“中点”畅想促生长 “图形”演化识本源

温晶晶

摘  要：以“中点”图形的构造为抓手，由点和线整合知识. 以三角形一边的中点、中位线的串联整合为载体，由线至形提炼性质. 结合旋转和平移演变图形的位置与形状，一题多变，以变求通. 融入“生长”理念，广联图形，从三角形拓展至五边形相关中点问题，并通过归纳、提炼基本图形，融通思维路径，回归知识本源.

关键词：生长课堂;整体建构;联想归纳

一、缘起

随着课程改革的逐步深化，學生单纯依靠模仿和记忆解题的现象有所缓解，但是在当前初中数学教学中，“重结果、轻过程，重形式、轻内涵，重解法、轻本质”的现象在一定程度上仍然存在，学生所做的练习并没有完全转化为能力. 究其原因，笔者发现学生在各章节所习得的知识点孤立而零散，知识与技能没有得到有序对接与有机整合，缺乏聚焦局部、回溯本源和迁移拓展的分析问题的能力. 在“生长”理念下的课堂教学中，教师应该以学生的已有知识经验为基础，让数学知识由内而外地自然“生长”，优化学生的知识结构，抓住知识的重要节点，变式串联思维，挖掘问题本质，解决灵动变化的数学问题. 通过引领学生欣赏问题背后折射出的数学美，促进学生知识和能力的自主生长，化教学过程为教学技艺.

二、“生长”理念课堂的构建和实施

思维的自然生长对于数学教育而言意义重大，数学的学习愿景应起步于自然生长，归根于立德树人. 笔者综观初中数学教材，围绕核心知识，践行“生长”理念，认为在构建和实施生长型课堂的过程中，教师要十分注重知识之间的“联—变—归—迁”，做到不同教学内容之间的无缝对接与有序呈现. 以下笔者结合中考专题复习课“中点的畅想”，例谈如何在几何教学中构建生长型课堂，提升学生的核心素养.

1.“联”——联想活化知识，多维架设生长链

数学学习是学生不断完善自身认知结构的过程，学生将头脑中的知识通过感知、理解，归纳组合成不同深度和广度的整体认知结构. 有序的认知结构有利于知识的贮存和提取. 在解决具体问题时，学生往往根据已知条件展开联想，当已知条件与认知结构中的某个点发生关联时，也就找到了问题的突破口和解法的生长点. 因此，从“生长”的角度出发，将同一知识点所能导出的上位知识加以整合，能够帮助学生建构更加牢固的知识体系，为知识和方法的进一步衍生提供坚实的知识主干.

策略1：优化整合知识网，重塑知识主干.

环节1：中点畅想引入.

以中点为认知起点引领学生展开联想，围绕最基本的三角形衍生出一系列开放性问题，能够有效激活学生的思维.

问题：如图1，已知D为△ABC的边BC上的中点，可以联想到哪些重要线段？试概述其性质.

中点知识自然生长，引出中线、中位线. 通过研究相关线段的数量关系和位置关系，进一步唤醒学生记忆存储中的相关信息，将散落在记忆角落的点状知识联结成网状结构. 为了让学生更深刻地认识相关知识，将三角形的边、角特殊化，带动图形特殊化（如图4），由一般联想特殊，启思引探. 通过对旧知识的结构化梳理，让学生将所学知识和方法凝炼成一个完整的结构体系，广开眼界和思路，从新的高度看待问题，以新的视角挖掘问题的各个方面.

为了让学生体验两种特殊图形的关联，同时考查学生对中点知识的初步综合应用能力，整合优化、以变促思，将两个直角三角形重组，形成共斜边基本图形，如图6所示.

由中点衍生出的基本图形需要让学生加以整合，以便对知识进行整体感知和宏观把握，使得原本看似零散的知识点经过有序梳理后浑然一体. 在解决具体问题时，学生脑海中能够自然而清晰地浮现出相关的解题方法. 通过元认知问题，由点到线再到形，引导学生展开联想、发散思维，凸显知识的思维链，优化知识网络，培养学生的深度思维.

