APOS理论指导下的概念起始课教学

张云辉 周远方

摘  要：函数是贯穿高中数学课程的主线，函数概念起始课对整个高中数学教学具有奠基性作用，对学生的数学学习具有基础性作用. 以APOS理论为指导，设计单元起始课的教学环节，让学生经历完整的函数概念抽象过程，建立完整的函数概念，發展数学抽象、直观想象等素养.

关键词：核心素养;APOS理论;函数概念;教学设计

概念课的教学是教师需要突破的难点，杜宾斯基在皮亚杰“自反抽象”理论的基础上，提出了APOS理论，用以刻画学习数学概念的建构过程. APOS理论的研究核心为“学生如何学数学”及“如何设计教学计划帮助学生完成学习”.

本文以函数概念起始课为载体，在APOS理论的指导下，以发展学生数学学科核心素养为目标进行教学设计，探索数学学科核心素养在课堂中落地的策略与方法.

一、理论引路，让概念课的教学有章可循

本节课以杜宾斯基APOS理论为依据设计教学过程，具体包括以下四个阶段.

第一阶段：操作（Action）. 创设情境“话”函数. 针对本节课的主要授课内容，教师利用数学情境回顾初中所学函数，让学生完成对概念的初步认识，既能将授课主体内容——函数的概念有效呈现给学生，又能激发学生的学习兴趣.

第二阶段：过程（Process）. 实例分析“生”函数. 根据学生在初中阶段对函数的初步学习和认识，通过实例有序实施引导启发，激发学生的思维，逐步加深学生对函数的认识，进一步抽象出函数的概念.

第三阶段：对象（Object）. 剖析概念“辨”函数. 在完成对概念的感知、认知之后，需要对形成的概念进行更深层次的理解，教师要有针对性地设计问题，让学生在第二阶段的基础上，进行更为复杂的运算和操作，突出学生对概念本质的理解.

第四阶段：图式（Scheme）. 经历实践“用”函数，总结反思“悟”函数. 前三个阶段，即对函数的再认识、抽象函数概念（用集合对应语言描述函数）和对函数概念本质的理解等过程. 将前三个阶段及学生初中所学函数概念的认知基础进行整合，在学生大脑中形成新的认知结构，并运用新的认知结构解决与函数概念有关的新问题，从而促进学生认知水平的提升.

基于以上分析，构建本节课的教学流程如图1所示.

二、实践求真，让数学学科核心素养在课堂落地生根

1. 创设情境“话”函数

活动1：播放视频.让学生观察“天宫二号”发射、“复兴号”高速列车和节庆烟花燃放等视频情境，从中发现隐含的函数关系.

问题1：在初中，同学们已经学习了函数的概念. 从刚才的视频内容中，你能发现哪些函数关系呢？

【评析】利用视频创设情境引导学生回顾初中所学习的函数，让学生完成对概念的初步认识，既能将授课主体内容——函数的概念有效呈现给学生，又能激发学生的学习兴趣.

问题2：正方形的周长[l]与边长[x]的对应关系是[l=4x]，[l]是关于[x]的函数. 这个函数与正比例函数[y=4x]有哪些相同点和不同点？

追问：[y=1]是函数吗？

【评析】回顾初中所学函数实例，让学生指出自变量，教师引导学生关注自变量的范围. 有的函数中没有明显的自变量[x]，由此引发学生的认知冲突，强调高中继续学习函数概念的必要性.

情境：某“复兴号”高速列车加速到[350 km / h]后保持匀速运行半小时.

由学生得出这段时间内列车行进的路程[s]（单位：km）与运行时间[t]（单位：h）的关系，并用初中所学函数的概念描述[s]与[t]的函数关系. 教师逐步引导学生用集合语言和对应关系刻画函数.

【评析】实际问题情境作为示范. 学生用初中所学的函数的概念描述函数关系，教师引导学生用集合与对应语言描述函数关系，特别要注重集合语言的自然引入. 以此强化集合语言的作用，突出使用集合语言简洁、准确地表述数学对象及研究范围的工具价值.

2. 实例分析“生”函数

问题3：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资. 那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资[w]（单位：元）是他工作天数[d]的函数吗？

问题4：图2是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图. 如何根据该图确定这一天内任一时刻[t]的空气质量指数（AQI）的值[I]？你认为这里的[I]是[t]的函数吗？

问题5：国际上常用恩格尔系数[r r=食物支出金额总支出金额]反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况. 从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.

你认为按照上表给出的对应关系，恩格尔系数[r]是年份[y]的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

学生以小组为单位，仿照问题情境，分别用初中函数概念、集合语言与对应关系研究上述三个问题实例.

【评析】学生自主点评各小组成果，并评价用变量说和集合对应语言描述函数关系的不同，体验到初中所学函数“变量说”的不完整性. 用对比的学习方式，既能使学生的学习由初中顺利过渡到高中，也能更好地体现用集合语言和对应关系描述函数的优越性，为归纳共性、得出新的函数概念奠定基础.

活动2：学生以小组为单位，针对问题情境及上述三个问题，继续讨论并归纳用集合语言与对应语言描述函数的共同点，在初中“变量说”观念下的函数定义的基础上，进一步用集合语言和对应关系完善函数的概念，得出新的定义.

