检验你的猜想吗？这说明引进新的符号（参数），统一结构形式，更加必要。

经过上述过程，学生分别从数与形两个方面，经过数学审美的思辨，对新符号引入的必要性与合理性有了充分的认识。

此外，经历完整的数学符号创设过程，还包括留出足够的时间和空间，让学生经历数学符号的改进过程。

例如，指数幂（n个a相乘）用怎样的符号表示？在不看教材的前提下，让学生自己创造符号，运用数学审美眼光、数学符号基本要求，在各种“创造”中择优。教师可以通过对n个a相加的和的表示方法进行类比启发，对a与n的可能的相对位置进行列举分析，和学生一起选出最简单、优美的表示方式，形成指数幂的符号形式。

（三）在体悟数学符号的思维功能时感悟数学思想方法

数学符号本身蕴含着丰富的思维信息，因此，数学符号教学无论是建构符号还是运用符号，都能让我们体悟到其启迪思维的功能。

首先，新的数学符号往往蕴含着新的数学思想、新的数学观念。比如，用字母表示数，就使我们从算术思维走向代数思维，从算术计算走向方程思想，因此，学习用字母表示数，促进了学生数学思想、数学观念的飞跃，其思维方式的变化使学生的数学认知能力得到极大的提升。同样，用实数对构成的符号（x，y）表示平面内的点，使得学生的坐标思想得以确立，这也使得解析几何的思想方法得以形成。

其次，同一对象用不同符号进行不同表征，既可以建构数学知识体系（如苏教版高中数学必修第一册第7章《三角函数》，就是通过圆周上点的不同表征方式及其之间关系的研究，引出三角函数这一刻画周期现象的数学模型的），又可以实现不同符号系统下知识体系的转换，为解决问题提供新的路径（如直线方向的倾角表征、斜率表征和向量表征之间的关系，使之可以在几何、解析几何、向量等领域之间相互转换），还可以通过结构联想，找到解决问题的思路方法（如分式符号的结构，联想其几何意义，可以进行数形转化，甚至可以转化到能借助导数解决的问题）。

再次，符号推理可以简化、显化思维过程。比如，苏教版高中数学必修第一册第2章《常用逻辑用语》的章首语就是典型案例。其内容说的是：命题“两个偶数的和是偶数”非常简单，但是，如果要求加以证明，就不能说其“显而易见”，而用普通语言又难以说清，但用符号语言进行推理，思维过程则非常清晰。实际上，在解决问题的过程中，通过符号化进行分析、探索，往往能简化问题，揭示本质。著名数学家欧拉解决“哥尼斯堡七桥问题”就是数学史上的经典案例——不仅解决了著名的难题，而且诞生了新的数学分支，产生了新的数学思想方法。

最后，对数学式子进行符号变换（其实就是恒等变换），是进行化归的重要途径。比如，要研究函数y=xx的性质，直接求导是难以实施的，因为这不是基本初等函数，没有直接的公式可供使用，但若将其等价转化为z=ln y=xln x，则研究起来就非常简单了。

（四）在把握数学符号的意义、内涵时深度理解数学知识

数学符号不是固化的，而是发展的。数学符号的教学，只有重视其发展中的关键要素，才能真正促使学生理解数学。比如，“0”作为一个特殊整数，其初始意义是“无”，即什么都没有。但是，当我们将数域扩大到有理数集（在教学中是引入负数的概念）时，0的意义就突破了“无”的界定，而表示一种状态（不仅表示“无”的状态），如气温为0 ℃，并不是没有气温，而是气温的一种特定的状态。因此，教学中就要通过气温对“0”的意义进行重构，而不是轻易地滑过。现实的数学教学，经常忽视从概念原始含义到拓展含义的必要性与合理性的揭示，忽略拓展的过程展示。数“0”不是唯一案例，更典型的案例是将an中的指数n从正整数推广到0、负整数时，基本没有顾及原始概念的意义（n个a相乘）已经不能解释所有情形了，更没有关注学生可能的疑问：0个a相乘、-1个a相乘，有意义吗？

數学符号不是静态的，而是动态的，“表示过程”的特点让其有了灵魂，表现出水一般的灵动。比如，函数符号f（x）表示的是一个变化的过程，因此研究函数就需要有运动的观点。更一般地，符号表达式都具有两重性：从结果看是静态的、确定的（如数的算式的结果就是一个值，定积分式的结果也是一个值）;但是，其又表示求出这个值的过程，或者说，要求出其所表示的值，需经过某个求解的过程。数学教学中，一定要将“两重性”揭示出来，只有这样，才能真正让学生理解相关意义。数学符号的灵动还表现在同一个符号表示式可以有多个意义，可以是代数的意义，也可以是几何的意义。比如，最简单的符号“1”，就可以用多个形式表示它，如椭圆方程、同角三角函数的关系、底数与真数相同时的对数值等;也可以作出多种不同的解释，如初始元、单位元、真命题等。

