关注思维关联，让一题多解自然发生

董立伟

摘  要：以不等式的证明为例，关注同一个数学问题不同解法之间存在的思维关联. 从某一解法出发，用思维关联打通不同解题视角，让一题多解自然发生.

关键词：一题多解;思维关联;自然发生

思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括和间接反映. 思维关联则是指思维之间的联系或影响. 数学以解题为核心. 解题的价值是在于通过问题的解决，掌握数学知识，习得解题技能，体悟数学思想方法，提升数学素养. 很多数学问题的解法并不是唯一的. 从不同视角出发，利用不同的策略对问题进行分析，运用不同的数学知识与思想方法，可以给出同一个数学问题的多种解法，也就是一题多解. 一题多解不仅有助于学生对所学数学知识、解题方法和数学思想进行优化整合，帮助学生对问题进行更全面深入的理解，更有助于培养学生敏锐的观察能力，提高学生解决问题的能力，激发学生的创造欲.

在教学中，我们会发现，学生常常会因一个问题有多种解法而感到震撼，但假如让他们独立探究，可能只能得到其中的一两种解法. 以不等式证明问题为例，其常用方法有比较法、放缩法、利用经典不等式（如均值不等式、柯西不等式等）证明法、构造法（如构造函数、恒等式、辅助命题、局部不等式等）、证明加强命题等多种方法. 学生容易想到利用比较法证明不等式，但是让他们利用经典不等式解决问题却可能难以独立完成. 其中一个很重要的原因是从不同视角出发去思考，虽然可以实现一题多解，但毕竟有难度，大部分学生难以做到.

一题多解要注重思路的自然而然展开，为一题多解而一题多解，往往事倍功半. 事实上，同一个问题的不同解法之间往往存在思维关联，从某一解法出发，用思维关联打通不同解题视角，一题多解就可以自然发生.

一、探寻理论依据

波利亚的“怎样解题表”将解题过程分为理解题目、拟订方案、执行方案和反思回顾四个步骤. 解答完一道题之后，是需要进行反思回顾的，只有解题而没有反思，就如同“入宝山而空返”. 波利亚提出，“反思回顾”的内容包括你能否检验这个论证？你能否用其他方法导出这个结果？你能否直接看出结果？你能否把这个结果或方法用于解决其他的问题？这些问题都将反思回顾指向了“思维”.

根据维果茨基的最近发展区理论，不同解法所在思维水平不同，不同学生解决问题的思维水平也不相同. 学生根据已知条件所能独立想到的方法可以看作他们思维的现实发展水平，借助教师的帮助可以想到，但是难以独立想到的方法则是他们的潜在发展水平. 这两者之间的差距就是学生的最近发展区. 在一题多解教学中，教师应当关注学生思维中的最近发展区，利用不同解法之间的思维关联，铺设支架，帮助学生在现有思维发展水平的基础上，不断将潜在发展水平转化为现有发展水平.

二、基于思维关联的一题多解探究

1. 始于自然

蒋凯、钱云祥两位教师认为，某一数学问题解法的产生，也许是经验，也许是感觉，也许是运气. 笔者很赞同这一观点. 由于经验、感觉的不同，不同的学生在面对同一个问题时，思考的切入点往往不同，顺着切入点思考而得的方法，往往是问题最自然的解法.

三、反思回顾

1. 对利用思维关联探寻一题多解的正确认识

解题会受到各种主观或客观因素的影响. 因此，我们需要对利用思维关联探寻一题多解有正确的认识.

从一种解法出发，不一定能一直思维关联下去，得出问题的所有解法，思维关联只是提供了一种探寻一题多解的思路. 有时从单一解法出发，不一定能进行有效的思维关联. 这时，可以从多种解法出发，找寻这些解法的共性，进行思维关联. 在同一问题中，探寻一题多解的思维关联路径通常不止一条. 利用思维关联探寻一题多解的方式是多样的. 例如，可以对已有解法进行优化，可以从已有解法所缺失的方面入手，可以把所用的某种方法以其他形式呈现出来，也可以寻找已有解法的衍生方法，等等.

2. 开展基于思维关联的一题多解活动

利用思维关联探寻问题一题多解能力的培养，不可能一蹴而就，而是需要反复多次的“练”和“悟”. 这就需要教师挑选合适的例题，精心设计相关的数学活动，给予学生适当的时间进行练习和参悟. 活动中要注意以学生为主，教师起引导的作用，遵循学生的理解，自然形成解法. 一題多解训练结束后，还可以借助思维导图，将思维关联可视化，巩固所得成果.

3. 适时、适度做好知识方法的拓展延伸

学生在利用思维关联探寻一题多解的过程中，可能会摩擦出许多思维的“火花”. 但是要将这些思维的“火花”转化为问题的解答可能会用到一些学生现阶段没有学习过的知识，有些知识甚至不在高中数学教学内容之内. 例如，本文中出现的“幂平均不等式”“琴生不等式”等. 但这些知识在开阔学生的解题思维，帮助学生触碰问题的深层结构，以及对问题解答做进一步的思维关联上起着很重要的作用. 因此，对于有精力的学生，教师可以进行拓展性的阐述.

参考文献：

[1]波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安： 陕西师范大学出版社，2016.

[3]王琼.“最近发展区”对中小学教学模式的启发[J]. 湖北成人教育学院学报，2009，15（4）：17-18.

[4]蒋凯，钱云祥. 法随心动  心由境生：由一道数学题的解法探究产生的若干思考[J]. 数学通报，2019，58（3）： 42-45，52.