养成良好思维习惯，“圆”来如此美好

王倩 李莹 刘金英

摘  要：圆是平面几何中的基本图形之一，是学生学习的第一个曲线形图形，它在初中数学中占有重要地位. 圆的许多性质都是通过与圆有关的线段和角等直线形图形体现的，这也是学生在初中阶段研究的重点内容. 为此，在“与圆有关的角的计算”专题复习课中，教师可以通过“形异质同”的变式题引导学生把握问题本质，并养成良好的思维习惯.

关键词：与圆有关的角;解题策略;思维习惯

思维习惯就是人类使用大脑的习惯，养成良好的思维习惯可以让我们更好地适应瞬息万变的生活. 学生良好思维习惯的养成则需要教师在日常教学中加以培养. 圆是平面几何中的基本图形之一，是学生学习的第一个曲线形图形，在初中数学中占有重要地位. 本文结合“与圆有关的角的计算”专题复习课的教学设计与反思，意在更具针对性地帮助学生把握问题的实质，通过“形异质同”的变式题目，归纳解决此类问题的策略，并让学生深刻体会其中蕴涵的转化思想，以有利于学生良好思维习惯的养成.

一、内容和内容解析

1. 内容

圆周角定理与推论和圆的切线的性质定理专题复习.

2. 内容解析

本节课是九年级下学期的中考复习课，是在学生已经复习了圆的有关性质的基础上，以“与圆有关的角的计算”为专题开展的复习课，是对圆这一曲线形图形与直线形图形各元素之间关系的再认识. 在复习圆的相关内容前，学生已经复习了三角形、四边形等平面几何的相关知识，为研究圆这一种特殊的曲线形图形提供了知识基础，以及研究的方法和思路. 由直线到曲线，是学生在认知上的一个飞跃，而直线与曲线的组合更是学生对于几何学习的升华，是学生进一步学习数学和其他学科的基础，对学生未来的发展至关重要.

圆周角定理与推论和圆的切线的性质定理是圆的重点内容. 复习这部分内容不是简单的重复，而是对这些知识的再认识. 同时，要通过复习圆的相关知识，揭示圆与三角形等知识之间的联系. 上节课以“垂径定理”为专题，应用圆的知识解决了有关圆的计算问题;本节课以“与圆有关的角的计算”为专题，综合应用圆的知识解决与圆有关的角的计算问题，并引导学生用符号语言表示圆周角定理与推论、圆的切线的性质定理，深刻认识图形各元素之间的关系，体会知识之间的联系，为与圆有关的角的计算提供解题策略，帮助学生养成良好的思维习惯.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：与圆有关的角的计算.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）会用圆周角定理及其推论、圆的切线的性质定理等知识解决与圆有关的角的计算问题.

（2）在解決问题的过程中进一步体会转化的思想方法.

（3）在解决问题的过程中进一步培养学生的推理论证能力.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：学生熟记圆周角定理及其推论、圆的切线的性质定理，并会运用相关定理解决与圆有关的角的计算问题.

达成目标（2）的标志：学生能够在具体问题情境中，学会把未知化为已知，把复杂化为简单，把一般化为特殊，能够运用转化的思想方法分析和解决圆中求角的问题.

达成目标（3）的标志：学生在解决与圆有关的角的计算问题的过程中，能够运用数学语言清晰、有条理地表述解题过程;恰当地添加辅助线，使未知与已知产生关联，并能归纳几种常见的关联角的类型，形成解题策略.

三、教学问题诊断分析

在解决与圆有关的角的计算问题时，需要根据不同的问题情境，利用最近联想和合情推理，在圆中做有关联的角的转移，最终达成用演绎推理得出结果的目的. 学生在演绎推理方面的欠缺体现为：不能很好地将圆的知识与其他知识相关联，在解决计算角度的问题时，往往找不到与所求角有关联的角，导致思考问题时思路欠佳;在表述解题思路的过程中，不易做到清晰、有条理. 因此，在复习过程中，教师可以利用“形异质同”的变式题目来帮助学生把握问题的本质，通过问题解决引导学生归纳出常见关联角的几种类型，让学生在解决同类问题时有切入点，同时发展学生思维的广阔性和灵活性.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：综合应用圆、三角形等知识解决圆中角的有关计算问题.

四、教学支持条件分析

根据本节课教学内容的特点，为了更加直观、形象地突出重点、突破难点，借助希沃白板软件制作课件并进行课堂授课，以便更好地为课堂教学服务. 例如，在制作课件过程中，教师将所需图形复制多个，在有需要时及时提取，便于学生进行多种解法的展示;教师借助希沃白板软件中的“数学画板”功能制作图形的动态变化过程，让学生在变化的过程中感知不变的位置关系和数量关系;在授课过程中，借助希沃白板软件的“放大镜”功能，帮助学生快速捕捉到图形载体中的细节.

教师利用手机拍照学生的练习解答，上传反馈、及时纠错;多屏展示学生解答，对不同的解题思路和方法进行比较、讨论，激发学生对数学推理的兴趣.

