凸显函数意义渗透整体意识

邵文鸿

摘  要：通过回顾与明确函数的研究内容提出问题，建构函数学习的自然路径，让学生感受到函数学习的整体性. 设计契合知识类型的活动，让学生体会二次函数模型与其他已学函数模型的区别，充分体验函数变量之间的依存关系以凸显二次函数的意义.

关键词：二次函数;函数意义;整体意识

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课选自浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第一章第1节“二次函数”第1课时，主要内容有三个：二次函数的概念及相关概念（一般式、二次项、一次项、常数项、系数）;从具体问题中获得二次函数;用待定系数法求二次函数的解析式.

2. 内容解析

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具. 函数中蕴涵数学模型思想和运动变化思想，研究内容从静态变为动态，数学抽象程度更高，是培养和发展学生数学素养的重要载体.

初中阶段函数主线的基本架构：变量与函数的概念—函数的三种表示方法—一次函数及其图象、性质与应用—反比例函数及其图象、性质与应用—二次函数及其图象、性质与应用.

根据之前一次函数、反比例函数的学习经验，已经知道学习函数的基本路径：概念—性质—应用. 二次函数的学习将经历同样的过程，其中，函数性质的研究需要从代数式的特征分析与函数图象的直观感知两个方面进行展开与结合.

函数概念在初中阶段是“变量说”——在一個变化过程中，两个变量之间的依存关系;而高中阶段的函数概念是更为抽象的“对应关系说”——两个实数集合之间的对应关系. 对于一个具体的变化过程，“变量说”更为形象直观，但对于初中生来说函数依然是很难理解的数学概念.

本节课从具体实例中抽象出二次函数的概念，在具体情境中建立二次函数模型，这个过程是理解二次函数概念的过程. 作为章起始课，从单元教学整体性的角度考虑，需要学生回顾和明确研究函数的基本路径，正所谓“研究对象在变，研究路径不变”.

根据上述分析，确定本节课的教学重点为：二次函数的概念.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式.

（2）会建立简单二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

（3）会用待定系数法求二次函数的解析式.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：能叙述二次函数的概念;能从函数解析式判断是不是二次函数;针对具体解析式能说出二次项及其系数、一次项及其系数、常数项;能举出二次函数的正例与反例.

达成目标（2）的标志：在简单的情境中（如面积、二次均匀增长等）建立二次函数模型;能根据自变量的实际意义确定其范围.

达成目标（3）的标志：能用待定系数法求有两个系数待定的二次函数解析式（三个系数待定的需要解三元一次方程组，为选学内容）.

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了一次函数和反比例函数，对学习函数的方法和路径已经有了经验积累. 但函数是一个抽象的数学概念，学生在理解上存在一定困难. 另外，二次函数解析式中有三个系数、图象单调性发生变化、出现极值、图象与坐标系位置关系更为复杂等原因，都将导致学生学习的困难.

二次函数的学习涉及数学抽象、数学建模、数学运算等素养，需要知识的灵活和综合运用，学生会遇到困难.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：二次函数概念的抽象过程.

四、教学过程设计

环节1：创设情境，引入概念.

问题1：函数是描述客观世界中数量变化规律的数学模型，我们已经经历了一次函数、反比例函数的学习过程，你能说说函数学习的主要内容吗？

学生通过讨论和相互补充，明晰函数学习的主要内容，即通过具体实例来认识函数，研究该函数的图象与性质，探索这种函数与相应方程的联系，运用这种函数来解决实际问题.

【设计意图】提供先行组织者，为章节起始课的教学服务，让学生在学习新知前找到知识的固着点，形成知识学习的整体思路，以便找到知识学习的路径，提高学习效率.

情境1：试写出圆的面积y（cm2）与半径x（cm）的函数表达式.