2.“变”——变式串联思维，层层拔高生长节

波利亚在《怎样解题》中指出，问题应当精选，所选的题目不应该太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然. 由此可见，教师要构建生长型课堂，选择呈现的问题应该是顺乎自然、符合情理的，为此可以基于学生的最近发展区量身设计问题，通过变式串联思维，寻求自然求解之道，层层拔高生长节，以促进学生知识的生长. 然而，每名学生的认知结构不同，面对具体问题会有不同的解法，正是由于解法的多样性，才促使生长型课堂丰富多彩.

策略2：有序设置问题链，延展思维枝蔓.

从生活情境入手，以常见的三角板为载体，将其抽象成几何图形，针对不同位置关系设置问题，利用共点、共边等特殊位置构图，同时注入中点元素，在不增加条件的情况下，发挥母题的最大效能，有效锻炼学生的思维. 让学生以中点为线索，梳理已知条件，展开合理、有序的自然联想，寻求自然解法，锻炼学生挖掘问题本质的能力.

环节2：中点畅想例题及变式.

例1  两个大小不同的等腰直角三角板如图7所示放置，图8是由它抽象出的几何图形. 已知[△ABC]和[△CDE]为等腰直角三角形，点C，B，D在同一条直线上，连接AE，DF，取AE中点F，连接BF，DF.

（1）猜想BF和CE有怎样的位置关系？

（2）BF和DF之间有哪些特殊关系？

通过对中点知识的深度理解和基本图形的巧妙构造，往往能逐步接近问题的本质. 教师在讲评过程中应注重解题思路分析和问题模型概括.

思路1：中点 + 中点 → 中位线.

如图9，延长AB交CE于点G. 易得点B为AG的中点. 在△AGE中，由中位线定理，得BF∥CE.

由此推出的基本模型如图10所示.

思路2：中点 + 直角三角形 → 斜边中线.

如图11，连接CF. 易证△ABF≌△CBF.所以∠AFB=∠CFB.所以BF平分∠AFC.在等腰三角形ACF中，由三线合一，得BF⊥AC. 由已知易得CE⊥AC.所以BF∥CE.

由此推出的基本模型如图12所示.

思路3：中点 + 平行 →“X”型全等.

由此推出的基本模型如图14所示.

在第（1）小题3种解题思路探讨的基础上，学生已经深入了解了图形的相关特性，第（2）小题的求解过程也变得顺其自然. 可以直接借助思路3的图形和结论，证得△DBH为等腰直角三角形且BF=FH.由等腰直角三角形三线合一，得DF=BF且DF⊥BF.

以上思路的共同点是活用中点，通过添加辅助线构造基本图形，明晰解题方向. 中点因其所涉及的核心知识点多、范围广，思考路径多样，往往成为相关几何题的“题眼”所在. 学生要解决问题，需合理利用中点性质，将图形中蕴含的信息与已知条件融会贯通，对问题进行多角度分析，挖掘问题中所隐藏的中点痕迹，驱动思维起航，将相关联的数学知识汇聚到一起，必要时适当构线造角，从复杂图形中抽离出基本图形，方能使问题化繁为简.

为了进一步提升学生思维的灵活性和深刻性，将例1中的条件弱化，通过旋转进一步改变两个共顶点等腰直角三角形的位置，使其失去共边的特性，得到如下变式.

變式1：如图15，已知△ABC和△CDE为等腰直角三角形，BC⊥CE，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF，试问BF和DF之间有哪些特殊关系？

变式2：如图17，已知[△ABC]和[△CDE]为等腰直角三角形，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF，试问BF和DF之间有哪些特殊关系？

一题多解，启智生慧;一题多变，触类旁通;多题归一，追本溯源. 通过对例1的横向拓展和纵向加深，从特殊到一般、从静态到动态，启发学生体悟研究数学问题的一般路径，激发学生对问题的深层次思考，有效促进学生思维和能力的生长，促进学生对知识的深度理解，实现对知识本质认同，让立德树人的教育目标在课堂上生根发芽.

3.“归”——归纳内化素养，回溯滋养生长源

华罗庚曾说，复杂的问题要善于退，退到原始而不失重要性的地方. 当前许多几何探究题的命制往往是对问题进行一系列变式，更换其非本质特征. 与之对应，解题教学要善于洞悉问题联系，透析本源、联想化归，实现从知识本位到素养本位的转化.