由于对符号表达的意义（概念的本质）没有理解，或对符号的理解能力不强，对一些新颖的问题，学生的表现不尽如人意。比如，1984年全国高考数学卷中出现过这样的问题：已知函数H（x）=0，x≤0，

1，x>0，画出函数H（x-1）的图像。当时，因为学生没有见识过这种题型，结果几乎没有学生能够解答出这道题目（近30年过去了，现在这道题的得分率可能比1984年要好一些，但不是说现在学生的素养比过去好，而是这类题已经是训练过的常规题了）。究其原因，就是在函数概念的形成阶段，特别是函数符号f（x）的意义建构阶段，思维过程暴露不够，导致学生对函数f（x）的本质理解不到位。因此，在建构函数概念时，要充分暴露定义域A、函数值所在集合B及对应法则f的形成过程，让学生分别对表格、解析式、图像表示的函数，明确A是什么、B是什么;并在指出对应法则如果用f表示的情况下，让学生分别对三个函数中指定的自变量，用符号表示其对应的函数值;然后过渡到一般的自变量x对应的f（x）的含义;接着讨论“如果用符号表示其对应的函数值，这里的x的取值范围是什么？f（x）的取值在什么集合中？”……在此基础上，再让学生建构函数的一般概念。有了这样的过程，学生就会对函数符号f（x）产生深刻的认识。

前面的案例“反正弦函数”展示的就是通过细化的过程，促进学生对数学符号及其对应概念的深度理解，这在数学符号教学中是非常重要的。我们要突出对符号理解的过程暴露，对符号的语义分析、结构剖析、名称剖析以及对符号使用的有效训练。

（五）在数学符号演变的过程中感受数学文化

数学符号除了具有数学上的科学价值外，还具有丰富的文化价值。数学符号教学要尽可能将这种文化价值有机融入学生数学学习的过程中，根据教学实际，分别用建构式或欣赏式的教学方法让学生感受精神、观念等文化层面的价值。通常，在教学过程中可以通过以下三种方式让学生在数学符号演变的过程中感受数学文化：

一是在正常的数学教学过程中，有机融入一些数学家创造数学符号的故事，引导学生进行数学符号的设计;或用简要的篇幅介绍数学符号的演变过程，促使学生在深刻理解数学符号含义的同时，感受数学的文化价值。比如，教学“分数指数幂”时，可以介绍大数学家牛顿当初的发现与建构过程，让分数指数幂与根式之间的思维关联得到充分呈现。否则，难以回答“为什么节标题是‘分数指数幂’，小节的标题却是‘根式’呢？怎么想到它们之间的联系的？”这个自然生成的问题。这一过程包括两次数学符号的推广（乘方符号中指数范围的推广和根式中根指数的推广），能使符号的发展与数学知识的生长之间的关系得到充分体现，促进学生数学观念的提高。

二是提供一些阅读材料、科普书籍，让学生通过阅读，了解数学符号的演变过程，感受其中有价值的数学观念和数学精神，特别是数学符号优化过程中的价值追求。苏教版高中数学教材已经提供了这样的示范。比如，必修第一册中的“不等号的演变”，从使用文字表示大小关系，到使用纯粹的记号约定不等关系，再到使用上下线段的长短“形象化”地表示大小，再到通过添加数字（2，3）由数字大小联想对应元素的大小，再到哈里奥特引入的“>”“<”逐渐得到广泛使用，直到近代的“≥”“≤”的完整过程。小小的不等号有着漫长的发展、优化过程，从中可以管窥数学发展规律和数学家求美、求善的精神。建议教师在教学过程中，适度补充、丰富这类素材。

三是布置课后实践性作业、研究性活动，让学生对某个（些）数学符号的历史过程进行研究，或结合数学符号，学习研究符号学、数学符号学相关理论，或撰写数学小论文、数学文化小论文，从而提升文化素养、学术素养和艺术素养。比如，苏教版高中数学必修第一册中的阅读材料“欧拉”，介绍了欧拉创设的许多数学符号，这些符号在中学数学教材中被广泛使用。大数学家创设这些符号不是随意的，我们可以从多个角度研究这些符号的意蕴、价值。这种研究的教育价值可能远远超过多做几道常规的数学题目。

欣赏数学符号的演变过程，要突出数学家们的伟大思想，突出符号创设推动数学发展的动力作用，突出数学家们求真、求善、求美的理性精神。

综上，笔者认为，强化数学符号教学，是优化数学教学过程的基本要求;提高学生的符号理解能力，增强学生创设和运用符号的意识和能力，是数学教学的重要任务，应得到充分重视。

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