情境2：王师傅存银行2万元，先存一年定期，一年后将本息又转存为一年定期. 设一年定期的年存款利率为x，一年后王师傅共得本息y1元，两年后王师傅共得本息y2元，试分别写出y1，y2关于x的函数关系式.

情境3：一个长方形花园的周长为100 m，那么长与宽分别为多少时，长方形花园的面积最大？这个问题中涉及哪些变量？你可以写出哪些函数表达式？

【设计意图】情境1是几何图形模型;情境2是本息问题的实际模型;情境3是开放式的几何问题. 提供三个有变化的问题情境，引导学生感受更丰富的函数背景，体验函数中变量之间的依存关系. 其中涉及一次函数和二次函数的比较，为抽象出二次函数做好了铺垫，促使学生从中感受二次函数的意义，获得初步感受——两个一次函数的乘积会产生一个二次函数.

环节2：概括特征，形成概念.

通过观察、类比一次函数，学生能得到这三个函数的共同特征：最高次项是二次项，是一个关于自变量的二次多项式，一般形式可以表示为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠ 0）.

从而得到二次函数的定义：把形如[y=ax2+bx+c]（其中a，b，c是常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.

【设计意图】引导学生经历类比和对比一次函数、概括共同特征的过程，抽象出二次函数的定义表述.

练习1：下列函数中，哪些是二次函数？

练习2：分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.

通过独立练习、交流讨论，学生能自主完成练习题，教师在此过程中扮演组织者的角色.

【设计意图】通过概念性变式和非概念性变式，达到辨析、巩固概念的目的，同时检测教学目标（1）的达成情况.

环节3：灵活应用，提升理解.

例1  已知二次函数y=x2+px+q， 当x=1时，函数值是4;当[x=2]时，函数值是-5. 求这个二次函数的解析式.

学生已经有用待定系数法求一次函数解析式的经验，能自主完成例题的求解，教师需要组织反馈和适时鼓励评价.

变式：已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y=2; 当x=-2时，y=-7;当x=-1时，y=0.求这个二次函数的解析式.

问题3：通过对上述例1和变式的解答，归纳用待定系数法求解二次函数解析式的步骤. 比较例题与变式，说一说要确定一个二次函数的解析式，需要几个条件.

【设计意图】变式是选学内容，如果没有学过三元一次方程组，可以让学生列出方程组即可，不必求解.这里的目的并不在于让学生解三元一次方程组，而是通过比较，让学生理解确定二次函数解析式就是确定三个系数，而确定三个系数需要给出三个条件，引导学生从中感受变量间的依存关系.

环节4：应用概念，解决问题.

例2  如圖1，一张正方形纸板的边长为2 cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）. 设AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2）.

求：（1）y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;

（2）当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.

组织学生先独立思考，再交流展示. 期间教师适时介入、启发引导，通过以下问题串提升学生的思考和深度理解.

问题4：四边形EFGH的面积为什么随着x的变化而变化？（感受变量之间的依存关系，可以通过几何画板软件展示这个运动变化的过程.）

问题5：求四边形EFGH的面积，有哪些思路？（直接法与间接法.）

问题6：自变量x的取值范围是怎样确定的？（考查动点的运动范围.）

问题7：观察第（2）小题中列出的表格，并结合观察几何画板软件展示的动态图形，你有哪些发现？（随着x取值的增大，y的值先减后增;y有最小值;y的值具有对称性.）

【设计意图】借助几何画板软件展示动态图形，理解函数的意义——变化过程中两个变量间的依存关系. 感受并理解自变量的取值范围是函数关系式的组成部分，而不是“另外附加”的部分. 二次函数的性质比一次函数的性质要复杂很多，特别是单调性出现变化，在这个变化的过程中会出现最值（极值），并且出现了对称性. 结合图形的动态变化学生能直观地感知以上性质，为后继研究二次函数的图象和性质提供认知基础和经验.

环节5：归纳概括，建立联系.