策略3：寻踪觅迹识本质，厚植思想根基.

几何学是研究物体大小、形状及位置关系的学科，图形千变万化，要让学生学会用运动的眼光分析问题，驱动学生经历由静到动的探究过程，多角度思考图形变化规律，深挖问题本质（如图19）.

环节3：中点相关思维拓展.

以上解法由中点结合圆的轴对称性，添加辅助线分割线段，并借助设元、列方程组的方法求解，属于通性、通法. 也可以利用平移的观点直达本质.

核心素养的培养离不开智慧的启迪，在日常教学中，教师要时常以数学的精巧来强化知识的生长源，这个“源”既是知识向上生长的力量源泉，也是核心素养的根基所在.

4.“迁”——迁移拓展能力，深挖培植生长力

问题的生长方向决定思维的生长高度，教师作为课堂问题生长的总设计师，以及学生思维成长的总规划师，要时刻具备数学教学的全局观，将解题理念从“知识本位”逐步引向“能力本位”，将问题解决过程中所用的思想方法提炼、融通，以最自然的方式呈现给学生，让学生在题源类比、拓展延伸的过程中活化思维，提升对知识的理解深度.

综观初中几何知识发展脉络，由点到线再到形，线段和角是构成几何图形基本要素，平面几何的学习主要以三角形、四边形、圆为主，这些繁杂图形背后蕴含着相同的特质，相似的研究方法和求解路径. 从具体到抽象、从特殊到一般，三角形内部横向拓展，再到四边形、多边形，从特殊到一般，纵向延伸，可以将四边形、五边形等多边形问题最终化归为三角形知识去解决.

策略4：提炼融通思维链，催生能力果实.

解题教学不能拘泥于“怎样做”，而是要教会学生“怎样想”. 教师不仅要传授知识，更应该传达思想方法，加强学法指导. 要充分挖掘题目中的隐含条件，引导学生识别或构造基本图形，探寻问题解决的基本规律，让解法自然生成，提升学生的类比、迁移能力，以其达到“做一题，通一类”的境界.

环节4：中点知识连线结网.

当中点隐藏在四边形、五边形等多边形中时，教师可引导学生深入思考如何将其分解成若干个三角形，回归三角形中点知识网络，深入挖掘有价值的结论，探究问题本质. 从三角形一路拓展到四边形、五边形等多边形，教师应以中点知识转化为思路引领，追根溯源，教会学生巧用中点，广联想、促发现，回归基本图形（如图24）.

生长型课堂以核心知识为起点，通过巧联想、构体系，在知识点间建立联系，立足高观点，深入剖析知识发生、发展的过程，融通思维路径，回归知识本源. 多维架设“教”的策略，以适应“学”的需求，通过寻踪觅迹识本质，促进核心素养的提升.

生长型课堂是一片沃土，在这一领域还缺乏文献和实践指引，本文也只是结合笔者自身的几何教学实践例谈对生长型课堂的一些看法，具有一定的局限性，不同教师对教材的理解不同，整合方式各异. 生长型课堂教学对师生都提出了更高要求，需要我们站在更高的角度看问题.

然而，在当前“学为中心”的理念下，生长型课堂有其积极的存在意义. 其基于生活经验明确目标，从一个概念出发联结相关知识点，结合有效策略，促使学生在知识、思维、能力等方面不断成长，内化素养，从而提高整个初中阶段学习力，这对学生的长远发展是非常有利的.

参考文献：

[1]卜以楼. 生长数学观点下“矩形性质”的教学设计[J]. 中学数学教学参考（中旬），2017（6）：21-24.

[2]金敏. 生长数学下“角”的教学实践与思考：以苏科版七年级“角（第1课时）”的教学为例[J]. 中学数学（初中版），2017（10）：8-10.

[3]邢成云. 广泛联想  促成发现：从中线到中位线的整体建构[J]. 数学教学通讯（中旬），2016（11）：2-5.

[4]张振兴. 探源思路成因·开展策略诊断·改进教学行为：对一道角平分线问题的探究与反思[J]. 中国数学教育（初中版），2018（7 / 8）：85-88.