基于认知结构的教学设计

傅兰英

摘  要：学习并不是对所学知识简单识别和记忆的过程，而是通过与原有认知结构体系中的认知结构的比较、分析、判断，形成新的认知结构的过程. 数学教学的本质是学生在教师的帮助与引导下主动建构数学认知结构，发展数学素养的过程.

关键词：平方差公式;结构化教学;认知结构

数学知识结构是人类历史的积淀，是人类在实践中认识图形和数量时所积累的成果，是数量关系、空间形式，以及它们之间的关系所形成的结构体系. 在数学教学中，让学生理解知识的基本结构是很重要的. 因此，通过结构化教学帮助学生建立有关联的知识结构是一种较好的教学方式.

一、知识结构分析

1. 总体分析

“平方差公式”一课是浙教版《义务教育教科书·数学》七年级下册“3.4 乘法公式”第1课时的内容. 平方差公式是初中阶段学生学习的第一个乘法公式，它从多项式与多项式相乘的法则出发，引入特殊的多项式乘法，是从一般到特殊的范例，对后续研究完全平方公式，立方和、立方差公式等乘法公式起到了引领作用.

本节课是在学生学习了用字母表示数、整式的加减、单项式的乘法、多项式的乘法后学习的内容，它同时又是学习因式分解的重要基础，起着承上启下的作用.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中关于平方差公式的表述为：能推导乘法公式[a+ba-b=][a2-b2，] 并能利用公式进行简单运算. 在教学过程中，教师要让学生通过观察和归纳体会模型思想、建立符号意识，由此制定本节课的教学目标.

2. 知識分析

教学中要呈现公式学习的一般过程，即与概念教学类似，要引导学生经历引入、本质特征概括、给出公式、辨析公式、应用公式等过程. 在得出公式的过程中，利用了从一般到特殊的归纳思想. 另外，《标准》指出，在数学课程中，应注重发展学生的运算能力. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：推导和运用平方差公式.

二、认知结构分析

数学认知结构是人们在对数学对象和数学经验进行感知和理解的基础上形成的一种心理结构，是指学生在学习数学知识时，感知、记忆、理解数形关系的一般方式，是在学习数学知识过程中形成的一种认知模式和思维模式，这种认知模式是学生个体认知活动的成果，也就是学生头脑中的数学知识结构. 学习过程并不是简单地对所学知识进行识别和记忆的过程，而是在学生已有的认知结构体系中的相关知识与新知识的相互作用下，形成新的认知结构体系的过程. 数学教学的本质是学生在教师的帮助与引导下，主动建构数学认知结构系统，提升自身数学素养的过程.

1. 预备基础

在学习本节课之前，学生已经有了整式的加减、单项式的乘法、多项式的乘法等数式运算基础，已经经历了从加法到乘法，从乘法到乘方等从一般到特殊的认知过程，初步体会了特殊化的数学研究能够丰富数学的内涵，推动数学的发展.

2. 认知起点

七年级的学生已经学习了幂的运算、单项式的乘法和多项式的乘法，对于一般的多项式乘法，学生已经形成了固定的运算方法. 在此基础上，学生还欠缺何时需要进行特殊化研究，以及如何进行特殊化研究的经验.

3. 认知特征

平方差公式是具有特殊结构的多项式乘法，从多项式乘法直接得到结果，进行步骤化运算，不经历推导过程，使学生有一个认识和熟练的过程. 平方差公式是二次抽象的结果，学生对公式中字母的具体意义的理解需要一个认识过程. 对于特征不明显的问题，学生很难灵活运用公式. 由此确定本节课的难点为：对平方差公式的“结构”和“=”的再认识.

三、目标和目标分析

1. 目标

（1）经历公式的形成过程，能推导平方差公式.

（2）理解公式的结构特征，会运用平方差公式进行计算.

（3）会灵活运用平方差公式进行简便运算，体会不同方向的代数式的计算过程.

2. 目标分析

达成目标（1）的标志：学生能阐述特殊化的平方差公式和多项式与多项式相乘的法则之间的关联. 能用代数法推导平方差公式.

达成目标（2）的标志：学生能识别平方差公式的结构特征，能辨别两个多项式相乘能否利用平方差公式，能按照步骤运用平方差公式进行计算.

达成目标（3）的标志：学生能根据平方差公式的结构特征对较复杂的乘法运算进行简便运算.

四、基于结构的教学主线设计

1. 推导公式

问题1：上一节课，我们学习了多项式与多项式相乘，你能说说它的运算法则吗？它的运算依据是什么？

练习1：利用多项式与多项式相乘的法则，计算下列各题.