五、教学过程设计

1. 基础热身

问题1：解决下述例题，并说出都用到了圆的哪些知识.

例  如图1，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠ABC = 50°，则∠CDB的度数为      .

思路1：如图2，连接AC. 由“同弧所对的圆周角相等”，得∠CDB = ∠CAB. 由AB是⊙O的直径，得∠ACB = 90°. 所以∠CAB + ∠ABC = 90°，即∠CAB = 90° -∠ABC = 40°. 所以∠CDB = 40°. 运用了圆周角定理的推论1和推论2.

思路2：如图3，连接OC. 由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，得[∠CDB=12∠COB.]由OB = OC，得∠OCB = ∠OBC = 50°. 根据三角形内角和定理，得∠COB = 80°，所以∠CDB = 40°. 运用了圆周角定理.

思路3：如图4，连接AD. 由AB是⊙O的直径，得∠ADB = 90°. 所以∠CDB + ∠ADC = 90°. 由“同弧所对的圆周角相等”，得∠ADC = ∠ABC = 50°. 所以∠CDB = 40°. 运用了圆周角定理的推论1和推论2.

师生活动：学生独立完成后，上台展示解题方法，并说出在解决问题过程中运用到的与圆相关的知识点. 教师和其他学生进行点评、补充，注重让学生在解决问题的过程中养成在图形上进行标注的习惯，有意识地让学生感受到基础知识和基本技能是思维发展的重要基础.

【设计意图】为了帮助学生养成良好的思维习惯，分析三种解题思路虽然不一样，但实则都是通过添加辅助线构造了∠CDB的关联角，进而求解. 总结常见的关联角类型：等角型、倍分型、互余型、和差型. 同时，归纳梳理解决此类问题的三个基本步骤：一标、二找、三作答，为接下来解决问题提供思路.

追问：你知道圆周角定理、圆周角定理的推论1和推论2的具体内容吗？怎样用符号语言表示？

师生活动：学生独立填写下表并进行展示，教师和其他学生点评、补充.

【设计意图】通过回顾圆周角定理及其推论，巩固学生的基础知识及对基本图形的认识，规范学生的书写格式.

2. 例题精讲

问题2：在例题的图形基础上，过点A作⊙O的切线与BC延长线交于点T，如图5所示. 将题干中的已知条件稍微改变后，就是天津市2017年中考第21题第（1）小题，大家试着做一做.

变式1：（2017年天津卷第21题第（1）小题）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT = 50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. 如图6. 求∠T和∠CDB的大小.

师生活动：由学生独立完成∠T和∠CDB的求解，两名学生在黑板上板书解题过程. 教师巡视并进行指导，在学生完成解题后，教师和学生对黑板上的学生解题过程进行点评. 为了帮助学生有逻辑地思考，养成系统解决此类问题的思维习惯，教师可追问以下问题.

追问1：通过读题我们可以在图形中标注哪些信息？

追问2：你找到要求解的角的关联角了吗？

追问3：对比例题，你在这道题目的求解过程中还用到了哪些与圆相关的知识？

问题3：变式1中提到“E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D”，大家思考，当点E的位置发生改变时，哪个点的位置也随之发生改变？

在变式1中，当点E沿着BA的方向向下运动，直到BE = BC时，去掉线段BD，连接OD，如图7所示. 求∠CDO]的大小.

变式2：（2017年天津卷第21题第（2）小题）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT = 50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. 如图8，当[BE=BC]时，求∠CDO]的大小.

师生活动：通过动画展示，让学生感悟到变式2是如何从变式1过渡而来，再让学生根据由变式1总结的分析方法进行变式2的解答. 学生在黑板上板书，并进行不同解法的讲解，教师总结、归纳.

【设计意图】变式2的难度有所提升，重在培养学生养成系统解决此类问题的思维习惯. 让学生进行多种解法的展示，体现了学生是学习的主体. 通过展示交流，培养了学生的发散思维能力. 同时，培养了学生举一反三和把握问题实质的能力及推理能力，使学生学会了综合应用所学知识解题的策略. 最终，通过对不同解法的探讨，师生共同发现解决此类问题的本质就是转化.

3. 达标测评

题目 （2020年天津卷）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC = 63°.

（1）如图9，若∠APC = 100°，求∠BAD和∠CDB的大小;

（2）如图10，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小.

师生活动：学生独立解题，教师批阅组长的答案，然后由组长在组内进行批阅，教师将学生的解答情况投屏展示.

【设计意图】选择此题作為本节课的检测题，是因为其第（2）小题也可以看成是由第（1）小题改变了∠APC的度数变式而来，让学生体会到题目虽然发生了改变，但是思考问题的方向及解决问题的策略仍然是相同的，即通过寻找关联角，建立已知和未知之间的联系. 考查学生应用所学知识与方法解决问题的能力，帮助学生跳出题海，感受养成良好的思维习惯的重要性.