【评析】章建跃博士曾说数学概念的获得可以从大量同类事物的不同例证中找到共同的关键特征. 学生有能力归纳共同点，但是要得出新的函数定义非常困难. 而数学追求一般化和简单的表达形式，最好的方式就是符号. 学生进入高中后，会发现与初中数学相比，高中数学最大的变化是符号变多了，符号也更加抽象了. 教师以初中抽象一次函数的经历为例，引导学生用[y=fx，x∈A]表示函数.

活动3：函数概念的形成是一个长期发展的过程，一起欣赏一段函数史话.

【评析】学习新概念之后，融入数学史，让学生认识到函数概念的发展是长期不断完善的过程，培养学生用发展的眼光看世界.

3. 剖析概念“辨”函数

活动4：给出两个辨析问题.

（1）集合[A]是由40名学生组成的集合，集合[B]是由40个学号组成的集合，对应关系[f]为每名学生对应一个学号，那么[f：A→B]是否为从集合[A]到集合[B]的函数？如果是，定义域、值域各是什么？

（2）集合[A]，[B]与对应关系[f]如图3所示.

[f：A→B]是否为从集合[A]到集合[B]的函数？定义域、对应关系、值域各是什么？当对应关系[f]分别如图4所示，[f：A→B]还是从集合[A]到集合[B]的函数吗？如果是，定义域、值域、对应关系各是什么？

【评析】借助好判断、易出错的例子，让学生通过辨析了解函数的三要素——定义域、对应关系、值域，从而使学生加深对函数的认识.

4. 经历实践“用”函数

活动5：给出两个应用.

（1）用新定义解释一次函数、二次函数、反比例函数.

（2）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式[y=x10-x]来描述.

【评析】让学生用新学定义解释初中所学一次函数、二次函数、反比例函数，加深学生对定义的理解和认识. 学生通过自主构造问题情境，进一步体会函数表达式的广泛适用性，感受数学来源于生活，服务于生活.

5. 总结反思“悟”函数

活动6：从知识、方法、思想、应用等方面构建函数概念起始课学习结构图，如图5所示. 同时，邀请高三学生现身说法，分享函数学习心得.

【评析】先由学生总结本节课的收获，然后教师带领学生从数学知识、文化背景、数学思想、数学应用等方面总结本节课. 作为起始课，邀请高三学生现身说法，使得学生学习的目的更加明晰. 函数概念及其反映的思想方法不仅是进一步学习数学的基础，也是学习其他学科的基础，更是解决问题的工具.

6. 感悟哲思“赏”函数

活动7：教师引导学生感悟歷史上很多数学家也是哲学家，如罗素、毕达哥拉斯、莱布尼茨等. 可见，数学和哲学关系密切. 2018年某大学自主招生考试题目就是“谈谈数学与哲学的关系”. 我们可以看到，函数概念的“对应”的思想具有哲学上的发生真理性认识的认识论意蕴，是哲学上发生真理性认识的一个现实的实例，体现了使用数学的方法探究、发现真理性认识的精神. 同时，函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征建立函数关系型的数学模型，从而进行研究，体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点. 这些都是函数与哲学关系的具体体现.

【评析】让学生赏析哲学观念下的函数概念，辩证思维引领，体验学科之间的联系，激发学生的学习兴趣，让一节数学课插上哲学的翅膀.

三、总结反思，让概念教学艺术发扬光大

函数概念教学是高中数学教学的难点之一. 对于教师，教学设计和实践难;对于学生，对概念的认知和理解难. 为突破这些难点，需要教师以学习理论为指导，认真研究学生的认知规律，为教学设计、教学活动提供依据. 本节课就是以发展学生数学学科核心素养为引领，以APOS理论为依据，精心设计六个教学环节，精心选择教学素材，精心组织教学活动.

1. 理论引路

本节课以杜宾斯基APOS概念学习理论为指导，设计六个教学环节，环环相扣，精心设计问题串，驱动学生建构概念，归纳、生成概念，有效实现了教学目标.

2. 教材奠基

“用教材教”“创造性使用教材”是教师的必备能力. 本节课对教材细节的处理体现在以下三个方面.

（1）在材料选取方面，注重从学生熟悉的现实问题出发引入内容，有效利用初中教材和高中教材的衔接点，特别注重突出新版教材的特点.

（2）在初、高中衔接方面，以初中“变量说”为暗线，以高中“对应说”为明线，明暗相间，相得益彰，形成高中函数研究的先行组织者，体现了数学的整体性.

（3）在章节知识联系方面，充分发挥“章引言”在起始课中的作用. 章引言是起始课教学的指路明灯. 本节课利用章引言很好地回答了为什么学、学什么、怎么学等问题.

3. 以文化人

关注数学文化渗透，把函数概念的学习融入“天宫二号”发射、“复兴号”高速列车和节庆烟花燃放等实例背景中去，通过了解中外数学名家对函数发展的贡献，增强学生的文化自信和民族自豪感，厚植爱国主义情怀.

4. 素养育人

核心素养不只靠“讲”，而要靠“养”. 教师创设情境，把课堂交给学生，学生自主探究、合作学习，经历概念生成的过程，让数学学科核心素养在课堂落地生根.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[3]周远方，方延伟，叶俊杰.“章引言”是起始课教学指路的明灯：“圆锥曲线”起始课的课例赏析[J]. 数学通报，2015，54（5）：29-34.

[4]戚艳兴. 基于核心素养与APOS理论的高中生函数的概念学习进阶研究[D]. 上海：华东师范大学，2020.