（1）（a+2）（a-2）;（2）（b+m）（b-m）.

师生活动：回顾多项式与多项式相乘的法则，并完成相关运算.

【设计意图】从学生的思维最近发展区出发，让学生再次经历从掌握法则到运用法则的过程，复习多项式与多项式相乘的法则的学习过程，强化利用运算律进行计算的意识.

问题2：与（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd相比，观察练习1中的2道小题有什么共性？

【设计意图】让学生通过三次有目的的观察（① 初步观察等号的两边;② 进一步观察计算过程;③ 重点观察等号两边式子的结构特征），发现研究对象的共性，体会从一般到特殊的探究过程，帮助学生掌握有序、理性的观察方法，归纳研究问题的特征，完成对平方差公式的第一次抽象.

追问：你能写出与上述运算形式相同的多项式乘法算式吗？

师生活动：学生在白板贴上写例子，教师选择一部分展示在黑板上.

【设计意图】学生大量举例，为后续归纳一般性结论积累素材.

问题3：能否用一般化的式子（符号语言）来表示你发现的规律？

师生活动：学生回答，教师板书公式[（a+b）（a-b）=a2-b2.

追问1：这只是我们通过大量例子得到的猜想，猜想一定是正确的吗？

师生活动：学生利用多项式与多项式相乘的法则对猜想进行证明. 教师总结，给出公式名称，并写出课题——平方差公式.

追问2：能用文字語言表述平方差公式吗？

师生活动：学生利用文字语言口述平方差公式，教师给予补充、完善.

【设计意图】通过符号语言归纳发现的规律，辅以文字语言表述，完善学生的认知. 帮助学生加深对公式的理解，完成对公式的第二次抽象. 让学生经历“观察—发现—猜想—归纳”的过程，通过归纳获得新知——平方差公式，以及其中蕴涵的推理思想. 这一过程符合学生的认知逻辑，符合代数教学的一般规律. 有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力. 同时，也有利于训练学生的语言表达能力.

追问3：我们再来观察，从多项式与多项式相乘的法则，到平方差公式，我们做了哪些处理？

师生活动：学生观察后回答，是让法则中的c=a，d=-b 教师总结，如果我们把多项式与多项式相乘看作是一般的多项式乘法，那么平方差公式就是其中的一种特殊情况.

【设计意图】在学生获得公式后，教师再次启发学生从项之间的特殊关系出发，找到平方差公式与多项式乘法之间的联系. 让学生从上下位关系来分析公式的形成过程，理解从一般到特殊的研究方法. 从两个方向完成了平方差公式的推导，突破了本节课的教学难点之一.

追问4：学习平方差公式有哪些作用？

师生活动：师生共同得出，当遇到符合平方差公式形式的多项式乘法时，可以直接运用平方差公式写出结果，简化运算过程.

【设计意图】明确了为什么要研究平方差公式，让学生体会研究特例的意义.

2. 辨析公式

练习2：判断x+y与下列式子相乘能否运用平方差公式计算.

（1）-y+x;（2）-x+y;（3）-x-y

问题4：能运用平方差公式计算（x+y）（-x-y）吗？

师生活动：采用学生回答，教师板书的形式. 在问答中帮助学生辨析平方差公式的结构特征. 第（3）小题通过反例帮助学生加深对平方差公式使用规则的理解与记忆.

【设计意图】通过辨析理解平方差公式的结构特征，归纳总结出运用平方差公式进行计算的基本步骤：① 判断;② 确定a，b;③ 运用公式计算，培养学生步骤化解题的意识，再通过反例帮助学生加深对平方差公式的理解与记忆.

变式：对（x+y）（-x-y）进行适当处理，使处理后的式子能运用平方差公式进行计算.

师生活动：对反例进行处理使之能适用平方差公式进行计算，并总结只要符合平方差公式的结构，位置、符号、系数和指数的变化不影响公式的使用，让学生明确平方差公式结构的不变性和字母的广泛性.

【设计意图】引导学生从改变符号、系数和指数等角度对[x+y-x-y]进行处理（如图1），让学生体会平方差公式结构的不变性. 通过从整体的角度进行处理，总结平方差公式中字母的广泛性. 让学生在活动体验中掌握平方差公式的本质特征.

练习3：在“¨”内填入适当的数字，使补充后的式子能运用平方差公式进行计算.

师生活动：学生独立思考完成.

【设计意图】进一步让学生体会平方差公式结构的不变性和字母的广泛性.