4. 反思提升

师生活动：通过对一题多解及变式的简单探究，归纳多法归一，教师引导学生归纳与圆有关的角的计算问题的基本方法和解题策略，特别是建立已知与未知之间关联过程中常见的四种关联角类型.

【设计意图】通过梳理解决此类问题的基本方法和解题策略，让学生感悟转化思想在其中所起到的重要作用，将思维习惯的培养放在首位. 帮助学生认识到在变化的过程中，只有把握好其中不变的本质，以不变应万变，处理好已知与未知的关联，才能更好地解决问题.

六、目标检测设计

1. 如图11，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB = 55°，则∠ADC的度数为____.

【设计意图】考查圆周角定理及其推论.

2. 如图12，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B = 35°，则∠C的度数为____.

【设计意图】考查学生对通过添加辅助线寻找关联角的掌握情况.

3. 如图13，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C，若∠ADE = 25°，则∠C的度数为____.

【设计意图】考查学生在复杂的图形中，运用圆中与角有关的定理和推论建立已知与未知之间关联的能力.

七、教学反思

1. 注重知识间的内在联系，奠定思维发展的基础

“与圆有关的角的计算”是直线与曲线的组合，是学生对几何学习的升华. 然而，正所谓方圆纵横，不变其宗. 抓住基本图形及其本质属性是解决问题的关键. 例如，在基础热身环节，学生很快想到了思路1和思路2，这两种思路实际上可以归纳为一种，都是将∠CDB作为圆中[BC]所对的圆周角去寻找它的关联角. 对此，教师应当做好引导，能否立足于∠CDB本身，通过添加辅助线构造角的和差关系来求∠CDB呢？这样的引导，将思考的方向直接指向了问题的核心，既立足于这个角本身的属性，又将其纳入圆相关角之间的联系之中，很好地优化了解题方案.

2. 强化学生的主体地位，创设思维发展的情境

（1）问题引导的具体化，促进学生的有效思考.

教师的有效提问能够促进学生的积极思考和思维的发展. 例如，在变式1的探究过程中，教师追问“通过读题我们可以在图形中标注哪些信息？”“你找到要求解的角的关联角了吗？”营造了浓浓的课堂氛围，帮助学生具体关注到思考的重点和关键，有益于学生展开有效的思考.

（2）学习内容的层次化，适应学生的个性需求.

数学课程的核心理念是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”. 因此，本节课的研究内容在安排上由易到难，从简单的数学问题入手，留给学生足够的思考空间，并且鼓励学生从多角度思考问题，由浅入深、逐层递进，使学生通过学习各有所得.

（3）学习方式的多样化，体现学生的主体地位.

本节课属于习题类的复习课，通过让学生说方法、讲思路、板演、纠错，并采用组内互判等方式，充分体现了学生在学习过程中的主体地位，这样的过程也是学生思维发展、个性成长与共同发展统一的过程.

3. 重视教学的呈现过程，关注思维习惯的养成

学生良好思维习惯的养成，需要在课堂教学中完成. 本节课围绕同类问题展开变式，逐级呈现，就是要帮助学生在纷繁復杂、不断变化的问题中寻找不变的元素，抓住问题的核心，通过总结与归纳，由浅入深、由低级到高级地对问题进行认识与思考，从而使学生达到“会一题，通一类”的效果.

同时，本节课课件的设计与呈现，充分体现了教学资源的辅助功能. 教师借助希沃白板软件中的“数学画板”功能，展示图形的动态变化过程，通过让图形动起来，帮助学生感知图形中不变的位置关系和数量关系，激发学生探索图形变化的兴趣，为促进学生形成良好的思维序列搭建了优质的平台.

4. 彰显课程的育人价值，形成思维发展的格局

虽然现阶段学生解决此类问题的方式、方法不具有社会价值，但本节课中所蕴含的思考问题的习惯和解决问题的方法，对学生今后面对新的问题情境具有特别重要的迁移和借鉴意义，这也正是课堂教学所要积极倡导的育人的价值. 例如，添加同一条辅助线却有不同解法，让学生体会到对于同一件事情，观察和思考的角度不同，就会打开不一样的世界. 在针对不同解法进行讲解时，强调没有规矩不成方圆，教材中的定理就是“规矩”，在解题过程中，要做到有理可依，遵守教材中的“规矩”;在生活中，要遵守法律法规，做一个对社会、对国家有用的人. 因此，深刻挖掘数学课程中的育人价值，促使学生形成思维发展的格局，是本节课重要的“隐形”教学目标.

通过本节课的学习，让学生领悟解决问题的思想和方法，在变化的题目、变化的图形中总结、归纳解题策略，让学生学以致用，把解决问题的思路和方法运用到生活、生产问题的解决过程中，从而提升学生的数学素养，实现立德树人的根本目标;帮助学生将对数学知识的学习转变为生活的智慧，养成良好的思维习惯，“圆”来如此美好.

参考文献：

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