通过交流讨论，得到如下知识结构：一次函数概念—一次函数图象及性质—一次函数应用;反比例函数概念—反比例函数图象及性质—反比例函数应用;二次函数概念……

【设计意图】联系一次函数和反比例函数，类比研究路径和方法，指引后继学习的方向.

环节6：目标检测，评价效果.

1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（    ）.

2. 若函数[y=m2-1xm2-m]为二次函数，则m的值为      .

3. 已知二次函数y=ax2+bx+c， 当x=0时，y=7;当x=1时，y=0; 当x=-2时，y=9.求它的函数表达式.

4. 如图2，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC=EF=8，∠C=∠F=90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，AB与DE相交于点P. 设CE=x，△PBE的面积为S，求：

（1）S关于x的函数表达式，并指出自变量的取值范围;

（2）当[x=3]时，求△PBE的面积.

【设计意图】检测教学目标的达成程度.

五、教学反思

1. 渗透整体意识，采用单元教学设计学习过程

初中函数的学习需要突出整体性与系统性. 从函数学习内容的整体性来看，初中学段一次函数、反比例函数与二次函数的学习都需要学生经历“通过具体实例来认识函数，研究该函数的图象与性质，探索这种函数与相应方程的联系，运用这种函数来解决实际问题”四个方面的内容学习;从函数学习方法的系统性来看，初中函数的学习要重视通过单元教学来设计学生的学习过程.

2. 重视概念理解，体验问题关联，凸显函数意义

初中函数的表示方法主要有图象法、表格法、解析法三种. 在教学中，教师不仅要重视引导学生学会函数三种形式的转换表达，更要重视培养学生对函数概念意义的理解. 本节课，在概念引入阶段给出三个具有代表性的问题情境，通过具体实例，让学生感受了更为丰富的函数问题背景，体验了一次函数与二次函数的区别，体验了函数中变量之间的依存关系，为抽象出二次函数做好铺垫. 引导学生从中感受二次函数的意义，而不是使学生对函数概念的理解仅停留在对函数解析式形式的认识上.

3. 过程扶放有度，让学生经历契合知识类型的活动

在教学过程中，教师要设计符合知识类型的学习活动. 二次函数的概念属于概念性知识，环节1“创设情境，引入概念”与环节2“概括特征，形成概念”中设计的活动，符合概念性知识的学习流程，让学生经历“体验—感悟—建构函数概念”的学习过程. 用待定系数法求二次函数的解析式属于程序性知识，通过师生共同归纳待定系数法的解题步骤、学生实践操作等活动来习得. 教学环节4对函数意义的理解属于策略性知识，问题串的设计目的在于让学生感悟二次函数解析式与取值范围是不可分割的，同时为函数对称性的研究埋下伏笔. 在实际教学过程中，要讲究扶放有度，让学生真正参与到学习活动中来，以提高课堂教学效率.

4. 关注思考过程，发挥数学内在的育人力量

思维的培养是数学学科的核心任务. 在进行二次函数的教学时，在用实例引入函数概念的过程中，让学生体会数学抽象的思想. 例2注重凸显解析式与函数取值范围的本质关联，在具体的几何实例中，通过几何画板软件展示图形运动变化的过程，让学生思考变化过程中变量之间的依存关系，感受和理解自变量的取值范围是函数关系式的组成部分，充分体会数形结合的数学思想，通过数与形的相互转化真正理解二次函数的意义. 同时，让学生进一步感受二次函数模型，以及运用二次函数来解决实际问题体现的函数模型思想. 整节课的教学设计让学生感受到虽然学习的函数模型在变，但是研究函数的方法不变，学习函数的思想方法不变. 充分发挥了数学基本思想、基本活动经验的育人力量，以此来减轻学生的课业负担，切实提升学生学习数学的素养与能力.

参考文献：

[1]章建跃. 数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]涂荣豹. 数学教学设计原理的构建：教学生学会思考[M]. 北京：科学出版社，2018.