练习4：运用平方差公式计算.

练习5：先化简，再求值.

当x=1/4时，求-（2x+1/2）（2x-1/2）的值.

师生活动：给学生提供充足的时间，让学生在平板上完成练习. 学生提交后教师进行批改，再让学生根据批改进行订正.

【设计意图】利用平方差公式进行直接运算，再递进到新旧知识的综合运用，采用“学生先行、案例呈现、正误辨析、纠错改错、评价反思”五步流程，帮助学生进一步理解和巩固平方差公式的结构特征，准确运用平方差公式进行计算，提高学生的运算能力.

3. 应用公式

练习6：运用平方差公式计算.

（1）103 × 97;（2）60.2 × 59.8.

师生活动：学生独立思考，在学案上完成计算并进行小组交流，最后小组展示，教师对其进行评析.

【设计意图】题目中的结构特征不明显，但可以构建符合平方差公式的结构，这里把两数相乘转化成两数和与两数差乘积的形式，建立了数的运算与式的运算之间的联系，体现了等价转化思想和数式通性.

练习7：运用平方差公式计算.

（1）132 - 122;（2）9992 - 1.

师生活动：学生独立思考，在学案上完成计算并进行小组交流，最后小组展示，教师对其进行评析.

【设计意图】让学生再次辨别、理解平方差公式的结构，打破思维定势，完善学生对平方差公式结构的认知，以及对平方差公式中“=”的再认识. 同时为后续学习因式分解奠定基础. 练习6和练习7让学生体会到平方差公式的运用灵活而多变，通过构造平方差公式结构能够达到简便运算的目的.

练习8：运用平方差公式计算（2+1）（22+1）（24+1）×（28+1）+1.

师生活动：学生独立思考后，进行小组交流，最后小组展示，各小组补充. 教师为学生提供必要的帮助.

【设计意图】由于题目中只出现部分平方差公式结构，学生在求解过程中会遇到一些困难，通过小组合作，进行思维的碰撞，发现通过添加式子使之具备平方差公式的结构就可以解决问题，有效培养了学生知识应用的能力. 同时，教师还要强调，乘以（2-1）的同时还要除以（2-1），让学生明确算理、算法.

4. 梳理创新

采用问题串的形式引导学生对本节课所学内容进行回顾和整理.

（1）本节课学习了什么公式？怎样推导得到公式？它与多项式与多项式相乘的法则是什么关系？

（2）为什么要研究平方差公式？如何运用平方差公式进行计算？

（3）平方差公式的本质特征是什么？运用平方差公式解决特征不明显的问题时有哪些方法？

（4）对平方差公式的学习经历了怎么样的过程？

【设计意图】通过问题串整理知识体系，总结公式学习的过程（掌握公式→运用公式），为后续学习完全平方、立方和、立方差等乘法公式提供路径和方法.

5. 目标检测

【设计意图】通过电子书包让学生完成课堂检测，编制的检测题要指向目标的落实和思维的提升. 学生完成后及时反馈答题情况，达到精准教学的目的.

五、反思升华

本节课始终从学生的认知出发，通过回顾旧知，让学生感受到问题的引入是自然而然的，体现了数学的整体性. 通过平方差公式的学习教会学生特殊形式多项式乘法研究的一般路径.

1. 研究问题的“基本套路”就是结构化教学的主线

如图2，平方差公式其实是把多项式与多项式相乘的法则进行特殊化处理获得的.

2. 形成良好的认知结构是数学教学的终极目标

本节课通过平方差公式的学习教会学生特殊形式多项式乘法研究的一般方法，让学生學会类比、迁移的数学思想，为今后的公式学习提供了一般观念的示范引领作用. 教师可以循着上述思路，再提出一些值得研究的问题.

例如，从对多项式乘法特殊化的角度，提出如下值得研究的问题.

公式的推广虽然不是《标准》的要求，但可以培养学生的创新意识，发展学生发现问题和提出问题的能力，为以后的学习做好铺垫. 因此，教师可以适当引导学生进行推导. 同时，学科基本结构有利于促进学生良好认知结构的形成. 结构化知识体系的建构，体现了知识的连贯性，有利于学生从整体上理解数学知识，构建数学认知结构，为单元整体教学奠定基础.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李吉宝. 数学认知结构与数学教学[J]. 曲阜师范大学学报（自然科学版），2003，29（3）：105-107.

[3]陈佳.《平方差公式》教学设计与反思[J]. 广西教育，2019（12）：103-104，126.