由一道2021年高考创新题引发的研究

贺凤梅　李昌成

摘要：近两年高考题中连续出现创新压轴小题，常规解法很难应对，而构造法能快速高效地解决此类问题.根据题设，设计并构造一个与亟待解决问题相关的函数，对其求导，通过单调性或利用运算结果研究对应函数的性质，从而达到解决原问题的目的.

关键词：构造法;函数;等价转化

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0029-02

高考的主要功能就是为高校选拔优秀生源，为国家遴选人才，因此国家考试中心每年都会命制一些创新题，为甄别最优秀的学生起到把关作用.今年全国乙卷的第12题就是一个典型代表.此类题不曾在过往的高考中出现，在铺天盖地的模拟卷中也未曾谋面，完全原创，绝对首创，只有能力水平达到相当高度的学生方可在紧张的考场上成功突围.下面我们尝试研究它.

二、总体分析

我们知道，教材中比较大小的题目一般有两种类型：一类是利用指数、对数、幂函数、三角函数等简单函数的单调性比较两个数的大小;另一类是通过桥梁“0”、“1”等比较两个数的大小.而本题以压轴题的形式出现，函数关系不明显，属于创新试题.初看此题，不知道如何入手，感觉是很接近的具体数，但却无法找到合适的中间量来判断他它们的大小.如何突破此题呢？我们企图通过构造非常见函数来突破此题.

三、试题解答

評注利用导数结合单调性比较大小，常常需要构造新函数，把问题转化为利用导数研究函数的单调性的问题. 此法根据b与c以及a与c之差的结构特点为突破口，成功构造了恰当的函数，并借助导数完成试题的解答.

评注解法2通过研究对应的数量关系，进行巧妙变形，构造函数，从而达到比较大小的目的.此法构造函数的技巧性更强，这就需要我们在平时的教学及学习过程中不断思考、探索、归纳和总结，逐步提高解题能力和思维品质.

评注解法3是根据a，b，c的结构特点，构造了三个函数，借助导数的几何意义成功达到比较大小的目的.此法思维难度较大，需要数形结合，将数值大小赋予图形特质.

评注泰勒公式是大学数学分析中的内容，对高中学生来说明显超纲，不过对于程度好的学生，对应班级的数学教师可以适当介绍，不需要学生掌握，以此激发学生的学习兴趣和求知欲.

四、追根溯源

参考文献：

[1]任志鸿.十年高考[M].北京：知识出版社，2017.[2]李荣俊.浅谈构造函数的几种技巧[J].学校教育研究，2020（22）：18.

[责任编辑：李璟]

作者简介：贺凤梅（1979-），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.